上海市杨浦区2018年高三第一学期期末一模学科质量检测数学试题及答案word解析版

2018年上海市杨浦区高考数学一模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）计算的结果是．2．（4分）已知集合A={1，2，m}，B={3，4}，若A∩B={3}，则实数m=．3．（4分）已知，则=．4．（4分）若行列式，则x=．5．（4分）已知一个关于x、y的二元一次方程组的增广矩阵是，则x+y=．6．（4分）在的二项展开式中，常数项等于．7．（5分）若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率是．8．（5分）数列{an}的前n项和为Sn，若点（n，Sn）（n∈N*）在函数y=log2（x+1）的反函数的图象上，则an=．9．（5分）在△ABC中，若sinA、sinB、sinC成等比数列，则角B的最大值为．10．（5分）抛物线y2=﹣8x的焦点与双曲线﹣y2=1的左焦点重合，则这条双曲线的两条渐近线的夹角为．11．（5分）已知函数，x∈R，设a＞0，若函数g（x）=f（x+α）为奇函数，则α的值为．12．（5分）已知点C、D是椭圆上的两个动点，且点M（0，2），若，则实数λ的取值范围为．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限14．（5分）给出下列函数：①y=log2x；②y=x2；③y=2|x|；④y=arcsinx．其中图象关于y轴对称的函数的序号是（）A．①②B．②③C．①③D．②④15．（5分）“t≥0”是“函数f（x）=x2+tx﹣t在（﹣∞，+∞）内存在零点”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件16．（5分）设A、B、C、D是半径为1的球面上的四个不同点，且满足•=0，•=0，•=0，用S1、S2、S3分别表示△ABC、△ACD、△ABD的面积，则S1+S2+S3的最大值是（）A．B．2C．4D．8三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图所示，用总长为定值l的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边的篱笆隔开．（1）设场地面积为y，垂直于墙的边长为x，试用解析式将y表示成x的函数，并确定这个函数的定义域；（2）怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？18．（14分）如图，已知圆锥的侧面积为15π，底面半径OA和OB互相垂直，且OA=3，P是母线BS的中点．（1）求圆锥的体积；（2）求异面直线SO与PA所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）19．（14分）已知函数的定义域为集合A，集合B=（a，a+1），且B⊆A．（1）求实数a的取值范围；（2）求证：函数f（x）是奇函数但不是偶函数．20．（16分）设直线l与抛物线Ω：y2=4x相交于不同两点A、B，O为坐标原点．（1）求抛物线Ω的焦点到准线的距离；（2）若直线l又与圆C：（x﹣5）2+y2=16相切于点M，且M为线段AB的中点，求直线l的方程；（3）若，点Q在线段AB上，满足OQ⊥AB，求点Q的轨迹方程．21．（18分）若数列A：a1，a2，…，an（n≥3）中（1≤i≤n）且对任意的2≤k≤n﹣1，ak+1+ak﹣1＞2ak恒成立，则称数列A为“U﹣数列”．（1）若数列1，x，y，7为“U﹣数列”，写出所有可能的x、y；（2）若“U﹣数列”A：a1，a2，…，an中，a1=1，an=2017，求n的最大值；（3）设n0为给定的偶数，对所有可能的“U﹣数列”A：a1，a2，…，，记，其中max{x1，x2，…，xs}表示x1，x2，…，xs这s个数中最大的数，求M的最小值．2018年上海市杨浦区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）计算的结果是1．【考点】6F：极限及其运算．菁优网版权所有【专题】35：转化思想；4R：转化法；52：导数的概念及应用．【分析】由n→+∞，→0，即可求得=1．【解答】解：当n→+∞，→0，∴=1，故答案为：1．【点评】本题考查极限的运算，考查计算能力，属于基础题．2．（4分）已知集合A={1，2，m}，B={3，4}，若A∩B={3}，则实数m=3．【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A={1，2，m}，B={3，4}，A∩B={3}，∴实数m=3．故答案为：3．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．3．（4分）已知，则=﹣．【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；56：三角函数的求值．【分析】由已知利用诱导公式即可化简求值得解．【解答】解：∵，∴=．故答案为：﹣．【点评】本题主要考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．4．（4分）若行列式，则x=2．【考点】O1：二阶矩阵．菁优网版权所有【专题】11：计算题．【分析】先根据行列式的计算公式进行化简，然后解指数方程即可求出x的值．【解答】解：∵，∴2×2x﹣1﹣4=0即x﹣1=1∴x=2故答案为：2【点评】本题主要考查了行列式的基本运算，同时考查了指数方程，属于基础题．5．（4分）已知一个关于x、y的二元一次方程组的增广矩阵是，则x+y=6．【考点】OT：特征向量的定义．菁优网版权所有【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5R：矩阵和变换．【分析】由二元线性方程组的增广矩阵可得到二元线性方程组的表达式，由此能求出x+y．【解答】解：∵一个关于x、y的二元一次方程组的增广矩阵是，∴由二元线性方程组的增广矩阵可得到二元线性方程组的表达式，解得x=4，y=2，∴x+y=6．故答案为：6．【点评】本题考查两数和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意增广矩阵的合理运用．6．（4分）在的二项展开式中，常数项等于﹣160．【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有【专题】11：计算题．【分析】研究常数项只需研究二项式的展开式的通项，使得x的指数为0，得到相应的r，从而可求出常数项．【解答】解：展开式的通项为Tr+1=x6﹣r（﹣）r=（﹣2）rx6﹣2r令6﹣2r=0可得r=3常数项为（﹣2）3=﹣160故答案为：﹣160【点评】本题主要考查了利用二项展开式的通项求解指定项，同时考查了计算能力，属于基础题．7．（5分）若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率是．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有【专题】11：计算题；4O：定义法；5I：概率与统计．【分析】分别求出基本事件数，“点数和为4”的种数，再根据概率公式解答即可．【解答】解：基本事件共6×6个，点数和为4的有（1，3）、（2，2）、（3，1）共3个，故P==．故答案为：．【点评】本题考查的知识点是古典概型概率计算公式，难度不大，属于基础题．8．（5分）数列{an}的前n项和为Sn，若点（n，Sn）（n∈N*）在函数y=log2（x+1）的反函数的图象上，则an=2n﹣1．【考点】4R：反函数．菁优网版权所有【专题】51：函数的性质及应用．【分析】先利用点（n，Sn）都在f（x）的反函数图象上即点（Sn，n）都在f（x）的原函数图象上，得到关于Sn的表达式；再利用已知前n项和为Sn求数列{an}的通项公式的方法即可求数列{an}的通项公式；【解答】解：由题意得n=log2（Sn+1）⇒sn=2n﹣1．n≥2时，an=sn﹣sn﹣1=2n﹣2n﹣1=2n﹣1，当n=1时，a1=s1=21﹣1=1也适合上式，∴数列{an}的通项公式为an=2n﹣1；故答案为：2n﹣1【点评】本小题主要考查反函数、利用已知前n项和为Sn求数列{an}的通项公式的方法等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．9．（5分）在△ABC中，若sinA、sinB、sinC成等比数列，则角B的最大值为．【考点】HR：余弦定理．菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形．【分析】由sinA、sinB、sinC依次成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，利用正弦定理化简，再利用余弦定理表示出cosB，把得出关系式代入并利用基本不等式求出cosB的范围，利用余弦函数的性质可求B的最大值．【解答】解：∵在△ABC中，sinA、sinB、sinC依次成等比数列，∴sin2B=sinAsinC，利用正弦定理化简得：b2=ac，由余弦定理得：cosB==≥=（当且仅当a=c时取等号），则B的范围为（0，]，即角B的最大值为．故答案为：．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于基础题．10．（5分）抛物线y2=﹣8x的焦点与双曲线﹣y2=1的左焦点重合，则这条双曲线的两条渐近线的夹角为．【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由已知条件推导出a2+1=4，从而得到双曲线的渐近线方程为y=，由此能求出这条双曲线的两条渐近线的夹角．【解答】解：∵抛物线y2=﹣8x的焦点F（﹣2，0）与双曲线﹣y2=1的左焦点重合，∴a2+1=4，解得a=，∴双曲线的渐近线方程为y=，∴这条双曲线的两条渐近线的夹角为，故答案为：．【点评】本题考查双曲线的两条渐近线的夹角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意抛物线性质的合理运用．11．（5分）已知函数，x∈R，设a＞0，若函数g（x）=f（x+α）为奇函数，则α的值为．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用．菁优网版权所有【专题】35：转化思想；56：三角函数的求值；57：三角函数的图像与性质．【分析】首先通过三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质求出结果．【解答】解：函数，=，=s，函数g（x）=f（x+α）=为奇函数，则：（k∈Z），解得：，故答案为：【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用．12．（5分）已知点C、D是椭圆上的两个动点，且点M（0，2），若，则实数λ的取值范围为．【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有【专题】35：转化思想；41：向量法；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设直线CD的方程，代入椭圆方程，由△≥0，利用韦达定理及向量的坐标运算，即可求得λ的取值范围．【解答】解：假设CD的斜率存在时，设过点M（0，2）得直线方程为y=kx+2，联立方程，整理可得（1+4k2）x2+16kx+12=0，设C（x1，y1），N（x2，y2），则△=（16k）2﹣4×（1+4k2）×12≥0，整理得k2≥，x1+x2=﹣，x1x2=，（*）由，可得，x1=λx2代入到（*）式整理可得==，由k2≥，可得4≤≤，解可得＜λ＜3且λ≠1，当M和N点重合时，λ=1，当斜率不存在时，则D（0，1），C（0，﹣1），或D（0，1），C（0，﹣1），则λ=或λ=3，∴实数λ的取值范围．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理及向量的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．菁优网版权所有【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】直接由复数的除法运算化简，求出复数对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解：∵=，∴复数对应的点的坐标为（﹣1，﹣2），位于第三象限．故选：C．【点评】本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数的代数