滑动平均法解说

1.1滑动平均法的基本原理动态测试数据y(t)由确定性成分f(t)和随机性成分x(t)组成,且前者为所需的测量结果或有效信号,后者即随机起伏的测试误差或噪声,即x(t)=e(t)，经离散化采样后,可相应地将动态测试数据写成efyjjjj=1,2,…,N(1)为了更精确地表示测量结果,抑制随机误差{ej}的影响,常对动态测试数据{yj}作平滑和滤波处理。具体地说,就是对非平稳的数据{yj},在适当的小区间上视为接近平稳的,而作某种局部平均,以减小{ej}所造成的随机起伏。这样沿全长N个数据逐一小区间上进行不断的局部平均,即可得出较平滑的测量结果{fj},而滤掉频繁起伏的随机误差。例如,对于N个非平稳数据{yj},视之为每m个相邻数据的小区间内是接近平稳的,即其均值接近于常量。于是可取每m个相邻数据的平均值,来表示该m个数据中任一个的取值,并视其为抑制了随机误差的测量结果或消除了噪声的信号。通常多用该均值来表示其中点数据或端点数据的测量结果或信号。例如取m等于5,并用均值代替这5个点最中间的一个就有下式y3=1/5(y1+y2+y3+y4+y5)同理,y4=1/5(y2+y3+y4+y5+y6)即yf44。依此类推,可得一般表达式为yfkk=nnkyn121k+1k=n+1,n+2,…,N-n(2)式中,2n+1=m,显然,这样所得到的{yfkk},其随机起伏因平均作用而比原来数据{yk}减小了,即更加平滑了,故称之为平滑数据。由此也可得出对随机误差或噪声的估计,即取其残差为fyekkkk=n+1,n+2,…,N-n(3)上述动态测试数据的平滑与滤波方法就称为滑动平均。通过滑动平均后,可滤掉数据中频繁随机起伏,显示出平滑的变化趋势,同时还可得出随机误差的变化过程,从而可以估计出其统计特征量。需要指出的是,式(2)中只能得到大部分取值,而缺少端部的取值,即kn+1和kN一n的部分有m一1个测量结果或信号无法直接得到,通常称其为端部效应,需设法补入。1.2滑动平均的一般方法按式(2)进行滑动平均是沿全长N个数据,不断逐个滑动地取m个相邻数据作直接的算术平均。也即该m个相邻数据ynk,ynk1,…,yk,…,ynk对其所表示的平滑数据yfkk而言是等效的,按所谓等权平均处理。实际上,相距平滑数据yfkk较远的数据对平滑的作用可能要小于较近者,即是不等权的,因而对不同复杂变化的数据,其滑动的几个相邻数据宜取不同的加权平均来表示平滑数据。因此,更一般的滑动平均方法是沿全长的N个数据,不断逐个滑动地取m个相邻数据作加权平均来表示平滑数据,其一般算式为ywyfkPpiikk1k=q+1,q+2,…,N-P(4)式中,wi为权系数,且pqiiw1；p、q为小于m的任一正整数,且p+q+1=m。这些参数的不同取法就形成不同的滑动平均方法。如p=q=2,且wi=1/(2n+1),即为式(2)的算法,称为等权中心平滑法。特别是取p=0或q=o即为常用的端点平滑。当wi=1/m(对所有的i)时即为等权端点平滑,其算式写成011mikikkymyfk=1,2,…,q011mikkkyyfmik=N-p+1,N-p+2,…,N(5)其中,前式为前端点平滑法,后式为后端点平滑法。应当指出,滑动平均法的参数选取将直接影响对数据的平滑效果,如式(4)中m取得较大,则局部平均的相邻数据偏多,尽管平滑作用较大,有利于抑制频繁随机起伏的随机误差,然而也可能将高频变化的确定性成分一起被平均而削弱;反之,若m取得较小,则可能对低频随机起伏未作平均而减小,即不利于抑制随机误差,因此应按平滑的目的及数据的实际变化情况,来合理选取滑动平均的参数m(以及p和q)与{wi}。在动态测试数据处理中应用较多的是最简单的5--11点等权中心平滑或2、3次加权中心平滑。1.3滑动平均法的特点滑动平均法的最主要特点在于简捷性。它相对于其它动态测试数据处理方法而言,算法很简便,计算量较小,尤其可采用递推形式来计算,可节省存贮单元,快速且便于实时处理非平稳数据等,这些是滑动平均法的优点,也是这种古老算法至今仍有实用价值的主要原因。另一方面,滑动平均法又存在一定的主观性和任意性。因为其应用效果很大程度上取决于各种算法参数的选定。通常依据动态测试过程本身变化的机理,以及实际测试数据的具体变化状态,而靠经验来尽量合理地选定滑动平均算法的参数。2.1方法概述滑动平均是趋势拟合技术最基础的方法，它相当于低通滤波器。用确定时间的平滑值来显示变化趋势。对样本量为n的序列x,其滑动平均序列表示为：kijijxxk111ˆ(j=1,2,…,n-k+1)（1）式中k为滑动长度。作为一种规则，k最好取奇数，以使平均值可以加到时间序列中中项的时间坐标上。若k取偶数，可以对滑动平均后的新序列取每两项的平均值，以使滑动平均对准中间排列。可以证明，经过滑动平均后，序列中短于滑动长度的周期大大削弱，显现出变化趋势。2.2滑动平均法的计算步骤根据具体问题的要求以及样本量大小确定滑动长度k，用（1）式直接对观测数据进行滑动平均计算。n个数据可以得到n-k+1个平滑值。编程计算时可采用这样的形式：首先将序列的前k个数据求和得到一个值，然后依次用这个值减去平均时段的第一个数据，并加上第k+1个数据，再用求出的值除以k，循环这样的过程计算出1,2,…，n-k+1个平滑值。2.3滑动平均法的计算结果分析分析时主要从滑动序列曲线图来诊断其变化趋势。例如：看其演变趋势有几次明显的波动，是呈上升还是呈下降的趋势。