2020年人教A版高中数学必修第一册5.2-三角函数的概念(第一课时)(解析版)

5.1三角函数概念（第一课时）思维导图运用一三角函数定义【例1】(1)若角α的终边经过点P(5，－12)，则sinα＝________，cosα＝________，tanα＝________(2)（2019春•东胜区校级期中）若点(4,)Pm在角的终边上，且4cos5，则(m)A．4B．4C．3D．3(3)（2019春•牡丹江期末）角的终边上一点(Pa，2)(0)aa，则2sincos()A．55B．55C．55或55D．355或355【答案】（1）－1213513－125（2）D（3）D【解析】(1)∵x＝5，y＝－12，∴r＝52122＝13，则sinα＝yr＝－1213，cosα＝xr＝513，tanα＝yx＝－125（2）点(4,)Pm在角的终边上，且244cos516m，则3m，故选：D．（3）的终边上一点(Pa，2)(0)aa，当0a时，5cos55aa，225sin55aa，352sincos5；当0a时，5cos55aa，225sin55aa，352sincos5，故选：D．【触类旁通】1．（2019·天水市第一中学高一期末（文））角a的终边经过点,4Pb且3cos5a，则b的值为()A．-3B．3C．±3D．5【答案】B【解析】因为角a的终边经过点,4Pb且3cos5a，躬行实践所以23cos,516bab则0b解得=3b2．（2019·南木林县中学高一期末）角α的终边上有一点P（a，|a|），a∈R且a≠0，则sinα值为（）A．22B．22C．1D．22或22【答案】B【解析】因为222rOPaaa，所以2sin22ayra，故选B。3．已知角的终边在射线𝑦=−3𝑥(𝑥≥0)上，则sin𝛼cos𝛼等于（）A.−310B.√1010C.310D.−√1010【答案】A【解析】因为角𝛼的终边所在的射线𝑦=−3𝑥(𝑥≥0)上任取一点𝑀(1,−3)，则𝑥=1,𝑦=−3,𝑟=|𝑂𝑀|=√10，sin𝛼=𝑦𝑟=−3√10,cos𝛼=𝑥𝑟=1√10，所以sin𝛼cos𝛼=−310，故选A.运用二三角函数正负号的判断【例2】（1）（2019春•玉山县校级月考）若sincos0，则在()A．第一、二象限B．第一、三象限C．第一、四象限D．第二、四象限（2）（2019春•珠海期末）已知点(sin,tan)M在第三象限，则角在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限（3）（2018秋•安庆期末）式子sin1cos2tan4的符号为()A．正B．负C．零D．不能确定【答案】（1）D（2）D（3）B【解析】（1）sincos0，可知sin与cos异号，说明在第或第四象限．故选：D．（2）由题意，00sintan①②，由①知，为第三、第四或y轴负半轴上的角；由②知，为第二或第四象限角．则角在第四象限．故选：D．（3）1，2，4分别表示第一、二、三象限的角，sin10，cos20，tan40．故选：B．【触类旁通】1．（2019·广东高一期末）已知点sin,tanM在第三象限，则角在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】由题意，00sintan①②，由①知，为第三、第四或y轴负半轴上的角；由②知，为第二或第四象限角．则角在第四象限，故选D．2．若sintan0，且cos0tan，则角是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【答案】C【解析】由sintan0，可知sin,tan异号，则为第二象限角或第三象限角；由cos0tan，可知cos,tan异号，则为第三象限角或第四象限角．综上可知，为第三象限角．3．（2019·山西高一期末）已知sin𝜃0，tan𝜃0，那么𝜃是（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C【解析】sin𝜃0,𝜃在三四象限.tan𝜃0,𝜃在一三象限，故𝜃在第三象限答案为C运用三三角函数线的运用【例3】（1）作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：①56；②23．（2）（2017·辽宁高一期末）设𝑎=sin33°,𝑏=cos55°,𝑐=tan35°，则()A．𝑐𝑏𝑎B．𝑏𝑐𝑎C．𝑎𝑏𝑐D．𝑐𝑎𝑏（3）（2018·宁夏银川二中高一期中）设a=sin1,b=cos1,c=tan1,则a,b,c的大小关系是（）A.abcB.acbC.bacD.bca【答案】（1）见解析（2）A（3）C【解析】（1）①∵5,62πππ，∴作出56角的终边如图所示，交单位圆于点P，作PM⊥x轴于M，则有向线段5sin6πMP，有向线段5cos6πOM，设过A（1，0）垂直于x轴的直线交OP的反向延长线于T，则有向线段5tan6πAT，综上所述，图（1）中的有向线段MP、OM、AT分别为56角的正弦线、余弦线、正切线；②∵2,32πππ，∴在第三象限内作出23角的终边如图所示，交单位圆于点P'，用类似（1）的方法作图，可得图（2）中的有向线段M'P'、OM'、A'T'分别为23角的正弦线、余弦线、正切线．（2）𝑏=cos55°=𝑠𝑖𝑛35°𝑠𝑖𝑛33°=𝑎,𝑐=tan35°𝑠𝑖𝑛35°=𝑏,所以选A.（3）由于142，结合三角函数线的定义有：cos1,sin1,tan1OCCBDA，结合几何关系可得：cos1sin1tan1，即bac.本题选择C选项.【触类旁通】1．（2017·山西高一期中）已知sin33a，cos55b，sin120c，则（）A．abcB．bacC．cbaD．cab【答案】C【解析】首先化为同名三角函数，sin33a，cos55sin35b，sin120sin60c，∵sinyx在0,90上单调递增，∴cba.故选C.2．（2019·甘肃省会宁县第一中学高三月考（文））已知0.3log2a，0.12b，sin789c，则a，b，c的大小关系是A.abcB.acbC.cabD.bca【答案】B【解析】0.3log20a，0.121b，sin789sin6901cc.bca.故选：B.3．当𝑥∈[0,2𝜋]时，不等式sin𝑥≥12的解集为__________．【答案】{𝑥|𝜋6≤𝑥≤5𝜋6}【解析】如图所示，正弦线大于等于12的角的终边在图中的阴影部分区域，所以不等式的解集为{𝑥|𝜋6≤𝑥≤5𝜋6}.故答案为：{𝑥|𝜋6≤𝑥≤5𝜋6}4．如果cos𝑥=|cos𝑥|，那么角𝑥的取值范围是________．【答案】[2𝑘𝜋−𝜋2,2𝑘𝜋+𝜋2]，𝑘∈𝑍【解析】因为cos𝑥=|cos𝑥|，所以cos𝑥≥0，所以角𝑥的终边落在𝑦轴或其右侧，从而角𝑥的取值范围是[2𝑘𝜋−𝜋2,2𝑘𝜋+𝜋2]，𝑘∈𝑍.故答案为：[2𝑘𝜋−𝜋2,2𝑘𝜋+𝜋2]，𝑘∈𝑍5.利用三角函数线，写出满足下列条件的角x的集合：（1）1sin2x且1cos2x；（2）tanx≥﹣1．【答案】见解析【解析】（1）作出y＝﹣，交单位圆于B，C，则sinx＞﹣对应的区域为阴影部分，作出x＝，交单位圆于E，D，则cosx＞对应的区域为阴影部分OD，OE之间，则sinx＞﹣且cosx＞对应的区域为OC到OE之间，其中OC对应的角为﹣，OE对应的角为，则阴影部分对应的范围是2kπ﹣＜x＜2kπ+，k∈Z，即sinx＞﹣且cosx＞对应的范围是{x|2kπ﹣＜x＜2kπ+，k∈Z}（2）作出正切函数线AT＝﹣1，则tanx≥﹣1对应的区域为阴影部分，OT对应的角为﹣，则阴影部分对应的角的范围是kπ﹣≤x＜kπ+，即不等式的解集为{x|kπ﹣≤x＜kπ+，k∈Z}运用四诱导公式一的运用【例4】（2019·湖南浏阳一中高二期末（文））cos4260（）A．12B．32C．12D．32【答案】A【解析】1cos4260cos(36011300)cos300cos(36060)cos602，故选：A。【触类旁通】1.（2019秋•夷陵区校级月考）给出下列各函数值：①sin(1000)；②cos(2200)；③tan(10)；④7sincos1017tan9；⑤．其中符号为负的是()A．①④B．②③C．③⑤D．④⑤【答案】见解析【解析】①sin(1000)sin(2360280)sin280cos100；②，cos(2200)cos(636040)cos400；③，tan(10)tan(30.58)tan(0.58)0；sin2cos3tan4④，777sincossinsin101010017tantantan999；⑤，22，32，342，sin2cos3tan40．其中符号为负的是：③⑤．故选：C．2.求下列各式的值：(1)sin25π3＋tan－15π4；(2)sin810°＋cos360°－tan1125°.【答案】见解析【解析】(1)sin25π3＋tan－15π4＝sin8π＋π3＋tan－4π＋π4＝sinπ3＋tanπ4＝32＋1.(2)sin810°＋cos360°－tan1125°＝sin(2×360°＋90°)＋cos(360°＋0°)－tan(3×360°＋45°)＝sin90°＋cos0°－tan45°＝1＋1－1＝1.1（2019秋•武邑县校级期中）下列三角函数值的符号判断正确的是()A．sin1560B．16cos05C．17tan()08D．tan5560【答案】C【解析】A、因为156在第二象限，所以sin1560，故A错误；B、因为16coscos(3)cos0555，所以B错误；C、因为17tan()tan(2)tan()0888，所以C正确；D、因为tan556tan(360196)tan196，且196在第三象限，所以tan5560，故D错误；故选：C．融会贯通2．（2018·库车县伊西哈拉镇中学高一期末）在直角坐标系中，若角𝛼的终边经过点𝑃(sin5π3   ,   cos5π3)，则sin(𝜋+𝛼)=（）A.√32B.−√32C.12D.−12【答案】D【解析】因为角𝛼的终边经过点𝑃(−√32,12)，所以𝑥=−√32,𝑦=12,𝑟=|𝑂𝑃|=1则sin𝛼=12，sin(𝜋+𝛼)=−sin𝛼=−12，故选D。3．（2018·新疆维吾尔自治区喀什第二中学高一期末）若是第二象限角，则点sin,cosP在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】因为是第二象限角，所以sin0,cos0，所以点sin,cosP在第四象限，故选：D4．（2019·辽宁高一期末）已知𝑃(−1,𝑡)在角𝛼终边上，若sin𝛼=2√55，则𝑡=（）A.12B.-2C.2D.±2【答案】C【解析】sin𝛼=𝑡√1+𝑡2=2√55，显然𝑡0，∴𝑡=2．故选C．5．（2019·山东师范大学附中高一期中）设cos12a，41sin6b，7cos4c，则（）A．acb