生产计划问题2

《数学建模与计算》问题生产计划问题一、问题的提出已知某工厂计划生产I、II、III三种产品，各产品需要在A、B、C设备上加工，有关数据如下：IIIIII设备有效台数（每月）A8210300B1058400C21310420单位产品利润（千元）322.9试回答：(1)如何发挥生产能力，使生产盈利最大？(2)若为了增加产量，可租用别的工厂设备B，每月可租用60台时，租金1.8万元，租用B设备是否划算？(3)若另有二种新产品IV、V，其中新产品IV需要设备A为12台时、B为5台时、C为10台时，单位产品盈利2.1千元；新产品V需要A为4台时、B为4台时、C为12台时，单位产品盈利1.87千元，如果A、B、C的设备台时不增加，这两种新产品投产在经济上是否划算？(4)对产品工艺重新进行设计，改进结构。改进后生产每件产品I需要设备A为9台时、设备B为12台时、设备C为4台时，单位盈利4.5千元，这时对原计划有何影响？二、问题的分析对问题进行分析，该问题属于线性规划问题中的整数规划问题，需要根据线性规划的思想，根据题意建立线性规划问题。根据线性规划的思想，建立线性规划模型，要根据已知条件建立出目标函数，意义对目标函数所影响的约束条件。对于该问题，首先要确定决策变量，要求如何生产三种产品使得利润最大。其次，根据约束条件，利用工具求解。最后，确定问题的目标函数，由-1-题意知安排最好的生产方式使得总的盈利最大。三、基本假设(1)在已知条件下该问题存在可行解。(2)生产产品是设备部损坏。四、定义符号的说明1x每月生产产品I的台数2x每月生产产品II的台数3x每月生产产品III的台数4x每月生产产品IV的台数5x每月生产产品V的台数z每月最大的总盈利五、模型的分析、建立以及结果分析5.1模型的分析对问题进行分析，该问题属于规划问题中的整数规划问题！建立线性规划模型有三个基本步骤：第一步，找出待定的未知变量（决策变量），并用代数符号来表示它们；第二步，找出问题的所有限制或约束条件，写出未知变量的线性方程或线性不等式；第三步，找到模型的目标，写成决策变量的线性函数，以便求其最大或最小值。5.2模型的建立以及结果分析该问题完整的线性规划模型如下：(1)目标函数maxz=31x+22x+2.93x-2-约束条件为81x+22x+103x300101x+52x+83x400S.t21x+132x+103x420ix0,i=1,2,3;以下是lingo中下的代码：model:max=3*X1+2*X2+2.9*X3;8*X1+2*X2+10*X3=300;10*X1+5*X2+8*X3=400;2*X1+13*X2+10*X3=420;@gin(X1);@gin(X2);@gin(X3);End以下是程序的运行结果：结果分析：由以上可知每月生产I产品24台，II产品24台，III产品5台，可使生产盈利最大，最大利润为134.5千元-3-(2)IIIIII设备有效台数（每月）A8210300B1058460C21310420单位产品利润（千元）322.9目标函数maxz=31x+22x+2.93x-18则此时的约束条件为81x+22x+103x300101x+52x+83x460S.t.21x+132x+103x420ix0,i=1,2,3;以下是lingo中下的代码：model:max=3*X1+2*X2+2.9*X3-18;8*X1+2*X2+10*X3=300;10*X1+5*X2+8*X3=460;2*X1+13*X2+10*X3=420;@gin(X1);@gin(X2);@gin(X3);end以下是程序的运行结果：-4-结果分析：由以上可知最大盈利为127千元小于（1）中的134.5千元，故租用B设备不划算。(3)IIIIIIIVV设备有效台数（每月）A8210124300B105854400C213101012420单位产品利润（千元）322.92.11.87目标函数maxz=31x+22x+2.93x+2.14x+1.875x则此时的约束条件为81x+22x+103x+124x+45x300101x+52x+83x+54x+45x400S.t.21x+132x+103x+104x+125x420ix0,i=1,2,3,4,5;-5-以下是lingo中下的代码：model:max=3*X1+2*X2+2.9*X3+2.1*X4+1.87*X5;8*X1+2*X2+10*X3+12*X4+4*X5=300;10*X1+5*X2+8*X3+5*X4+4*X5=400;2*X1+13*X2+10*X3+10*X4+12*X5=420;@gin(X1);@gin(X2);@gin(X3);@gin(X4);@gin(X5);End以下是程序的运行结果：结果分析：由以上可知此时的最大盈利为135.96千元大于（1）中的134.5千元，故这两种新产品投产在经济上划算。-6-(4)IIIIII设备有效台数（每月）A9210300B1258400C41310420单位产品利润（千元）4.522.9目标函数maxz=4.51x+22x+2.93x则此时的约束条件为91x+22x+103x30121x+52x+83x400S.t.41x+132x+103x420ix0,i=1,2,3;以下是lingo中下的代码：model:max=3*X1+2*X2+2.9*X3;9*X1+2*X2+10*X3=300;12*X1+5*X2+8*X3=400;13*X1+13*X2+10*X3=420;@gin(X1);@gin(X2);@gin(X3);End以下是程序的运行结果：-7-结果分析：由以上可知此时的最大盈利为101.5千元小于（1）中的134.5千元，则如果对产品工艺重新进行设计，改进结构，这时的最大盈利会比原计划的最大利润少。参考文献[1]陈东彦，数学建模，北京：科学出版社，2007.[2]LINGO用户指南（LINGO8.0的帮助文档）.[3]朱德通编著.最优化模型与实验.上海：同济大学出版社，2003.[4]姜启源数学建模[M]北京：高等教育出版社2005.[5]同济大学应用数学系工程数学线性代数高等教育出版社2005.