大学 高等数学试卷统考下

高等数学统考试卷（2003－2004学年第二学期）参改解答一、1．14,7,49（漏“一”号扣一分）2．dyyxxdxyxy22223．120()yydyfxydx4．275．y＝0yekx二、6．D7．D8．C9．B10．C三、11．解法1．记22(,,)(,)FxyzGxyzyxzvuxzGxGF2vuyyGzGF2vuzGyGFxzvuuuxGyGzGxG2，vuvuxGyGxGzGyz222(2)(2)zzyxzxyzxy)2)(2()2)(2()(122vuvuvuyGzGyzxzGxGxzyxGyGxyzxGyGzxyxGyGvuvu22))(4()(1解：将原方程两边同时对x、y求导(z=z(x,y))得0)()2(xzxzGxzyxGvu（1）()(2)0uvzzGzyGyxyy（2）联立（1）、（2）消去Gu、Gv得22zzzzxyyxzyzxxyyx0)2()2(22yzyzxxzxyy12．设三条移长分别为x,y,z，则长方体表面积为求U=2xy+2zx+2yz，其中x+y+z=3a方法一：由zzyyxxfff得111yxxzzy得x=y=z=a为所求唯一解故当x=y=z=a时u=6a2为所求条件最大值方法二：作)3(222),,,(zyxayzzxxyzyxF0)(2zyFx解科x=y=z=a（唯一解）0)(2xzFy2()0zFyx（一般不要求判定）判定法（亦是初等解法）222116(183)(2()666)33auauxyzxyyzzx2221()()()03xyyzzx26au且等号仅当x=y=z=a时或立，故x=y=z=a时u取得条件最大值26ua13．记}2,2,1{1n},,{2}2,2,2{zyxzyxn令}2,1,2//{},,{zyx即yzyx22代入曲面方程9)2()2(222yyy＋1y所求点为(2,1,-2)或(-2,-1,2)14．原式=222222aaaxaaxdxydyaaaadxxa2222212215．方法一：（投影法，柱面坐标法）原式=2222222RxyxyDRRxydzdz2223:4RDxyxyDdyxRRR)2(222220230222)2(RrdrrRRRd22223/233122(()22430RRRRRr444125)811(32832RRR方法二：截面法，用平行于xoy平面的平行平面截所给立体域截面积RzRzRRzzRzzSDD2)(20)2()(22221原式RRDxyzDxyRdzdzdzdz2)(202122202222)(2)2(2RRRdzzRzdzzRzz42224316114141222412322RRRRRRR1252641583641121244RR15．方法：（球面坐标法）作锥面3将分为1及2两部分原式1222zdvzdv3002023cos202220cossin2cossin2RRdddddd32445203112sin22sincos42Rd44)64161(8241432RR441254811632RR17．2()22()2pQxyuyyxuyyx故积分与路径无关选L1：2225yx，从点A(5,0)到B(3,4)ydyxdxABLxdxxdxxx1]2)5([]25)5([35235332]35[)53(25)325(dxx48亦可改选L2折线A(5,0),C(3,0),B(3,4)342250()((9)6)ABACCBxxdxyyydy925259402483)(21)(21ydvvduu)9,(22yvxu18．作辅助0:1z原式＝)()()(11上下上＋＋＋外上＝)()(222222110)666(dvxzzyyxdvzyx)(52222020022sin5Rddd552002)2RR18．20cos0222222rdrrRddyxRVRDxy223/2cos20012()|3RRrd2033332232)sin1(32RdR19．1111)21(|)(||)(|1nuimlxuxuimlnnnn当|x||原级数绝对收敛，当|x||原级数发散当x=1)1(1)(nxUn当＞1时原级数收敛当1时原级数发散当x=－1(1)(1)(1)nnUn当＞1时原级数绝对收敛当0＜1时原级数条件收敛当0原级数发散20．记0!nnnnb11()nnnnnbnlimlimebn故R＝e当ex|23|||1幂级数绝对收敛当ex32幂级数发散21．222'(1)2xxyyxe解：标准化(*)1122222xexxyxxdxdy方法一：先解0122yxxdxdy求得211xccyy改设)()(1xyxuy代入方程（*）2222111)(xexxxxu22)(xxexuceux22故得：222112xexcyx方法二：212)(xxxp22()1xpxdxdxx221ln(1)ln1xx211xepdx()21pxdxexdxxexxceyxpdx)1(12222)(11222xecx方法三：原方程为222])1[(xxeyxceyxx222)1(2212xecyx22．先解065YYY由0652rr得3,221rr故知2312xxYCeCe再求axaeyyy65的特解，*y当32aa，，axaxeaaaAey65*2通解为axxxeaaaececy6523221当a=2，xxxeexeAy22225222*通解xxxeececy232212当a=3xxxeexeAy33335323*通解233123xxxycecexe