高等流体力学例题复位势流量环量

例1.已知复位势为(1)分析流动由哪些基本势流组成；(2)圆周x2＋y2＝2上的速度环量Г和流量Q。【解】：(1)对比点源（汇），点涡，偶极子的复势，可以看出此流动由下列简单势流叠加而成：位于原点的偶极子，其强度M＝2π，方向角（由点汇指向点源）β＝π；在点（0，1）和点（0，－1）各有一个点源和点涡，点源强度Q1＝2π，点涡强度Г1＝2π，方向为顺时针方向；在点（0，2）和点（0，－2）各有一个点源和点涡，点源强度Q2＝4π，点涡强度Г2＝6π，方向为逆时针方向。(2)圆周x2＋y2＝2内部区域有两个同向涡点（强度为Г1），还有两个点源（强度为Q1），因此在圆周x2＋y2＝2上的速度环量和流量分别为；例2.势流由一个速度为V∞，方向与x轴正向一致的均匀流和一个位于坐标原点的强度为Q的电源叠加而成，试求经过驻点的流线方程，并绘出该流线的大致形状。【解】：驻点就是速度为零的点，令得可见，驻点的位置为，或，经过驻点的流线为当θ＝π/2时，当θ＝0时，流线形状如图所示。例3.求如图所示的势流的流函数以及经过驻点的流线方程。已知：V∞＝5，Q＝20π，a＝2。【解】：令：，，则下面求驻点位置：所以；，即，当x＝－2，y＝0（驻点）时，θ1＝π＋π/4，θ2＝π－π/4，过驻点流线方程为例4.已知平面流场的速度分布为u＝－x－y，v＝y，试问（1）流场是否有旋？（2）沿如图所示的曲线ABCD的速度环量Г时多少？【解】：可见，流场内处处有旋，涡量为常数。使用斯托克斯定理，可以使曲线ABCD的速度环量的计算变得简单当然也可以由速度的线积分直接计算Г。速度为线性分布，矩形每条边的平均速度等于两端点的速度之和的一半，故Г＝－1×2＋1/2×1－（－2）×4－1/2×1＝2答案虽然一样，但计算要复杂得多。例5.已知速度分布为，，试证流线和涡线平行，并求涡量与速度之间的数量关系，式中k，C为常数。【解】：；涡线方程为可以看出，涡线方程与流线方程完全相同。例6.设不可压缩流体平面运动的流线方程在极坐标下的形式是θ=θ(r)，速度只是r的函数，试证涡量为【解】：不可压缩流体运动的连续性方程为由于速度与θ无关，上式左边第二项为零，因此流线的方程式为，涡量的表达式是上式右边的第二项为零，因此