研究生数值分析试题

第一章绪论一、选择题（四个选项中仅有一项符合题目要求，每小题3分，共计15分)1、近似数0.231x∗=关于真值0.229x=有（）位有效数字。（1）1；（2）2；（3）3；（4）4。2、取31732.≈计算431()x=−，下列方法中哪种昀好？（）(1)28163−；(2)2423()−；(3)216423()+；(4)41631()+。3、下列说法中不属于数值方法设计中的可靠性分析的是（）。（1）方法收敛性；（2）方法的稳定性；（3）方法的计算量；（4）方法的误差估计。4、下列说法错误的是（）。（1）如果一个近似数的每一位都是有效数字，则称该近似数为有效数；（2）凡是经“四舍五入”得到的近似数都是有效数；（3）数值方法的稳定性是指初始数据的扰动对计算结果的影响；（4）病态问题是由数学问题本身的性质决定的，与数值方法有关。5、已知近似数x∗的相对误差限为0.3％,则∗x至少有（）位有效数字。（1）1；（2）2；（3）3；（4）5。二、填空题（每小题3分，共计15分）1、设π的近似数π∗有4位有效数字，则其相对误差限为_______。2、x∗的相对误差约是x∗的相对误差的倍。3、计算球体积时要使相对误差限为10%，问测量半径时允许的相对误差限是。4、规格化浮点数系2412(,,,)F=−中一共有个数5、用数1112[]e−+作为计算积分10xIedx−=∫的近似值，产生的主要误差是。三、（13分）对于有效数1233.105,0.001,0.100xxx∗∗∗=−==，估计下列算式是相对误差限21123212333;;xyxxxyxxxyx∗∗∗∗∗∗∗∗=++==。四、（16分）写出下列各题的合理计算路径，使计算结果更精确（不必计算结果），并说明理由。（1）101cos,sinxxxx−≠且；（2）111121,xxxx−−++；1（3）111,xxxxx+−−；（4）1211,xxdtxt++∫；五、（15分）设序列{}ny满足递推关系110112,,,nnyyn−=−=，若02141.y=≈，计算到10y时误差有多大？计算过程是否稳定？如果不稳定，试给出一种稳定的计算方法，并说明理由。六、（13分）已测得某场地长x的值为110x∗=米，宽y的值为80y∗=米，已知02.xx∗−≤米，01.yy∗−≤米。试求面积sxy=的绝对误差限和相对误差限。七、（13分）设x的近似数*x表示为12010mknx.aaaa∗=±×，证明：若ka是有效数字，则其相对误差不超过11102()k−−×；若已知相对误差re∗，且1102kre∗−≤×，则ka必为有效数字。第二章非线性方程的数值解法自测题一、选择题（四个选项中仅有一项符合题目要求，每小题3分，共计15分)1、已知方程3250xx−−=在区间23[,]存在唯一正根，若用二分法计算，至少迭代（）次可以保证误差不超过31102−×。(1)5；(2)7；(3)10；(4)12。2、已知求方程0()fx=在区间[,]ab上的根的不动点迭代为1012(),,,,kkxxkϕ+==，对于其产生的数列{}kx，下列说法正确的是（）(1)若数列{}kx收敛，则迭代函数()xϕ唯一；(2)若对1[,],()xabxϕ′∀∈，则{}kx收敛；(3)若1[,],()xabxϕ′∀∈，则{}kx收敛；(4)若1[,],()xabxLϕ′∀∈≤，则{}kx收敛。3、若迭代法12223kkkxaxx+=+收敛于2，且要求收敛阶尽量高，则a的值为（）。2(1)13；(2)23；(3)13；(4)23。4、求方程根的二分法的收敛阶为（）（1）线性收敛；（2）超线性收敛；（3）平方收敛；（4）局部平方收敛。5、解非线性方程()0fx=的牛顿迭代法的收敛阶为（）。（1）线性收敛；（2）局部线性收敛；（3）平方收敛；（4）局部平方收敛。二、填空题（每小题3分，共计15分）1、若使迭代公式2125kkkkqaraxpxxx+=++产生的序列收敛到3a，并使其收敛阶尽可能高，则常数,,pqr的值分别为____________________。2、设函数()fx在区间[,]ab上有足够阶连续导数，[],pab∈为()fx的一个m重零点，则迭代公式1()()kkkkfxxxmfx+=−′的收敛阶至少是_______。3、求方程根的割线法的收敛阶为____。4、设向量函数32222(,)xyFxyxxy⎡⎤−=⎢⎥+⎣⎦，则其导函数在点12(,)值12(,)F′=。5、求5的Newton迭代格式为。三、（12分）已知方程220sinxx−−=在122[,]π内存在唯一根，（1）试建立一种收敛于方程根的迭代方法，并说明收敛的理由；（2）写出相应的Steffenson迭代格式，并以015.x=为初值迭代一步。四、（12分）应用牛顿法于方程0nfxxa=−=()和10nafxx=−=()，分别导出求na的迭代公式，并求极限12nkknkaxax+→∞−−lim()。五、（12）方程3680xx−−=在3x=附近有根，把方程写成三种不同的等价形式(1)368xx=+对应迭代格式3168nnxx+=+；(2)86xx=+对应迭代格式3186nnxx+=+；(3)358xxx=−−对应迭代格式3158nnnxxx+=−−。判断迭代格式在03x=的收敛性，选一种收敛格式计算3x=附近的根，精确到小数点后第二位。六、（12分）对于下列两个方程，（1）4xxx+=cossin，（2）42xx=−，问能不能用迭代法求解？如果不能时，试将方程改写成能用迭代法求解的形式，并说明理由。七、（12分）考虑下述修正的牛顿迭代公式：10nnnnnnnnnfxfxfxfxxxDnDfx++−=−=≥()(())(),,()假定0fx∗′≠()，证明它对单根是一个二阶方法。八、（10分）设3xxxϕ=+()，0x=为xϕ()的一个不动点，验证下列迭代法100kkxxxϕ+=≠(),不收敛，但改用斯蒂芬森迭代却是收敛的；并说明斯蒂芬森迭代计算xϕ()的不动点0x=时的收敛阶。第三章线性方程组的直接解法自测题一、选择题（四个选项中仅有一项符合题目要求，每小题3分，共计15分)1、一般用高斯消元法解线性代数方程组要采用的技术是（）（1）调换方程位置；（2）选主元；（3）直接求解；（4）化简方程组。2、设矩阵A的LU分解如下：2231002234772100124511006Aba⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟==⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠⎝⎠⎝⎠则该分解式中,ab的值分别为（）（1）2,6ab==；（2）6,2ab==；（3）2,3ab==；（4）1,2ab=−=。3、设矩阵nnAR×∈，nnQR×∈，且TQQE=，则下列关系式不成立的是（）(1)22AAQ=；(2)FFQAA=；(3)22Qxx=，其中nxR∈；(4)()()condAcondAQ∞∞=。4、设矩阵314122232A−⎡⎤⎢⎥=−−⎢⎥⎢⎥−−⎣⎦，111x⎡⎤⎢⎥=−⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则Ax∞和A∞的值分别为（）4(1)88,；(2)87,；(3)86,；(4)77,。5、若解线性代数方程组的Gauss部分选主元方法第二步得到的系数矩阵的第三列向量为()2632542T−，则第三步主行是（）(1)第2行；(2)第3行；(3)第5行；(4)第6行。二、填空题（每小题3分，共计15分）1、设2101202Aaa⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，为使A可分解为TALL=，其中L是对角元素为正的下三角矩阵，则a的取值范围是___________________。2、设210121012A−⎡⎤⎢⎥=−−⎢⎥⎢⎥−⎣⎦，则2()CondA=_________________。3、设()214Tx=，如果()200TLx=，则初等下三角矩阵L=。4、设nnAR×∈为上半带宽为p，下半带宽为q的带状矩阵，且A的各阶顺序主子式均不为零，ALU=为Doolitte分解，则上三角矩阵U的上半带宽为。5、设对称正定矩阵11(),0nnijAaRa×=∈≠，经过一次Gauss消元得到形如1110aAA∗⎛⎞=⎜⎟⎝⎠的矩阵，则1A是矩阵。三、（12分）试用高斯列主元素法求解线性方程组123413243267102115914350156xxxx⎡⎤−−⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦四、（12分）利用矩阵A的三角分解ALU=求解下列方程组123121022331302xxx⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠⎝⎠⎝⎠五、（12分）用平方根法求解下列方程组1234241021710341097xxx−−⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟−=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠⎝⎠⎝⎠5六、（10分）设线性代数方程组Axb=中系数矩阵A非奇异，x为精确解，0b≠，若向量x是Axb=的一个近似解，残向量rbAx=−，证明估计式：()xxrcondAxb−≤（假定所用矩阵范数与向量范数相容）。七、（12分）设实对称矩阵()ijnnAa×=的特征值为12,,,nλλλ试证：21nkFkAλ==∑。八、（12分）已知方程组Axb=，其中310110233110A⎡⎤⎢⎥=−⎢⎥⎢⎥⎣⎦，14514b⎡⎤⎢⎥=−⎢⎥⎢⎥⎣⎦，（1）构造求解该方程组的一种收敛的迭代格式，并说明理由；（2）写出（1）中迭代方法的迭代矩阵。第四章多项式插值与数值逼近自测题一、选择题（四个选项中仅有一项符合题目要求，每小题3分，共计15分)1、设fxxx=++84()9310，则018[2,2,,2]f和019[3,3,,3]f的值分别为（）（1）1，1；（2）98!×，0；（3）9，0；（4）9，1。2、设()(0,1,,)ilxin=是1n+个互异节点{}0niix=的Lagrange基函数，则下列选项中正确的是（）。（1）20()niiixlxx==∑；（2）220()niiixlxx==∑；（3）220()niiiixlxx==∑；（4）220()niijixlxx==∑。3、设三次样条函数为33201()1(1)(1)(1)132xxSxxaxbxcx⎧≤≤⎪=⎨−+−+−+≤≤⎪⎩，则常数,,abc的值分别为（）（1）3,1abc===；（2）2,1abc===；（3）3abc===；（4）3,1acb===。4、设Lx()和Nx()分别是()fx满足同一插值条件的n次拉格朗日和牛顿插值多项式，它们的插值余项分别为()rx和()ex，则（）（1）LxNxrxex≠=()(),()()；（2）LxNxrxex==()(),()()；（3）LxNxrxex=≠()(),()()；（4）LxNxrxex≠≠()(),()()。65、区间[],ab上的三次样条插值函数()Sx在[],ab上具有直到（）阶的连续导数。（1）1；（2）2；（3）3；（4）4。二、填空题（每小题3分，共计15分）1、设()klx是以{}40kkxk==为节点的Lagrange插值基函数，则40kkklk==∑()_______。2、由下列数表x00.511.522.5()fx-2-1.75-10.2524.25所确定的插值多项式的昀高次数是。3、设函数4fxCab∈()[,]，Sx()是关于fx()的带有第二类边界条件的三次样条插值函数，如果将区间ab[,]无限分割，则Sx′′()在ab[,]上一致收敛于函数。4、设nPx()是n次Legendre多项式，则积分121nPxdx−=∫()。5、设函数()[,]fxCab∈，21(){,,,,}npxSpanxxx∈，则()px是()fx的昀佳一致逼近多项式的充要条件是函数在[,]ab上存在一个至少有n+2个点组成的交错点组。三、（12分）已知下列函数表：x0123()fx13927（1）写出相应的三次Lagrange插值多项式；（2）作均差表，写出相应的三次Newton插值多项式，并计算15(.)f的近似值。四、（14分）已知()fx的函数