大学高等数学 下考点分类

-1-08-12年高等数学下考点分类一、偏导数的几何应用1.[12]求曲面4xyzzee在点ln2,ln2,1处的切平面和法线方程解:令,,4xyzzFxyzee，则2211,,xyxyzzzzxyzxyFeFeFeezzzz从而切点的法向量为ln2,ln2,1,,2,2,4ln2//1,1,2ln2xyznFFF从而切平面为ln2ln22ln210,2ln20xyzxyz法线方程为ln2ln211,ln2ln2112ln22ln2xyzzxy2.[08]设l是曲线22260xyzxyz在点1,2,1处的切向量，求函数,,fxyzxyyzzx在该点沿l的方向导数解：方程组22260xyzxyz两端对x求导，得222010xyyzzyz把1,2,1代入得12010yzyz，解得01yz，于是在点1,2,1处的切向量为1,,1,0,1tyz，单位切向量为11,0,22t所求方向导数为1,2,11111,0,,,,0,1,2,102222xyzfffft3.[08]给定曲面,0,,,xaybFabczczc为常数，其中,Fuv有连续偏导数，证明曲面的切平面通过一个定点。证：令,,,xaybGxyzFzczc，则1211,xyGFGFzczc222zaxbyGFFzczc从而曲面在点,,xyz处的切平面为-2-122220XxYyaxbyFFFFZzzczczczc，其中,,XYZ为动点。显然,,,,XYZabc时成立，故切平面均过,,abc。二、多元函数的极限、连续、可微1.[12]证明函数242,,0,0,0,,0,0xyxyxyfxyxy在点0,0不连续，但存在有一阶偏导数。证明：因为2224424242000lim,limlim1xykxykxxxxykxkfxyxyxkxk与k有关，故二重极限不存在，因而由连续定义函数,fxy在点0,0不连续。又00,00,0000,0limlim00xxxfxffxx，或000,0,000xxxxxffx000,0,0000,0limlim00yyyfyffyy，或00,000yyyf于是函数,fxy在点0,0存在有一阶偏导数。2.[11]设函数222222221sin,0,0,0xyxyxyfxyxy。试证,fxy在点0,0处是可微的解用定义求出0,00,0,00(2)xyff20,00,01sin(2)xyzfxfy00,00,0lim0(2)xyzfxfy0,00,0(2)xyzfxfyo-3-3.[10]证明：(,)fxyxy在点(0,0)处连续，(0,0)fx与(0,0)fy存在，但在(0,0)处不可微。解：（1）00lim0(0,0),(,)0,0xyxyffxyxy因为所以在点处连续.0(,0)(0,0)2(0,0)lim(0,0)0,(0,0)(0,0).xyxxyfxfffxff=0,同理所以与存在2200(0,0)(0,0)3lim(,)0,0.xyxyffxfyxyfxy因为不存在,所以在处不可微4.[09]000099391limlim639xxyyxyxyxyxyxy5.[08]函数,fxy在点,xy处可微是它在该点偏导数zx与zy连续的必要条件（填必要、充分或充要），又是它在该点有方向导数的充分条件（填必要、充分或充要）三、复合函数求导1.[12]设2xyue，则2uuxyxy02.[12]设2222xyzxyz,则1,0,1dz2dxdy3.[12]设ln0xzzy,求2,,zzzxyxy解令,,lnxzFxyzzy，则211,xyyzFFzzyy2211zxyxFzzyzz，于是用公式得22211,11()yxzzFFzzzzyzxxxFxzyFyxzzzzz-4-2222200()()yyzzxzzxzzzxyxzyxzzzzxyyxyxzxzxz22232333zxzzzzxzzxzyxzyxzyxz4.[11]设22sin2xAeyixyzjxzyk,则1,0,1divA05.[11]设,fuv可微，且,xzfxe，则dzdx12xfef6.[11]设2,3yzxyx，其中可微，证明220zzxxyyxy证明由于222,(4)33zyzyyxxxyx22222220(4)33zzyyxxyyxyxyxyxyxx7.10,uxy设函数有连续偏导数,试用极坐标与直角坐标的转化公式cos,sinxryr，将uuxyyx变换为r,下的表达式。解：22cos,sin,arctan,yxryrrxyx由得到sincoscos,sin,,.rrxyxryruuuxyyx从而于是8.[09]2332222222200110,1xxyyxyxyududxdydxxyxyxy在点处9.[09]设22,yzfxx，其中函数f具有二阶连续偏导数，求2zxy。解：22,zyfyx-5-22321222212222223222422zyyyyyyffffffxyxxxxxx10.[09]求由方程组222222320zxyxyz所确定的yx及zx的导数dydx及dzdx。解：,x每个方程两边同时对求导得到6,6213dyxzxdzxdxyzydxz11.[08]设,,,zfxxyfuv有连续偏导数，则dz122fyfdxxfdy12.[08]设zexyz，求22zx解：两边取微分，得zedzxydzxzdyyzdx,zzxzdyyzdxyzdxxzdyedzxydzxzdyyzdxdzexyxyzxy从而zzxxzx，222211zzxzxzzxzzzxxxxxxxzxxz22222322332222211221111zzzzxzzxzzzzxzzzzzxxxzxzxzxz四、多元函数的极值1.[12]在曲面22zxy上找一点，使它到点1,2,33的距离最短，并求最短距离。解设点为,,xyz，则22222,1233zxydxyz等价于求222,,1233fxyzxyz在约束220zxy之下的最小值。令22222,,1233Lxyzxyzzxy且由2222210,220,xyxyLxLyxyxy-6-222330,0zLzLzxy解得驻点2,22,23xyz，最短距离为2,22.,236df2.[11]若函数22,22fxyxaxxyy在点1,1处取得极值，则常数a53.[11]设长方形的长、宽、高分别为,,xyz，且满足1111xyz，求体积最小的长方体。解令Vxyz，1111Lxyzxyz2由22200011110xyzLyzxLxzyLxyzLxyz，求出唯一驻点3,3,36由问题的实际意义可知，当体积最小长方体的长、宽、高均为374.442210(,)21,1,1,1.fxyxyxxyy的极值点是5.[09]求函数22,fxyxy在圆域224xy的最大值和最小值。解：方法一：当224xy时，找驻点20,20xfxfy，得唯一驻点0,0当224xy时，是条件极值，考虑函数2222,,4Fxyxyxy，解方程组2222022040xyFxFyFxy可得02,20xxyy所求最大值为4，最小值为4。方法二：设22,axby，则,fxyab且4,0,0abab，这变成一个简单的线性规划问题。最大值为4，最小值为4。-7-方法三：圆域224xy可写成2cos01,022sinxrryr2,4cos2fxyr最大值为4，最小值为4。[08]设3322,339,0fxyxyxyxx，则它有极小值1,05f五、梯度、方向导数1.[12]函数22lnuxyz在点1,0,1A处沿1,0,1A指向点3,2,2B方向的方向导数122.221042,116,18.zxygradz+9点的梯度3.[09]求二元函数22zxxyy在点1,1处沿方向2,1l的方向导数及梯度，并指出z在该点沿哪个方向减少得最快？沿哪个方向值不变？1,11,13:coscos,3,35zzzgradzxyl解4.1,11,13,33,3zgradzgradz函数在该点沿-方向减少最快,沿与方向垂直的1,11,1,.方向或函数值不变六、二重积分1.[12]设D是222xya所围成的区域,则22Dxyd42a2.[12]计算二重积分22max,xyDedxdy，其中(,)01,01Dxyxy3.[12]设函数fx在,内有连续的导数，且满足222222242xytftxyfxydxdyt。求fx解用极坐标2243400024,00ttftdrfrrdrtrfrdrtf两边求导得3344fttftt，标准化为3344fttftt-8-于是3344444433144tdttdtttttftetedtcetedtceec由00f得00110,eecc