2017年江苏省南京师大附中高考数学一模试卷含解析

2017年江苏省南京师大附中高考数学一模试卷一、填空题1．（3分）已知{1A，2，3}，2{|9}Bxx，则AB．2．（3分）已知复数()aizaRi，i是虚数单位，在复平面上对应的点在第四象限，则实数a的取值范围是．3．（3分）如图是某算法流程图，则程序运行后输出的结果是．4．（3分）从2，3，4中任取两个数，其中一个作为对数的底数，另一个作为对数的真数，则对数值大于1的概率是．5．（3分）随机抽取年龄在[10，20)，[20，30)[50，60]年龄段的市民进行问卷调查，由此得到的样本的頻数分布直方图如图所示，采用分层抽样的方法从不小于40岁的人中按年龄阶段随机抽取8人，则[50，60]年龄段应抽取人数为．6．（3分）双曲线221169xy的一个焦点到其渐近线的距离是．7．（3分）若函数()sin()3sin()44fxaxx是偶函数，则实数a的值为．8．（3分）立方体1111ABCDABCD中，棱长为3，P为1BB的中点，则四棱锥11PAACC的体积为．9．（3分）如图，在梯形ABCD中，//ABCD，4AB，3AD，2CD，2AMMD，若3ACBM，则ABAD．10．（3分）集合{|Lll与直线yx相交，且以交点的横坐标为斜率}．若直线lL，点(1,2)P到直线l的最短距离为r，则以点P为圆心，r为半径的圆的标准方程为．11．（3分）设数列{}na的前n项的和为nS，且114()2nna，若对于任意的*nN，都有1(4)3nxSn剟恒成立，则实数x的取值范围是．12．（3分）在ABC中，已知sin13sinsinABC，cos13coscosABC，则tantantanABC的值为．13．（3分）设直线l与曲线1:xCye和曲线21:xCye均相切，切点分别为1(Ax，1)y，2(Bx，2)y，则12yy．14．（3分）函数2()()()()4xxtxtfxxxt„其中0t，若函数()[()1]gxffx有6个不同的零点，则实数t的取值范围是．二、解答题15．已知ABC是锐角三角形，向量(cos()3mA，sin())3A，(cos,sin)nBB，且mn．（Ⅰ）求AB的值；（Ⅱ）若3cos5B，8AC，求BC的长．16．如图，在三棱锥PABC中，已知平面PBC平面ABC．（1）若ABBC，CPPB，求证：:CPPA（2）若过点A作直线l平面ABC，求证：//l平面PBC．17．小张于年初支出50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小张在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售收入为25x万元（国家规定大货车的报废年限为10年）．（1）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？（2）在第几年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大？（利润累计收入销售收入总支出）18．已知椭圆2222:1(0)xyCabab．（1）若椭圆的离心率为32，且点3(1,)2在椭圆上，①求椭圆的方程；②设3(1,)2P，R、S分别为椭圆C的右顶点和上顶点，直线PR和PS与y轴和x轴相交于点M，N，求直线MN的方程．（2）设(,0)Db，过D点的直线l与椭圆C交于E、F两点，且E、F均在y轴的右侧，2DFED，求椭圆离心率的取值范围．19．已知a，b是正实数，设函数()fxxlnx，()gxaxlnb．（Ⅰ）设()()()hxfxgx，求()hx的单调区间；（Ⅱ）若存在0x，使0[4abx，3]5ab且00()()fxgx„成立，求ba的取值范围．20．记等差数列{}na的前n项和为nS．（1）求证：数列{}nSn是等差数列；（2）若11a，对任意的*nN，2n…，均有1nS，nS，1nS是公差为1的等差数列，求使122kkkSSS为整数的正整数k的取值集合；（3）记(0)nanbaa，求证：1212nnbbbbbn„．附加题21．从0，1，2，3，4这五个数中任选三个不同的数组成一个三位数，记Y为所组成的三位数各位数字之和．（1）求Y是奇数的概率；（2）求Y的概率分布和数学期望．22．已知数集1{Aa，2a，，12}(1nnaaaa，4)n…具有性质P：对任意的(2)kkn剟，i，(1)jijn剟?，使得kijaaa成立．（Ⅰ）分别判断数集{1，2，4，6}与{1，3，4，7}是否具有性质P，并说明理由；（Ⅱ）求证：41232aaaa„；（Ⅲ）若72na，求n的最小值．2017年江苏省南京师大附中高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题1．（3分）已知{1A，2，3}，2{|9}Bxx，则AB{1，2}．【考点】1E：交集及其运算【专题】37：集合思想；4O：定义法；5J：集合【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：{1A，2，3}，2{|9}{|33}Bxxxx，{1AB，2}，故答案为：{1，2}【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（3分）已知复数()aizaRi，i是虚数单位，在复平面上对应的点在第四象限，则实数a的取值范围是(0,)．【考点】4A：复数的代数表示法及其几何意义【专题】11：计算题；38：对应思想；4A：数学模型法；5N：数系的扩充和复数【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部大于0且虚部小于0联立不等式组求解．【解答】解：复数2()()1aiaiizaiii在复平面上对应的点在第四象限，0a，即0a，则实数a的取值范围是(0,)．故答案为：(0,)．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．（3分）如图是某算法流程图，则程序运行后输出的结果是6．【考点】EF：程序框图【专题】11：计算题；27：图表型；48：分析法；5K：算法和程序框图【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件4k，跳出循环，计算输出S的值．【解答】解：模拟执行程序框图，可得1k，0S满足条件4k，1S，2k满足条件4k，12S，3k满足条件4k，123S，4k不满足条件4k，退出循环，输出S的值为：1236．故答案为：6．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法，属于基础题．4．（3分）从2，3，4中任取两个数，其中一个作为对数的底数，另一个作为对数的真数，则对数值大于1的概率是12．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式【专题】38：对应思想；4R：转化法；5I：概率与统计【分析】求出所有的基本事件的个数，再求出满足条件的事件的个数，求出满足条件的概率即可．【解答】解：所有可能的结果是：236A，当2是底数时，真数可以是3，4，当3是底数时，真数可以是4，共有3种可能，故满足条件的概率3162p，故答案为：12．【点评】本题考查了古典概型的概率求值问题，考查对数的运算性质，是一道基础题．5．（3分）随机抽取年龄在[10，20)，[20，30)[50，60]年龄段的市民进行问卷调查，由此得到的样本的頻数分布直方图如图所示，采用分层抽样的方法从不小于40岁的人中按年龄阶段随机抽取8人，则[50，60]年龄段应抽取人数为2．【考点】8B：频率分布直方图【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5I：概率与统计【分析】由频率分布直方图及分层抽样的性质直接求解．【解答】解：由频率分布直方图得：采用分层抽样的方法从不小于40岁的人中按年龄阶段随机抽取8人，则[50，60]年龄段应抽取人数为：0.005820.0050.015．故答案为：2．【点评】本题考查[50，60]年龄段应抽取人数的求法，考查频率分布直方图、分层抽样性质等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想，是基础题．6．（3分）双曲线221169xy的一个焦点到其渐近线的距离是3．【考点】KC：双曲线的性质【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由双曲线221169xy得216a，29b，22cab．可得取焦点F及其渐近线byxa．再利用点到直线的距离公式即可得出．【解答】解：由双曲线221169xy得216a，29b，225cab．取焦点(5,0)F，其渐近线34yx．焦点(5,0)F到渐近线的距离22|35|334d．故答案为3．【点评】熟练掌握双曲线的标准方程及其性质、点到直线的距离公式是解题的关键．7．（3分）若函数()sin()3sin()44fxaxx是偶函数，则实数a的值为3．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；2H：正弦函数的图象【专题】11：计算题；57：三角函数的图象与性质【分析】由题意可得，()()44ff，从而可求得实数a的值．【解答】解：()sin()3sin()44fxaxx为偶函数，()()fxfx，()()44ff，即3a，3a．故答案为：3．【点评】本题考查正弦函数的奇偶性，考查特值法的应用，属于基础题．8．（3分）立方体1111ABCDABCD中，棱长为3，P为1BB的中点，则四棱锥11PAACC的体积为27．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；5F：空间位置关系与距离【分析】连结AC、BD，交于点O，求出1192ACCAS矩形，点P到平面11ACCA的距离322BO，由此能求出四棱锥11PAACC的体积．【解答】解：连结AC、BD，交于点O，立方体1111ABCDABCD中，棱长为3，P为1BB的中点，11199392ACCASACAA矩形，ACBO，1AABO，1ACAAA，BO平面11ACCA，点P到平面11ACCA的距离为：113299222BOBD，四棱锥11PAACC的体积：1132119227332ACCAVSBO矩形．故答案为：27．【点评】本题考查四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，考查数形结合思想，是中档题．9．（3分）如图，在梯形ABCD中，//ABCD，4AB，3AD，2CD，2AMMD，若3ACBM，则ABAD32．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算【专题】15：综合题；35：转化思想；41：向量法；5A：平面向量及应用【分析】设DAB，根据2()()()()33ACBMADCDAMABADCDADAB，化简计算求出1cos8，再根据向量数量积公式计算即可．【解答】解：设DAB，//ABCD，180D2AMMD，()()ACBMADCDAMAB，2()()3ADCDADAB，222||33ADADABCDADCDAB，222||||||cos||||cos(180)||||cos18033ADADABCDADCDAB，222334cos23cos243328cos3，1cos8，13||||cos3482ADABADAB，故答案为：32【点评】本题考查了向量的数量积运算和向量的加减的几何意义，属于中档题．10．（3分）集合{|Lll与直线yx相交，且以交点的横坐标为斜率}．若直线lL，点(1,2)P到直线l的最短距离为r，则以点P为