2014年全国高考文科数学试题及答案-全国卷

高考题14第1页共11页高考题142014年普通高等学校统一考试（大纲）文科第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{1,2,4,6,8},{1,2,3,5,6,7}MN，则MN中元素的个数为（）A．2B．3C．5D．72.已知角的终边经过点(4,3)，则cos（）A．45B．35C．35D．453.不等式组(2)0||1xxx的解集为（）A．{|21}xxB．{|10}xxC．{|01}xxD．{|1}xx4.已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为（）A．16B．36C．13D．335.函数3ln(1)(1)yxx的反函数是（）A．3(1)(1)xyexB．3(1)(1)xyexC．3(1)()xyexRD．3(1)()xyexR6.已知ab、为单位向量，其夹角为060，则(2)abb（）A．-1B．0C．1D．27.有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）A．60种B．70种C．75种D．150种8.设等比数列{}na的前n项和为nS，若243,15,SS则6S（）高考题14第2页共11页高考题14A．31B．32C．63D．649.已知椭圆C：22221xyab(0)ab的左、右焦点为1F、2F，离心率为33，过2F的直线l交C于A、B两点，若1AFB的周长为43，则C的方程为（）A．22132xyB．2213xyC．221128xyD．221124xy10.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高位4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A．814B．16C．9D．27411.双曲线C：22221(0,0)xyabab的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则C的焦距等于（）A．2B．22C．4D．4212.奇函数()fx的定义域为R，若(2)fx为偶函数，且(1)1f，则(8)(9)ff（）A．-2B．-1C．0D．1第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.6(2)x的展开式中3x的系数为.（用数字作答）14.函数cos22sinyxx的最大值为.15.设x、y满足约束条件02321xyxyxy，则4zxy的最大值为.16.直线1l和2l是圆222xy的两条切线，若1l与2l的交点为（1,3），则1l与2l的夹角的正切值等于.三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）高考题14第3页共11页高考题14数列{}na满足12212,2,22nnnaaaaa.（1）设1nnnbaa，证明{}nb是等差数列；（2）求{}na的通项公式.18.（本小题满分12分）ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知13cos2cos,tan3aCcAA，求B.19.（本小题满分12分）如图，三棱柱111ABCABC中，点1A在平面ABC内的射影D在AC上，090ACB，11,2BCACCC.（1）证明：11ACAB；（2）设直线1AA与平面11BCCB的距离为3，求二面角1AABC的大小.20.（本小题满分12分）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别是0.6，0.5,0.5,0.4，各人是否使用设备相互独立，（1）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（2）实验室计划购买k台设备供甲、乙、丙、丁使用，若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1，求k的最小值.21.（本小题满分12分）函数32()33(0)fxaxxxa.（1）讨论函数()fx的单调性；（2）若函数()fx在区间（1，2）是增函数，求a的取值范围.22.（本小题满分12分）已知抛物线C:22(0)ypxp的焦点为F，直线4y与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且54QFPQ.（1）求抛物线C的方程；（2）过F的直线l与C相交于A,B两点，若AB的垂直平分线l与C相交于M,N两点，且A,M,B,N高考题14第4页共11页高考题14四点在同一个圆上，求直线l的方程.高考题14第5页共11页高考题14参考答案一、选择题1.B2.D3.C4.B5.D6.B7.C8.C9.A10.A11.C12.D二、填空题13.-16014.3215.516.43三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.（本小题满分10分）解：（1）由2122nnnaaa得2112nnnnaaaa，即12nnbb，又1211baa.所以{}nb是首项为1，公差为2的等差数列；（2）由（1）得12(1)nbn，即121nnaan，于是111()(21)nnkkkkaak于是211naan，即211nana，又11a，所以{}na的通项公式为222nann18.（本小题满分10分）解：由题设和正弦定理得，3sincos2sincosACCA所以3tancos2sinACC因为1tan3A，所以cos2sinCC.1tan2C所以tantan[180()]BACtan()AC=tantan1tantanACAC=-1,高考题14第6页共11页高考题14即135B19.（本小题满分12分）解法一：（1）因为1AD平面ABC，1AD平面11AACC，故平面11AACC⊥平面ABC，又BCAC，所以BC平面11AACC，连结1AC，因为侧面11AACC是棱形，所以11ACAC，由三垂线定理的11ACAB.（2）BC平面11AACC，BC平面11BCCB，故平面11AACC⊥平面11BCCB，作11AECC，E为垂足，则1AE平面11BCCB，又直线1//AA平面11BCCB，因而1AE为直线1AA与平面11BCCB间的距离，13AE，因为1AC为1ACC的平分线，故113ADAE，作DFAB，F为垂足，连结1AF,由三垂线定理得1AFAB，故1AFD为二面角1AABC的平面角，由22111ADAAAD,得D为AC的中点，高考题14第7页共11页高考题141525ACBCDFAB，11tan15ADAFDDF，所以二面角1AABC的大小为arctan15.解法二：以C为坐标原点，射线CA为x轴的正半轴，以CB的长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，由题设知1AD与z轴平行，z轴在平面11AACC内.（1）设1(,0,)Aac，由题设有2a，(2,0,0),(0,1,0)AB，则AF(-2，1，0)，1(2,0,0),(2,0,)ACAAac，111(4,0,),(,1,)ACACAAacBAac，由12AA得22(2)2ac，即2240aac，于是11ACBA2240aac①所以11ACBA.（2）设平面11BCCB的法向量(,,)mxyz，则mCB，1,mCBmBB,即10,0mCBmBB，因为11(0,1,0),(2,0,)CBBBAAac，故0y，且(2)0axcz，令xc，则2za，(,0,2)mca，点A到平面11BCCB的距离为高考题14第8页共11页高考题14222cos,(2)CAmcCAmCAcmca，又依题设，点A到平面11BCCB的距离为3，所以3c.代入①得3a（舍去）或1a.于是1(1,0,3)AA，设平面1ABA的法向量(,,)npqr，则1,nAAnAB,即10,0nAAnAB.30pr且20pq，令3p，则23q，1r，(3,23,1)n，又(0,0,1)p为平面ABC的法向量，故1cos,4npnpnp，所以二面角1AABC的大小为1arccos420.（本小题满分12分）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别是0.6，0.5,0.5,0.4，各人是否使用设备相互独立，（1）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(2)实验室计划购买k台设备供甲、乙、丙、丁使用，若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1，求k的最小值.解：记iA表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备，i=0,1,2.B表示事件：甲需使用设备.C表示事件：丁需使用设备.D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备.E表示事件：同一工作日4人需使用设备.F表示事件：同一工作日需使用设备的人数大于k.高考题14第9页共11页高考题14（1）122DABCABABC22()0.6,()0.4,()0.5,0,1,2iiPBPCPACi.所以122()()PDPABCABABC122()()()PABCPABPABC122()()()()()()()()PAPBPCPAPBPAPBPC0.31（2）由（1）知，若3k，则()0.310.1PF又2EBCA，22()()()()()0.06PEPBCAPBPCPA若4k，则()0.060.1PF.所以k的最小值为3.21.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）2()363fxaxx，2()3630fxaxx的判别式△=36（1-a）.（ⅰ）若a≥1，则()0fx，且()0fx当且仅当1,1ax，故此时()fx在R上是增函数.（ⅱ）由于0a，故当1a时，()0fx有两个根：121111,aaxxaa，若01a，则当2(,)xx或1(,)xx时，()0fx，故()fx在21(,),(,)xx上是增函数；当21(,)xxx时，()0fx，故()fx在21(,)xx上是减函数；（Ⅱ）当0,0ax时,()0fx，所以当0a时，()fx在区间（1，2）是增函数.若0a时，()fx在区间（1,2）是增函数，当且仅当(1)0f且(2)0f，解得高考题14第10页共11页高考题14504a.综上，a的取值范围是5[,0)(0,)4.22.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设0(,4)Qx，代入由22(0)ypxp中得08xp，所以088,22ppPQQFxpp，由题设得85824ppp，解得2p（舍去）或2p所以C的方程为24yx.（Ⅱ）依题意知直线l与坐标轴不垂直，故可设直线l的方程为1,(0)xmym，代入24yx中得2440ymy，设1122(,),(,)AxyBxy，则12124,4yymyy，故AB的中点为2(21,2)Dmm，221214(1)ABmyym，有直线l的斜率为m，所以直线l的方程为2123xymm，将上式代入24yx中，并整理得2244(23)0yymm.设3344(,),(,)MxyNxy，则234344,4(23)yyyymm.故MN的中点为E2222(23,)mmm，22342214(1)211mmMNyymm由于MN垂直平分AB，故A,M,B,N四点在同一个圆上等价于12AEBEMN,从而2221144ABDEMN,即222222224224(1)(21)4(1)(2)(2)mmmmmmm，高考题14第11页共11页高考题14化简得210m，解