大学高等数学统考期中卷答案

2014-2015高等数学下册期中考试试卷(考试时间：90分钟)姓名：班级：成绩单号：一、解答下列各题（54）1、[5分]设函数,zzxy由方程,0yzFxx确定,其中F为可微函数,且20F,求zzxyxy解：视,zzxy,方程,0yzFxx两边对x求导,得12220zxzyxFFxx,从而122yFzFzxxF方程,0yzFxx两边对y求导,得1210zyFFxx,从而12yFzyyF,故12122yFzFyFzzxyzxyFF2、[5分]设,zzxy是由方程22xyzxyz确定的函数,其中为可导函数,且1,求dz解方程22xyzxyz两边取微分,得22xdxydydzdxdydz,221xdxydydz从而221xdxydydz3、[5分]求函数,arctanxfxyy在点0,1M的梯度解22222220,10,1111,,1,011Mxyxgraduyyxyxyxxyy4、[5分]设P为222:1Sxyzyz椭球面上的一动点,若S在点P处的切平面与xOy面垂直,求点P的轨迹C解xOy面的法向量可为0,0,1,222:10Sxyzyz上点,,Pxyz处的切平面的法向量为2,2,2xyzzy由两平面垂直,则它们的法向量必垂直,从而2,2,20,0,120xyzzyzy故点P的轨迹为2221:20xyzyzCzy,也即为椭圆2231:20xzCzy二、解答下列各题（103）5.求二元函数22,2lnfxyxyyy的极值解令2220,xfxy22ln10yfxyy,得驻点10,e22122,4,2xxxyyyfyfxyfxy,在驻点处2122,0,ABCee由于20,0ACBA,从而函数的极小值为11110,lnfeeee6.设(,)ufxy具有二阶连续的偏导数，且满足等式2222241250uuuxxyy，确定,ab值,使等式在变换,xayxby下简化为20u解：视,为中间变量,则1,1,uuuuuxxxxx22222222222222uuuuuuuuuuxx,,uuuuuababyyyyy2222222222uuuuuuabaabbyy222222()uuuuuuaabbxyy从而2222241250uuuxxyy即为22222224125(8121210)4125uuuaaababbb令2241250,81212100,41255220aaababbbbb得225ab或252ab合要求.7.已知曲线22220:35xyzCxyz,求C上距离xOy最远的点和最近的点解：设点,,Mxyz在曲线上，则其到平面xOy的距离为dz即求22,,fxyzdz在22220,350xyzxyz下的最值点：令2222235Lzxyzxyz则由22220;202430,20;350xyzLxLyLzzLxyzLxyz，解得12,,1,5;xyyzzz即1,1,1,5,5,5为C上距离xOy最近的点和最远的点三、解答下列各题（84）8.设函数,fxy连续,交换二次积分的积分次序10022,ydyfxydx解转化为二重积分时的积分区域为01,220yyx,作图(略),改写表达方式为20,012xxy,从而10220,xdxfxydy9.设函数f连续,若2222,uvDfxyFuvdxdyxy,其中区域D为第一象限2221xyu与0arctanyvx的部分,求Fu解：用极坐标表示区域D为第一象限2221xyu与0arctanyvx的部分,即为1u,0v,从而22011,vuufFuvddvfd从而2Fvfuu10.计算二重积分3Dxydxdy,其中D由曲线21xy与20xy直线20xy及围成解联立曲线方程求得三条线两两交于2,1,2,1,0,0,作图(略)由图可知,区域关于x轴称性,从而2330Dxyydxdy3233DDxydxdyxyxdxdy,把积分区域表示为2212:10,21;:01,21;DyyxyDyyxy22110132323102233yyDyyxydxdydyxyxdxdyxyxdx22111112322424000221192334224yyyydyxyxdxxyxdyyydy1350149149142310231015yyy11.计算二重积分22sin1cos2DIrrdrd,其中,0sec,04Drr解该积分用极坐标作并不方便,使用转化公式,先改用直角坐标表达,221DIyxydxdy,其中,01,0Dxyxyx11222222000011112xxIdxyxydydxxydxy1133222242200001111111cos3333xxydxxdxtdt(令sinxt换元)20112cos21cos4112334ttdt20132sin2sin1114338316tt四、解答下列各题（92）12.求位于两球面22224xyz和22211xyz之间的均匀物体的质心坐标解有对称性,显然0xy,33344282133zdvzzdv为质心坐标.用球坐标,位于两球面2224xyzz和2222xyzz之间的区域可以表示为:02,0,2cos4cos2r从而4cos222002coscossinzdvddrrdr4cos2302cos2cossindrdr250260cossind620cos120206,从而31520287z13.计算由2212,0,0xyxyzxy所确定的立体的体积解：2212,0,0xyxyzxy在柱坐标下为22112cos,sin0,0cossin12cos,cos,sin02z从而有20,12cos,0cossin3z2cos5333010cos16cos9cossincos416Vddd