上海市崇明区2019年高三第一学期期末一模学科质量检测数学试题及答案word解析版

2019年上海市崇明区高考数学一模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中第1-6题每题4分，第7-12每每题5分）【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写加过】1．（4分）＝．2．（4分）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，则A∩B＝．3．（4分）若复数z满足2z+＝3﹣2i，其中i为虚数单位，则z＝．4．（4分）（x2﹣）8的展开式中x7的系数为（用数字作答）5．（4分）角θ的终边经过点P（4，y），且，则tanθ＝．6．（4分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝4x上一点P到焦点的距离为5，则点P的横坐标是．7．（5分）圆x2+y2﹣2x+4y＝0的圆心到直线3x+4y+5＝0的距离等于．8．（5分）设一个圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则此圆锥的体积等于．9．（5分）若函数f（x）＝log2的反函数的图象过点（﹣3，7），则a＝10．（5分）2018年上海春季高考有23所高校招生，如果某3位同学恰好被其中2所高校录取，那么不同的录取方法有种．11．（5分）设f（x）是定义在R上的以2为周期的偶函数，在区间[0，1]上单调递减，且满足f（π）＝1，f（2π）＝2，则不等式组的解集为．12．（5分）已知数列{an}满足：①a1＝0，②对任意的n∈N*都有an+1＞an成立．函数fn（x）＝|sin（x﹣an）|，x∈[an，an+1]满足：对于任意的实数m∈[0，1），fn（x）＝m总有两个不同的根，则{an}的通项公式是．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.】13．（5分）若a＜0＜b，则下列不等式恒成立的是（）A．B．﹣a＞bC．a2＞b2D．a3＜b314．（5分）“p＜2”是“关于x的实系数方程x2+px+1＝0有虚数根”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件15．（5分）已知满足，且，则中最小的值是（）A．B．C．D．不能确定16．（5分）函数f（x）＝x，g（x）＝x2﹣x+2．若存在x1，x2，…，xn∈[0，]，使得f（x1）+f（x2）+…+f（xn﹣1）+g（xn）＝g（x1）+g（x2）+…+g（xn﹣1）+f（xn），则n的最大值是（）A．11B．13C．14D．18三、解答题（本大题共有5题，满分76分）【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤】17．（14分）如图，设长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，直线A1C与平面ABCD所成角为．（1）求三棱锥A﹣A1BD的体积；（2）求异面直线A1B与B1C所成角的大小．18．（14分）已知函数f（x）＝cosx•sinx+．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A）＝，a＝3，b＝4．求△ABC的面积．19．（14分）某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能活得25万元～1600万元的投资收益，现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，奖金不超过75万元，同时奖金不超过投资收益的20%．（即：设奖励方案函数模型为y＝f（x）时，则公司对函数模型的基本要求是：当x∈[25，1600]时，①f（x）是增函数；②f（x）≤75恒成立；（3）恒成立．）（1）判断函数是否符合公司奖励方案函数模型的要求，并说明理由；（2）已知函数符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a的取值范围．20．（16分）已知椭圆Γ：，B1，B2分别是椭圆短轴的上下两个端点，F1是椭圆的左焦点，P是椭圆上异于点B1，B2的点，若△B1F1B2的边长为4的等边三角形．（1）写出椭圆的标准方程；（2）当直线PB1的一个方向向量是（1，1）时，求以PB1为直径的圆的标准方程；（3）设点R满足：RB1⊥PB1，RB2⊥PB2，求证：△PB1B2与△RB1B2的面积之比为定值．21．（18分）已知数列{an}，{bn}均为各项都不相等的数列，Sn为{an}的前n项和，．（1）若，求a4的值；（2）若{an}是公比为q（q≠1）的等比数列，求证：数列为等比数列；（3）若{an}的各项都不为零，{bn}是公差为d的等差数列，求证：a2，a3，…，an，…成等差数列的充要条件是．2019年上海市崇明区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中第1-6题每题4分，第7-12每每题5分）【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写加过】1．（4分）＝．【考点】6F：极限及其运算．【专题】11：计算题；52：导数的概念及应用．【分析】将分式分子、分母同时除以n，再利用，，可求解．【解答】解：＝＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了极限的运算，属简单题．2．（4分）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，则A∩B＝{0，1}．【考点】1E：交集及其运算．【专题】36：整体思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】直接利用交集运算得答案．【解答】解：A∩B＝{0，1}．故答案为：{0，1}．【点评】本题考查了交集及其运算，是基础题．3．（4分）若复数z满足2z+＝3﹣2i，其中i为虚数单位，则z＝1﹣2i．【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题；36：整体思想；4O：定义法；5N：数系的扩充和复数．【分析】设复数z＝a+bi，（a、b是实数），则＝a﹣bi，代入已知等式，再根据复数相等的含义可得a、b的值，从而得到复数z的值．【解答】解：设z＝a+bi，（a、b是实数），则＝a﹣bi，∵2z+＝3﹣2i，∴2a+2bi+a﹣bi＝3﹣2i，∴3a＝3，b＝﹣2，解得a＝1，b＝﹣2，则z＝1﹣2i故答案为：1﹣2i．【点评】本题给出一个复数乘以虚数单位后得到的复数，求这个复数的值，着重考查了复数的四则运算和复数相等的含义，属于基础题．4．（4分）（x2﹣）8的展开式中x7的系数为﹣56（用数字作答）【考点】DA：二项式定理．【专题】34：方程思想；35：转化思想；5P：二项式定理．【分析】利用通项公式即可得出．【解答】解：Tr+1＝＝x16﹣3r，令16﹣3r＝7，解得r＝3．∴（x2﹣）8的展开式中x7的系数为＝﹣56．故答案为：﹣56．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5．（4分）角θ的终边经过点P（4，y），且，则tanθ＝．【考点】G9：任意角的三角函数的定义．【专题】35：转化思想；49：综合法；56：三角函数的求值．【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得tanθ的值．【解答】解：角θ的终边经过点P（4，y），且＝，∴y＝﹣3，则tanθ＝＝﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．6．（4分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝4x上一点P到焦点的距离为5，则点P的横坐标是4．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】35：转化思想；4O：定义法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，已知|PF|＝5，则P到准线的距离也为5，即x+1＝5，即可求出x．【解答】解：∵抛物线y2＝4x＝2px，∴p＝2，由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，∴|PF|＝x+1＝5，∴x＝4，故答案为：4．【点评】考查了抛物线的定义、焦半径．到焦点的距离常转化为到准线的距离求解，属于基础题7．（5分）圆x2+y2﹣2x+4y＝0的圆心到直线3x+4y+5＝0的距离等于0．【考点】IT：点到直线的距离公式；J9：直线与圆的位置关系．【专题】38：对应思想；4R：转化法；5B：直线与圆．【分析】先求圆的圆心坐标，利用点到直线的距离公式，求解即可．【解答】解：由已知得圆心为：P（1，﹣2），由点到直线距离公式得：d＝＝0，故答案为：0．【点评】本题以圆为载体考查点到直线的距离公式，考查学生计算能力，是基础题．8．（5分）设一个圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则此圆锥的体积等于．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】38：对应思想；49：综合法；5Q：立体几何．【分析】根据圆锥的侧面展开图的弧长为圆锥底面周长得出圆锥底面半径，从而得出圆锥的高，代入体积公式计算即可．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则2πr＝2π，∴r＝1．∴圆锥的高h＝＝．∴圆锥的体积V＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了圆锥的结构特征，侧面展开图，属于基础题．9．（5分）若函数f（x）＝log2的反函数的图象过点（﹣3，7），则a＝6【考点】4O：对数函数的单调性与特殊点；4R：反函数．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．【分析】∵f（x）的反函数图象过点（﹣3，7），所以原函数f（x）的图象过（7，﹣3），然后将点（7，﹣3）代入f（x）可解得．【解答】解：∵f（x）的反函数图象过点（﹣3，7），所以原函数f（x）的图象过（7，﹣3），∴f（7）＝﹣3，即log2＝﹣3，∴＝2﹣3，∴a＝6．故答案为：6【点评】本题考查了反函数．属基础题．10．（5分）2018年上海春季高考有23所高校招生，如果某3位同学恰好被其中2所高校录取，那么不同的录取方法有1518种．【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；5O：排列组合．【分析】解决这个问题得分三步完成，第一步把三个学生分成两组，第二步从23所学校中取两个学校，第三步，把学生分到两个学校中，再用乘法原理求解【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题，解决这个问题得分三步完成，第一步把三个学生分成两组，第二步从23所学校中取两个学校，第三步，把学生分到两个学校中，共有C31C22A232＝1518，故答案为：1518．【点评】本题考查分步计数问题，本题解题的关键是把完成题目分成三步，看清每一步所包含的结果数，本题是一个基础题．11．（5分）设f（x）是定义在R上的以2为周期的偶函数，在区间[0，1]上单调递减，且满足f（π）＝1，f（2π）＝2，则不等式组的解集为[π﹣2，8﹣2π]．【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【专题】11：计算题；33：函数思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．【分析】根据f（x）是以2为周期的偶函数，并且在[0，1]上单调递减，便可由f（π）＝1，f（2π）＝2得出f（4﹣π）＝1，f（2π﹣6）＝2，并且由1≤x≤2得出0≤2﹣x≤1，从而由1≤f（x）≤2得出f（4﹣π）≤f（2﹣x）≤f（2π﹣6），进而得出，解该不等式组即可．【解答】解：∵f（x）是以2为周期的偶函数，且f（x）在[0，1]上单调递减；∴由f（π）＝1，f（2π）＝2得，f（4﹣π）＝1，f（2π﹣6）＝2，且4﹣π，2π﹣6∈[0，1]；由1≤x≤2得，0≤2﹣x≤1；∴由得，；∴；解得π﹣2≤x≤8﹣2π；∴原不等式组的解集为[π﹣2，8﹣2π]．故答案为：[π﹣2，8﹣2π]．【点评】考查周期函数和偶函数的定义，以及减函数的定义，不等式的性质．12．（5分）已知数列{an}满足：①a1＝0，②对任意的n∈N*都有an+1＞an成立．函数fn（x）＝|sin（x﹣an）|，x∈[an，an+1]满足：对于任意的实数m∈[0，1），fn（x）＝m总有两个不同的根，则{an}的通项公式是an＝π．【考点】8H：数列递推式．【专题】11：计算题；38：对应思想；4F：归纳法；54：等差数列与等比数列．【分析】利用三角函数的图象与性质、诱导公式、数列的递推关系可得an+1﹣an＝nπ，再利用“累加求和”方法、等差数列的求和公式即可得出．【解答】解：∵a1＝0，当n＝1时，f1（x）＝|sin（x﹣a1）|＝|sinx|，