上海市普陀区2019年高三第一学期期末一模学科质量检测数学试题及答案word解析版

2019年上海市普陀区高考数学一模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸相应位置直接填写结果1．（4分）函数f（x）＝的定义城为．2．（4分）若sinα＝，则cos（）＝．3．（4分）设α∈{，﹣1，﹣2，3}，若f（x）＝xα为偶函数，则α＝．4．（4分）若直线l经过抛物线C：y2＝4x的焦点且其一个方向向量为＝（1，1），则直线l的方程为．5．（4分）若一个球的体积是其半径的倍，则该球的表面积为．6．（4分）在一个袋中装有大小、质地均相同的9只球，其中红色、黑色、白色各3只，若从袋中随机取出两个球，则至少有一个红球的概率为．（结果用最简分数表示）7．（5分）设（x﹣1）（x+1）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a6x6，则a3＝（结果用数值表示）8．（5分）设a＞0且a≠1，若loga（sinx﹣cosx）＝0，则sin8x+cos8x＝．9．（5分）如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为4，记A1C1∩B1D1＝F，BC1∩B1C＝E，若AE⊥BF，则此棱柱的体积为．10．（5分）某人的月工资由基础工资和绩效工资组成2010年每月的基础工资为2100元、绩效工资为2000元从2011年起每月基础工资比上一年增加210元、绩效工资为上一年的110%．照此推算，此人2019年的年薪为万元（结果精确到0.1）11．（5分）已知点A（﹣2，0），设B、C是圆O：x2+y2＝1上的两个不同的动点，且向量＝t+（1﹣t）（其中t为实数），则＝．12．（5分）设a为常数记函数f（x）＝+loga（a＞0且a≠1，0＜x＜a）的反函数为f﹣1（x），则f﹣1（）+f﹣1（）+f﹣1（）+……+f﹣1（）＝．二、选择题（本大题共有4题满分20分.每题5分）每题有且只有一个正确选项考生应在答题纸的相应位置将代表正确选项的小方格涂黑13．（5分）下列关于双曲线Γ：＝1的判断，正确的是（）A．渐近线方程为x±2y＝0B．焦点坐标为（±3，0）C．实轴长为12D．顶点坐标为（±6，0）14．（5分）函数y＝2cos（2x+）的图象（）A．关于原点对称B．关于点（﹣）C．关于y轴对称D．关于直线x＝轴对称15．（5分）若a、b、c表示直线，α、β表示平面，则“a∥b”成立的一个充分非必要条件是（）A．a⊥b，b⊥cB．a∥α，b∥αC．a⊥β，b⊥βD．a∥c，b⊥c16．（5分）设f（x）是定义在R上的周期为4的函数，且f（x）＝，记g（x）＝f（x）﹣a，若0＜a≤则函数g（x）在区间[﹣4，5]上零点的个数是（）A．5B．6C．7D．8三、解答题17．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边依次为a，b，c，且cosC＝．（1）求2cos2+2sin2C的值；（2）设c＝2，求a+b的取值范围．18．已知曲线Γ：＝1的左、右顶点分别为A，B，设P是曲线Γ上的任意一点．（1）当P异于A，B时，记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，求证：k1•k2是定值；（2）设点C满足＝λ（λ＞0），且|PC|的最大值为7，求λ的值．19．如图所示，某地出土的一种“钉”是由四条线段组成，其结构能使它任意抛至水平面后，总有一端所在的直线竖直向上，并记组成该“钉”的四条线段的公共点为O，钉尖为Ai（i＝1，2，3，4）．1）设OA1＝a（a＞0），当A1，A2，A3在同一水平面内时，求OA1与平面A1A2A3所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．（2）若该“钉”的三个钉尖所确定的三角形的面积为3cm2，要用某种线型材料复制100枚这种“钉”（损耗忽略不计），共需要该种材料多少米？20．设数列{an}满足a1＝，an+1＝（n∈N*）．（1）求a2，a3的值；（2）求证：{﹣1}是等比数列，并求（﹣n）的值；（3）记{an}的前n项和为Sn，是否存在正整数k，使得对于任意的n（n∈N*且n≥2）均有Sn≥k成立？若存在，求出k的值：若不存在，说明理由．21．已知函数f（x）＝2x（x∈R），记g（x）＝f（x）﹣f（﹣x）．（1）解不等式：f（2x）﹣f（x）≤6；（2）设k为实数，若存在实数x0∈（1，2]，使得g（2x0）＝k•g2（x0）﹣1成立，求k的取值范围；（3）记h（x）＝f（2x+2）+a•f（x）+b（其中a，b均为实数），若对于任意的x∈[0，1]，均有|h（k）|，求a，b的值．2019年上海市普陀区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸相应位置直接填写结果1．（4分）函数f（x）＝的定义城为（﹣∞，0）∪（0，1]．【考点】33：函数的定义域及其求法．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．【分析】根据偶次根式中被开方非负，分母不为0列式解得．【解答】解：由解得：x≤1且x≠0，故答案为：（﹣∞，0）∪（0，1]【点评】本题考查了函数的定义域及其求法．属基础题．2．（4分）若sinα＝，则cos（）＝．【考点】GO：运用诱导公式化简求值．【专题】33：函数思想；4R：转化法；56：三角函数的求值．【分析】由已知直接利用三角函数的诱导公式化简求值．【解答】解：∵sinα＝，∴cos（）＝﹣sin．故答案为：﹣．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式的应用，是基础题．3．（4分）设α∈{，﹣1，﹣2，3}，若f（x）＝xα为偶函数，则α＝﹣2．【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【专题】11：计算题；33：函数思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．【分析】可以看出，只有α＝﹣2时，f（x）为偶函数，从而得出α＝﹣2．【解答】解：f（x）＝x﹣2是偶函数；∴α＝﹣2．故答案为：﹣2．【点评】考查偶函数的定义，偶函数图象的特点．4．（4分）若直线l经过抛物线C：y2＝4x的焦点且其一个方向向量为＝（1，1），则直线l的方程为x﹣y﹣1＝0．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】35：转化思想；4G：演绎法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出抛物线y2＝4x的焦点，求出直线l的斜率，用点斜式求直线方程，并化为一般式．【解答】解：抛物线y2＝4x的焦点为（1，0），方向向量为＝（1，1）的直线l的斜率为1，故直线l的方程是y﹣0＝1•（x﹣1），即y＝x﹣1，故答案为：x﹣y﹣1＝0．【点评】本题考查用点斜式求直线方程的方乘，抛物线的简单性质，确定斜率是解题的关键．5．（4分）若一个球的体积是其半径的倍，则该球的表面积为4．【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】设球的半径为R，根据题意列方程可得．【解答】解：设球的半径为R，则πR3＝R，∴πR2＝1，球的表面积为：4πR2＝4，故答案为：4．【点评】本题考查了球的体积和表面积，属中档题．6．（4分）在一个袋中装有大小、质地均相同的9只球，其中红色、黑色、白色各3只，若从袋中随机取出两个球，则至少有一个红球的概率为．（结果用最简分数表示）【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5I：概率与统计．【分析】从袋中随机取出两个球，基本事件总数n＝＝36，至少有一个红球的对立事件是没有红球，由此能求出至少有一个红球的概率．【解答】解：在一个袋中装有大小、质地均相同的9只球，其中红色、黑色、白色各3只，从袋中随机取出两个球，基本事件总数n＝＝36，至少有一个红球的对立事件是没有红球，∴至少有一个红球的概率为P＝1﹣＝．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．（5分）设（x﹣1）（x+1）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a6x6，则a3＝0（结果用数值表示）【考点】DA：二项式定理．【专题】35：转化思想；49：综合法；5P：二项式定理．【分析】把（x+1）5按照二项式定理展开，可得a3的值．【解答】解：∵（x﹣1）（x+1）5＝（x﹣1）（x5+5x4+10x3+10x2+5x+1）＝a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a6x6，则a3＝10﹣10＝0，故答案为：0．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．8．（5分）设a＞0且a≠1，若loga（sinx﹣cosx）＝0，则sin8x+cos8x＝1．【考点】4H：对数的运算性质；GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】35：转化思想；56：三角函数的求值；57：三角函数的图象与性质．【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变变换和对数的应用求出结果．【解答】解：设a＞0且a≠1，若loga（sinx﹣cosx）＝0，所以：sinx﹣cosx＝a0＝1，所以：sinx•cosx＝0，则：sinx﹣cosx＝1，则：sin8x+cos8x＝（sin4x﹣cos4x）2+2sin4x•cos4x，＝[（sin2x+cos2x）（sin2x﹣cos2x）]2+2sin4x•cos4x，＝[（sinx+cosx）（sinx﹣cosx）]2﹣0，＝1，故答案为：1．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．9．（5分）如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为4，记A1C1∩B1D1＝F，BC1∩B1C＝E，若AE⊥BF，则此棱柱的体积为32．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】31：数形结合；41：向量法；5F：空间位置关系与距离．【分析】建立空间直角坐标系，设出直四棱柱的高h，求出的坐标，由数量积为0求得h，则棱柱的体积可求．【解答】解：建立如图所示空间直角坐标系，设DD1＝h，又AB＝BC＝4，则A（4，0，0），E（2，4，），B（4，4，0），F（2，2，h），∴，，∵AE⊥BF，∴4﹣8+＝0，即h＝．∴此棱柱的体积为．故答案为：．【点评】本题考查棱柱体积的求法，考查利用空间向量求解线线垂直问题，是中档题．10．（5分）某人的月工资由基础工资和绩效工资组成2010年每月的基础工资为2100元、绩效工资为2000元从2011年起每月基础工资比上一年增加210元、绩效工资为上一年的110%．照此推算，此人2019年的年薪为10.4万元（结果精确到0.1）【考点】81：数列的概念及简单表示法．【专题】11：计算题；38：对应思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列．【分析】由题意可得，基础工资是以2100元为首项，以210元公差的等差数列，绩效工资以为2000元首项，以公比为1.1的等比数列，即可求出2019年的每月的工资，即可求出年薪【解答】解：由题意可得，基础工资是以2100元为首项，以210元公差的等差数列，绩效工资以为2000元首项，以公比为1.1的等比数列，则此人2019年每月的基础工资为2100+210（10﹣1）＝3990元，每月的绩效工资为2000×1.19≈4715.90元，则此人2019年的年薪为12（3990+4715.90）≈10.4万元，故答案为：10.4．【点评】本题考查了等差数列和等比数列在实际生活中的应用，属于中档题．11．（5分）已知点A（﹣2，0），设B、C是圆O：x2+y2＝1上的两个不同的动点，且向量＝t+（1﹣t）（其中t为实数），则＝3．【考点】9E：向量数乘和线性运算；9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】11：计算题；5A：平面向量及应用．【分析】由向量＝t+（1﹣t）（其中t为实数），可得：A，B，C三点共线，且，同向，设圆O与x轴正半轴交于点E，与x轴负半轴交于点D，由割线定理可得，|AB||AC|＝|AD||AE|＝1×3＝3【解答】解：由向量＝t+（1﹣t）（其中t为实数），可得：A，B，C三点共线，且，同向，设圆O与x轴正半轴交于点E，与x轴负半轴交于点D，