高中数学椭圆

第5讲椭圆第九章平面解析几何教材回顾夯实基础典例剖析考点突破分层演练直击高考1．椭圆的定义条件结论1结论2平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2M点的轨迹为椭圆_______为椭圆的焦点|MF1|＋|MF2|＝2a_______为椭圆的焦距2a＞|F1F2|F1、F2|F1F2|教材回顾夯实基础典例剖析考点突破分层演练直击高考2.椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)图形教材回顾夯实基础典例剖析考点突破分层演练直击高考标准方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：_______________对称中心：(0，0)顶点A1(－a，0)，A2(a，0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b，0)，B2(b，0)x轴、y轴教材回顾夯实基础典例剖析考点突破分层演练直击高考标准方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)性质轴长轴A1A2的长为______短轴B1B2的长为_______焦距|F1F2|＝______离心率e＝_______，e∈(0，1)a，b，c的关系c2＝_______2a2b2ccaa2－b2教材回顾夯实基础典例剖析考点突破分层演练直击高考判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．()(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)．()(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．()×√×教材回顾夯实基础典例剖析考点突破分层演练直击高考(4)方程mx2＋ny2＝1(m0，n0，m≠n)表示的曲线是椭圆．()(5)y2a2＋x2b2＝1(a≠b)表示焦点在y轴上的椭圆．()(6)x2a2＋y2b2＝1(ab0)与y2a2＋x2b2＝1(ab0)的焦距相等．()√×√教材回顾夯实基础典例剖析考点突破分层演练直击高考已知椭圆x225＋y2m2＝1(m0)的左焦点为F1(－4，0)，则m＝()A．2B．3C．4D．9解析：选B．依题意有25－m2＝16，因为m0，所以m＝3.选B．教材回顾夯实基础典例剖析考点突破分层演练直击高考(教材习题改编)椭圆C的一个焦点为F1(0，1)，并且经过点P(32，1)的椭圆的标准方程为()A.x24＋y23＝1B．x22＋y23＝1C.x23＋y22＝1D．y24＋x23＝1教材回顾夯实基础典例剖析考点突破分层演练直击高考解析：选D.由题意可设椭圆C的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(ab0)，且另一个焦点为F2(0，－1)，所以2a＝|PF1|＋|PF2|＝322＋（1－1）2＋322＋（1＋1）2＝4.所以a＝2，又c＝1，所以b2＝a2－c2＝3.故所求的椭圆方程为y24＋x23＝1，故选D.教材回顾夯实基础典例剖析考点突破分层演练直击高考(教材习题改编)椭圆C的长轴长是短轴长的3倍，则C的离心率为()A.63B．23C.33D．223教材回顾夯实基础典例剖析考点突破分层演练直击高考解析：选D.不妨设椭圆C的方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，则2a＝2b×3，即a＝3b.所以a2＝9b2＝9(a2－c2)．即c2a2＝89，所以e＝ca＝223，故选D.教材回顾夯实基础典例剖析考点突破分层演练直击高考若方程x25－k＋y2k－3＝1表示椭圆，则k的取值范围是________．解析：由已知得5－k0，k－30，5－k≠k－3，解得3k5且k≠4.答案：(3，4)∪(4，5)教材回顾夯实基础典例剖析考点突破分层演练直击高考(教材习题改编)椭圆C：x225＋y216＝1的左右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆C于A，B两点，则△F1AB的周长为________．教材回顾夯实基础典例剖析考点突破分层演练直击高考解析：△F1AB的周长为|F1A|＋|F1B|＋|AB|＝|F1A|＋|F2A|＋|F1B|＋|F2B|＝2a＋2a＝4a.在椭圆x225＋y216＝1中，a2＝25，a＝5，所以△F1AB的周长为4a＝20.答案：20教材回顾夯实基础典例剖析考点突破分层演练直击高考椭圆的定义是每年高考的重点，题型既有选择、填空题，也有时出现在解答题的已知条件中．主要命题角度有：(1)利用定义求轨迹方程；(2)利用定义解决“焦点三角形”问题．椭圆的定义及应用(高频考点)教材回顾夯实基础典例剖析考点突破分层演练直击高考[典例引领]角度一利用定义求轨迹方程(1)如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是()A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆教材回顾夯实基础典例剖析考点突破分层演练直击高考(2)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为()A.x264－y248＝1B．x248＋y264＝1C.x248－y264＝1D．x264＋y248＝1教材回顾夯实基础典例剖析考点突破分层演练直击高考【解析】(1)连接QA.由已知得|QA|＝|QP|.所以|QO|＋|QA|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝r.又因为点A在圆内，所以|OA||OP|，根据椭圆的定义，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为长轴长的椭圆．故选A.(2)设圆M的半径为r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝168＝|C1C2|，所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a＝16，2c＝8，故所求的轨迹方程为x264＋y248＝1.【答案】(1)A(2)D教材回顾夯实基础典例剖析考点突破分层演练直击高考角度二利用定义解决“焦点三角形”问题已知F1、F2是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF→1⊥PF→2，若△PF1F2的面积为9，则b＝________．教材回顾夯实基础典例剖析考点突破分层演练直击高考【解析】设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则r1＋r2＝2a，r21＋r22＝4c2，所以2r1r2＝(r1＋r2)2－(r21＋r22)＝4a2－4c2＝4b2，又因为S△PF1F2＝12r1r2＝b2＝9，所以b＝3.【答案】3教材回顾夯实基础典例剖析考点突破分层演练直击高考1.在本例中增加条件“△PF1F2的周长为18”，其他条件不变，求该椭圆的方程．解：由原题得b2＝a2－c2＝9，又2a＋2c＝18，所以a－c＝1，解得a＝5，故椭圆的方程为x225＋y29＝1.教材回顾夯实基础典例剖析考点突破分层演练直击高考2.在本例中的条件“PF1→⊥PF2→”“△PF1F2的面积为9”分别改为“∠F1PF2＝60°”“S△PF1F2＝33”，结果如何？教材回顾夯实基础典例剖析考点突破分层演练直击高考解：|PF1|＋|PF2|＝2a，又∠F1PF2＝60°，所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos60°＝|F1F2|2，即(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1||PF2|＝4c2，所以3|PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2，所以|PF1||PF2|＝43b2，又因为S△PF1F2＝12|PF1||PF2|·sin60°＝12×43b2×32＝33b2＝33，所以b＝3.教材回顾夯实基础典例剖析考点突破分层演练直击高考椭圆定义的应用(1)椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、弦长、最值和离心率等．(2)椭圆的定义式必须满足2a|F1F2|.教材回顾夯实基础典例剖析考点突破分层演练直击高考[通关练习]1．设P是椭圆x225＋y29＝1上一点，M，N分别是两圆：(x＋4)2＋y2＝1和(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|＋|PN|的最小值和最大值分别为()A．9，12B．8，11C．8，12D．10，12教材回顾夯实基础典例剖析考点突破分层演练直击高考解析：选C.如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆定义知|PA|＋|PB|＝2a＝10，连接PA，PB分别与圆相交于M，N两点，此时|PM|＋|PN|最小，最小值为|PA|＋|PB|－2R＝8；连接PA，PB并延长，分别与圆相交于M，N两点，此时|PM|＋|PN|最大，最大值为|PA|＋|PB|＋2R＝12，即最小值和最大值分别为8，12.教材回顾夯实基础典例剖析考点突破分层演练直击高考2．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为33，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为43，则C的方程为()A.x23＋y22＝1B．x23＋y2＝1C.x212＋y28＝1D．x212＋y24＝1教材回顾夯实基础典例剖析考点突破分层演练直击高考解析：选A.由题意及椭圆的定义知4a＝43，则a＝3，又ca＝c3＝33，所以c＝1，所以b2＝2，所以C的方程为x23＋y22＝1，选A.教材回顾夯实基础典例剖析考点突破分层演练直击高考[典例引领](1)若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为()A.x25＋y2＝1B．x24＋y25＝1C.x25＋y2＝1或x24＋y25＝1D．以上答案都不对椭圆的标准方程教材回顾夯实基础典例剖析考点突破分层演练直击高考(2)一个椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，3)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆的方程为()A.x28＋y26＝1B．x216＋y26＝1C.x28＋y24＝1D．x216＋y24＝1教材回顾夯实基础典例剖析考点突破分层演练直击高考【解析】(1)直线与坐标轴的交点为(0，1)，(－2，0)，由题意知当焦点在x轴上时，c＝2，b＝1，所以a2＝5，所求椭圆的标准方程为x25＋y2＝1.当焦点在y轴上时，b＝2，c＝1，所以a2＝5，所求椭圆的标准方程为y25＋x24＝1.教材回顾夯实基础典例剖析考点突破分层演练直击高考(2)设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．由点P(2，3)在椭圆上知4a2＋3b2＝1.又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，即2a＝2·2c，ca＝12，又c2＝a2－b2，联立得a2＝8，b2＝6.【答案】(1)C(2)A教材回顾夯实基础典例剖析考点突破分层演练直击高考求椭圆标准方程的2种常用方法定义法根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程待定系数法若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a、b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B).教材回顾夯实基础典例剖析考点突破分层演练直击高考[通关练习]1．已知F1，F2分别是椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，点1，22在椭圆上，且点(－1，0)到直线PF2的距离为455，其中点P(－1，－4)，则椭圆E的标准方程为()A．x2＋y24＝1B．x24＋y2＝1C．x2＋y22＝1D．x22＋y2＝1教材回顾夯实基础典例剖析考点突破分层演练直击高考解析：选D.设F2的坐标为(c，0)(c＞0)，则kPF2＝4c＋1，故直线PF2的方程为y＝4c＋1(x－c)，即4c＋1x－y－4cc＋1＝0，点(－1，0)到直线PF2的距离d＝|－4c＋1－4cc＋1|4c＋12＋1＝4