上海市长宁区2019年高三第一学期期末一模学科质量检测数学试题及答案word版

长宁区2018-2019年第一学期高三年级质量调研考试数学试卷2018.12考生注意：1．本场考试时间120分钟.试卷共4页，满分150分．2．作答前，在试卷与答题纸正面填写学校、班级、考生号、姓名等．3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位．在试卷上作答一律不得分．4．用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1.已知集合{1,2,3,4}A，{2,4,6}B，则AB2.已知1312x，则x3.在61()xx的二项展开式中，常数项为（结果用数值表示）4.已知向量(3,)am，(1,2)b，若向量a∥b，则实数m5.若圆锥的侧面面积为2，底面面积为，则该圆锥的体积为6.已知幂函数()afxx的图像过点2(2,)2，则()fx的定义域为7.已知(,)2a，且tan2a，则sin()a8.已知函数()logafxx和g()(2)xkx的图像如图所示，则不等式()0()fxgx的解集是9.如图，某学生社团在校园内测量远处某栋楼CD的高度，D为楼顶，线段AB的长度为600m，在A处测得30DAB，在B处测得105DBA，且此时看楼顶D的仰角30DBC，已知楼底C和A、B在同一水平面上，则此楼高度CDm（精确到1m）10.若甲、乙两位同学随机地从6门课程中选修3门，则两人选修的课程中恰有1门相同的概率为11.已知数列{}na的前n项和为nS，且112nnnaa，若数列{}nS收敛于常数A，则首项1a取值的集合为12.已知1a、2a、3a与1b、2b、3b是6个不同的实数，若关于x的方程123123||||||||||||xaxaxaxbxbxb的解集A是有限集，则集合A中最多有个元素二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13.已知xR，则“0x”是“3x”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件14.有一批种子，对于一颗种子来说，它可能1天发芽，也可能2天发芽，，下表是不同发芽天数的种子数的记录：发芽天数12345678种子数826222412420统计每颗种子发芽天数得到一组数据，则这组数据的中位数是（）A.2B.3C.3.5D.415.已知向量a和b夹角为3，且||2a，||3b，则(2)(2)abab（）A.10B.7C.4D.116.某位喜欢思考的同学在学习函数的性质时提出了如下两个命题：已知函数()yfx的定义域为D，12,xxD，①若当12()()0fxfx时，都有120xx，则函数()yfx是D上的奇函数；②若当12()()fxfx时，都有12xx，则函数()yfx是D上的增函数.下列判断正确的是（）A.①和②都是真命题B.①是真命题，②是假命题C.①和②都是假命题D.①是假命题，②是真命题三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17.求下列不等式的解集：（1）|23|5x；（2）442120xx18.《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与地面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，首届中国国际进口博览会的某展馆棚顶一角的钢结构可以抽象为空间图形阳马，如图所示，在阳马PABCD中，PD底面ABCD.（1）已知4ADCDm，斜梁PB与底面ABCD所成角为15，求立柱PD的长；（精确到0.01m）（2）求证：四面体PDBC为鳖臑.19.已知△ABC的三个内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，复数1izab，2cosicoszAB，（其中i是虚数单位），且123izz.（1）求证：coscosaBbAc，并求边长c的值；（2）判断△ABC的形状，并求当3b时，角A的大小.20.已知函数2()1fxxmx，()2sin()6gxx.（1）若函数()2yfxx为偶函数，求实数m的值；（2）若0，2()()3gxg，且函数()gx在[0,]2上是单调函数，求实数的值；（3）若1，若当1[1,2]x时，总有2[0,]x，使得21()()gxfx，求实数m的取值范围.21.已知数列{}na的前n项和为nS，且11a，2aa.（1）若数列{}na是等差数列，且815a，求实数a的值；（2）若数列{}na满足22nnaa（nN），且191019Sa，求证：{}na是等差数列；（3）设数列{}na是等比数列，试探究当正实数a满足什么条件时，数列{}na具有如下性质M：对于任意的2n（nN），都存在mN，使得1()()0mnmnSaSa，写出你的探究过程，并求出满足条件的正实数a的集合.长宁区2018-2019年第一学期高三年级质量调研考试数学试卷参考答案与评分标准一．填空题（本大题共有12题，满分54分，第1—6题每题4分，第7---12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．}6,4,3,2,1{2．13．204．65．336．),0(7．5528．)2,1[9．21210．20911．3112．3二．选择题(本大题共有4题，满分20分，每题5分)每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．B14．B15．D16．C三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必须的步骤．17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）由5|32|x得5325x，……………………4分解得41x．所以原不等式的解集是)4,1(．…………………………………6分（2）原不等式可化为22260xx，……………………4分因为220x，所以62x，……………………………………5分解得6log2x．………………………………………7分所以原不等式的解集是2log6,．……………………………8分18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）（1）解：因为侧棱PD底面ABCD，则侧棱PB在底面ABCD上的射影是DB，所以PBD就是侧棱PB与底面ABCD所成的角，即15PBD．……2分在PDB中，)(24,9022mCDADDBPDB，………3分由DBPDPBDtan得2415tanPD，解得)(52.1mPD．………5分所以立柱PD的长约为m52.1．………………………………6分（2）由题意知底面ABCD是长方形，所以BCD是直角三角形．………………………2分因为侧棱PD底面ABCD，得BCPDDBPDDCPD,,，所以PDC、PDB是直角三角形．…………………………4分因为DCBC，PDBC，又DDCPD，PDDC,平面PDC，所以BC平面PDC．…………………………………………6分又因为PC平面PDC，所以PCBC，所以PBC为直角三角形．…………………………………7分由鳖臑的定义知，四面体PDBC为鳖臑．………………………8分19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）（1）证明：由余弦定理得bcacbAacbcaB2cos,2cos222222，则bcacbbacbcaaAbBa22coscos222222cacbcbca22222222c所以cAbBacoscos．……………………………3分由题意得(i)(cosicos)3iabAB，即3i)icoscos()cos-cos(AbBaBbAa，由复数相等的定义可得0cos-cosBbAa，且3coscosAbBa，………………………5分即3c．………………………………………………6分（2）由（1）得0cos-cosBbAa．………………………1分由正弦定理得0cossincossinBBAA，即BA2sin2sin．……………………………………………………2分因为),0(A、),0(B，所以BA22或BA22，即BA或2BA，即BA或2C．所以ABC知等腰三角形或直角三角形．………………………………4分当BA时，32cos2cAb，所以6A；……………………6分当2C时，3sin3bAc，所以3arcsin3A．……………8分20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）解：（1）设2hxfxx，则221hxxmx由于hx是偶函数，所以对任意Rx，hxhx成立．……2分即1)2(1))(2()(22xmxxmx恒成立．即0)2(2xm恒成立，…………………………………3分所以02m，解得2m．所以所求实数m的值是2m．…………………………………4分（2）由2()3gxg，得22,362kkZ，即132kkZ………2分当[0,]2x时，[,]6626x0，因为sinyx在区间[,]62的单调递增，所以262，再由题设得203…………………………5分所以12．……………………………………6分（3）设函数fx在1,2上的值域为A，gx在0,上的值域为B，由题意和子集的定义，得AB．………………………………………2分当],0[x时，]67,6[6x，]2,1[)(xg．………………3分所以当1,2x时，不等式2112xmx恒成立，由1,1,2mxxx恒成立，得2m，由2,1,2mxxx恒成立，得1m，综上，实数m的取值范围为1,2．………………6分其它做法，对应给分。21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）解：（1）设等差数列na的公差为d．由11a，815a得1571d，解得2d．………………………………………………………2分则得32112daa，所以3a．…………………………………………4分（2）由191019Sa，得)8(192289922910110aa，解得2a，…………………………………………2分由22nnaa，且11a，22a，得当n为奇数时，nnaan2211；当n为偶数时，nnaan2222．………………………………………4分所以对任意*Nn，都有nan，当2n时，11nnaa，所以数列na是以1为首项、1为公差的等差数列．…………………………………6分其它解法，对应给分。（3）由题意1nnaa，……………………………………………1分①当10a时，mSaaa123，所以对任意*Nm，都有032aSaSmm，………………………………2分因此数列na不具有性质M．…………………………………………3分②当1a时，1na，nSn，所以对任意*Nm，都有0)1(232maSaSmm，因此数列na不具有性质M．．…………………………………………4分③当21a时，121log211)2(0)1(2aaaaaaa11121lognnnnaaSaaaan,111log21nnannanaSaaa取021lognaa(x表示不