高中数学复习 极坐标与参数方程师版

1坐标系与参数方程【知识要点】1、平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：x′＝λ·x(λ＞0)，y′＝μ·y(μ＞0)的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．2、极坐标系的概念(1)极坐标系的定义①取极点：平面内取一个定点O；②作极轴：自极点O引一条射线Ox；③定单位：选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)．(2)点的极坐标①定义：有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记为M(ρ，θ)；②意义：ρ＝|OM|，即极点O与点M的距离(ρ≥0)．θ＝∠xOM，即以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角．一般地，没有特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．(3)点与极坐标的关系一般地，极坐标(ρ，θ)与ρ，θ＋2kπk∈Z表示同一个点，特别地，极点O的坐标为(0，θ)(θ∈R)，和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示．如果规定ρ＞0，0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ)表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是唯一确定的．(4)极坐标与直角坐标的互化点P的直角坐标为(x，y)，极坐标为(ρ，θ)，则互相转化公式为x＝ρcosθ，y＝ρsinθρ2＝x2＋y2，tanθ＝yxx≠03、圆的极坐标方程圆心位置极坐标方程图形圆心在极点(0,0)ρ＝r(0≤θ2π)圆心在点(r,0)ρ＝2rcosθ－π2≤θπ2圆心在点r，π2ρ＝2rsinθ(0≤θπ)圆心在点(r，π)ρ＝－2rcosθπ2≤θ3π2圆心在点r，3π2ρ＝－2rsinθ(－πθ≤0)圆心在点M(ρ0，θ0),半径为rρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r2＝0.24、直线的极坐标方程(ρ∈R)直线位置极坐标方程图形过极点，倾斜角为α(1)θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)(2)θ＝α(ρ≥0)和θ＝π＋α(ρ≥0)过点(a,0)，且与极轴垂直ρcosθ＝a－π2θπ2过点a，π2，且与极轴平行ρsinθ＝a(0θπ)经过点M(ρ0，θ0)ρsin(α－θ)＝ρ0sin(α－θ0).5、参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数：x＝ft，y＝gt，并且对于t的每一个允许值，由方程组x＝ft，y＝gt所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程x＝ft，y＝gt就叫做这条曲线的参数方程，变数t叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．6、圆锥曲线的参数方程(1)圆心为(a，b)，半径为r的圆的参数方程为x＝a＋rcosθ，y＝b＋rsinθ(θ为参数).(2)椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的参数方程为x＝acosθ，y＝bsinθ(θ为参数).(3)双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的参数方程为x＝acosθ，y＝btanθ(θ为参数).(4)抛物线y2＝2px(p＞0)的参数方程为x＝2pt2，y＝2pt(t为参数)．7、直线的参数方程①过点M(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数)，其中t表示直线上以定点M0为起点，任意一点M(x，y)为终点的有向线段M0M→的数量。②由α为直线的倾斜角知，当0απ时，sinα0.③参数t的几何意义：参数t的绝对值表示t对应的点M到M0的距离．当M0M――→与e(直线的单位方向向量)同向时，t取正数；当M0M――→与e反向时，t取负数，当M与M0重合时，t＝0.④重要公式：设A，B是直线上任意两点，它们对应的参数分别为tA，tB，则|AB|＝|tB－tA|＝tB＋tA2－4tA·tB.3【典例讲解】1、平面直角坐标系下图形的变换【例1】(1)在同一平面直角坐标系中，直线2x－y＝4变成x′－y′＝2的伸缩变换是(C)A．x′＝x，y′＝2yB．x′＝12x，y′＝yC．x′＝x，y′＝12yD．x′＝12x，y′＝4y(2)在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：x′＝3x，2y′＝y.点A13，－2经过φ变换所得的点A′的坐标是．(3)若函数y＝f(x)的图象在伸缩变换φ：x′＝2x，y′＝3y的作用下得到曲线的方程为y′＝3sinx′＋π6，则函数y＝f(x)的最小正周期为．[解析](1)设其伸缩变换为φ：x′＝λx(λ0)，y′＝μy(μ0)，则λx－μy＝2，2λx－2μy＝4，于是2λ＝2，－2μ＝－1，解得λ＝1，μ＝12.所以φ：x′＝x，y′＝12y.故选C．[解析](2)设A′(x′，y′)，由伸缩变换φ：x′＝3x，2y′＝y，得到x′＝3x，y′＝12y，由于点A的坐标为13，－2，于是x′＝3×13＝1，y′＝12×(－2)＝－1，∴A′(1，－1)为所求．[解析](3)由题意，把变换公式代入曲线y′＝3sinx′＋π6得3y＝3sin2x＋π6，整理得y＝sin2x＋π6，故f(x)＝sin2x＋π6.所以y＝f(x)的最小正周期为2π2＝π.【名师点拨】伸缩变换公式应用时的两个注意点(1)曲线的伸缩变换是通过曲线上任意一点的坐标的伸缩变换实现的，解题时一定要区分变换前的点P的坐标(x，y)与变换后的点P′的坐标(X，Y)，再利用伸缩变换公式X＝axa＞0，Y＝byb＞0建立联系．(2)已知变换后的曲线方程f(x，y)＝0，一般都要改写为方程f(X，Y)＝0，再利用换元法确定伸缩变换公式．【练习】(1)直线l：y＝6x经过φ：x′＝3x，2y′＝y，变换后所得到的直线l′的方程为．(2)已知平面直角坐标系中点A(－2，4)经过φ变换后得A′的坐标为－12，2，则伸缩变换φ为______．[解析](1)设直线l′上任意一点P′(x′，y′)，由上述可知，将x＝13x′，y＝2y′代入y＝6x得2y′＝6×13x′，∴y′＝x′，即y＝x为所求．4解析：(2)设伸缩变换φ：x′＝λxλ＞0，y′＝μyμ＞0，则有－12＝－2λ，2＝4μ，解得λ＝14，μ＝12.∴φ：x′＝14x，y′＝12y.答案：φ：x′＝14x，y′＝12y2、极坐标与直角坐标的互化【例2.1】将直角坐标方程与极坐标方程互化．(1)y2＝4x；(2)y2＋x2－2x－1＝0；(3)θ＝π3(ρ∈R);(4)ρcos2θ2＝1；(5)ρ2cos2θ＝4;(6)ρ＝12－cosθ.【解析】(1)将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入y2＝4x，得(ρsinθ)2＝4ρcosθ.化简得ρsin2θ＝4cosθ.(2)将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入y2＋x2－2x－1＝0，得(ρsinθ)2＋(ρcosθ)2－2ρcosθ－1＝0，化简得ρ2－2ρcosθ－1＝0.(3)当x≠0时，由于tanθ＝yx，故tanπ3＝yx＝3，化简得y＝3x(x≠0)；当x＝0时，y＝0.显然(0，0)在y＝3x上，故θ＝π3(ρ∈R)的直角坐标方程为y＝3x.(4)因为ρcos2θ2＝1，所以ρ·1＋cosθ2＝1，而ρ＋ρcosθ＝2，所以x2＋y2＋x＝2.化简得y2＝－4(x－1)．(5)因为ρ2cos2θ＝4，所以ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝4，即x2－y2＝4.(6)因为ρ＝12－cosθ，所以2ρ－ρcosθ＝1，因此2x2＋y2－x＝1，化简得3x2＋4y2－2x－1＝0.【例2.2】圆心C的极坐标为(2，π4)，且圆C经过极点．(1)求圆C的极坐标方程；(2)求过圆心C和圆与极轴交点(不是极点)的直线的极坐标方程．【解析】(1)圆心C的直角坐标为(2，2)，则设圆C的直角坐标方程为(x－2)2＋(y－2)2＝r2，依题意可知r2＝(0－2)2＋(0－2)2＝4，故圆C的直角坐标方程为(x－2)2＋(y－2)2＝4.即x2＋y2－22(x＋y)＝0，化为极坐标方程为ρ2－22ρ(sinθ＋cosθ)＝0，即ρ＝22(sinθ＋cosθ)．(2)在圆C的直角坐标方程x2＋y2－22(x＋y)＝0中，令y＝0，得x2－22x＝0，解得x＝0或22.于是得到圆C与x轴的交点坐标(0，0)，(22，0)，由于直线过圆心C(2，2)和点(22，0)，则该直线的直角坐标方程为y－0＝2－02－22(x－22)，即x＋y－22＝0.化为极坐标方程得ρcosθ＋ρsinθ－22＝0.【答案】(1)ρ＝22(sinθ＋cosθ)(2)ρcosθ＋ρsinθ－22＝05【练习】(2017·邯郸一中模拟)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρcosθ－π3＝1(0≤θ＜2π)，M，N分别为C与x轴，y轴的交点．(1)写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．【解析】(1)由ρcos(θ－π3)＝1，得ρ(12cosθ＋32sinθ)＝1.从而C的直角坐标方程为12x＋32y＝1，即x＋3y－2＝0.当θ＝0时，ρ＝2，所以M(2，0)；当θ＝π2时，ρ＝233，所以N(233，π2)．(2)M点的直角坐标为(2，0)．N点的直角坐标为(0，233)．所以P点的直角坐标为(1，33)．则P点的极坐标为(233，π6)，所以直线OP的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R)．【答案】(1)x＋3y－2＝0，M(2，0)，N(233，π2)(2)θ＝π6(ρ∈R)3、简单曲线的极坐标方程及应用【例3.1】(2019·银川模拟)已知曲线C的参数方程为x＝2＋5cosα，y＝1＋5sinα(α为参数)，以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C的极坐标方程；(2)设l1：θ＝π6，l2：θ＝π3，若l1，l2与曲线C相交于异于原点的两点A，B，求△AOB的面积．[解析](1)∵曲线C的参数方程为x＝2＋5cosα，y＝1＋5sinα(α为参数)，∴曲线C的普通方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入并化简得ρ＝4cosθ＋2sinθ，∴曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ＋2sinθ.(2)在极坐标系中，曲线C：ρ＝4cosθ＋2sinθ，∴由θ＝π6，ρ＝4cosθ＋2sinθ，得|OA|＝23＋1.同理可得|OB|＝2＋3.又∠AOB＝π6，∴S△AOB＝12|OA|·|OB|sin∠AOB＝8＋534.∴△AOB的面积为8＋534.6【例3.2】(2019·济南市模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝3cosα，y＝1＋3sinα(α为参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ＋π6＝23.(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；(2)射线OP的极坐标方程为θ＝π6(ρ≥0)，若射线OP与曲线C的交点为A，与直线l的交点为B，求线段AB的长.解(1)由x＝3cosα，y＝1＋3sinα，可得x＝3cosα，y－1＝3sinα，所以x2＋(y－1)2＝3cos2α＋3sin2α＝3，所以曲线C的普通方程为x2＋(y－1)2＝3。由ρsinθ＋π6＝23，可得ρ32sinθ＋12cosθ＝23，所以32ρsinθ＋