结构力学动力计算

结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院第十章结构动力计算结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院结构动力计算的目的研究结构在动荷载作用下的反应规律，计算动荷载作用下结构的最大动内力和最大动位移，为结构的动力可靠性设计提供依据。动力反应的特点在动荷载作用下，结构的动力反应（动内力、动位移等）都随时间变化，除与动荷载的变化规律有关外，还与结构的固有特性（自振频率、振型和阻尼）有关。不同的结构，如果它们具有相同的阻尼、频率和振型，则在相同的荷载下具有相同的反应。可见，结构的固有特性能确定动荷载下的反应，故称之为结构的动力特性。结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院强迫振动:结构在动荷载作用下产生的振动。研究强迫振动，可得到结构的动力反应。自由振动和强迫振动自由振动:结构在没有动荷载作用时，由初速度、初位移所引起的振动。研究结构的自由振动，可得到结构的自振频率、振型和阻尼参数。结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院§10.1动力计算的特点和动力自由度1、动力计算的特点静荷载：荷载的大小和方向不随时间变化（如梁板自重）。动荷载：荷载的大小和方向随时间变化，需要考虑惯性力。内力与荷载不能构成静平衡,必须考据惯性力。根据达朗伯原理，加惯性力后，将动力问题转化为静力问题处理。列平衡方程时要考虑两点(1).力系中包括惯性力(2).荷载内力等都是时间的函数。结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院2、动力荷载的分类P(t)toP(t)=Psint1)周期荷载：荷载随时间作周期性变化简谐荷载：荷载按正弦余弦规律变化（偏心转子对结构的冲击,机器转动）。结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院2)冲击荷载：荷载在短时间内急剧增加或减少（锻锤对基础的冲击、爆炸等）。P(t)totdP(t)totd3)随机荷载风荷载，地震荷载结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院3、振动体系的自由度自由度：结构运动时，确定运动过程中任一时刻全部质量的位置所需确定的独立几何参数的数目。（与几何组成自由度不同）。自由度数=基本未知量数根据简化方式不同，基本未知量可分为质点位移，广义坐标，结点位移。实际结构有无限个自由度数，需要对计算方法加以简化，减少自由度数。自由度数与简化的方法有关结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院计算方法的简化常用的三种简化方法1.集中质量法:将连续分布的质量集中为质点，以质点位移（线位移）为基本未知量。（本章主要讨论集中质量法）2.广义坐标法：用级数表示度曲线方程，以广义坐标（级数的项系数）为基本未知量。3.有限单元法：将结构分割为若干个单元，用结点位移（线位移与角位移）表示各单元挠曲线方程。将无限自由度问题化为有限自由度问题。结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院mhEIEIky(t)mky(t)my(t)m2EIm将连续分布的质量集中为质点1.集中质量法的简化例36EIkh结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院1.集中质量法的简化与自由度：一质点简化三质点简化41m41m41m81m81m注意：不一定一个质点一个自由度基本未知量为质点的未知线位移21m41m41m结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院1.质量集中法的自由度分析例（5）结构的自由度与是否超静定无关。2个自由度2个自由度4个自由度自由度数=质点未知线位移数结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院假定梁的挠度曲线为1()()nkkkyxax()sinkkxxlka－满足位移边界条件的形状函数－广义坐标（级数项系数）自由度数=广义坐标数(级数项数)2.广义坐标法：用级数表示度曲线方程，以广义坐标（级数的项系数）为基本未知量。结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院3.有限单元法•将结构分割为若干个单元，用结点位移表示各单元挠度曲线方程。将无限自由度问题化为有限自由度问题。综合了集中质量法和广义坐标法的特点。•基本未知量为结点未知位移（线位移+角位移）10个自由度9个自由度结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院1.自由振动运动微分方程•自由振动－由初位移或初速度引起的，在运动中无动荷载作用的振动。•分析自由振动的目的确定结构的动力特性，自振频率，自振周期。10.2单自由度体系的自由振动结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院动平衡方程()()()()()()mytkytFtmytFtyt动荷载:F(t)刚度系数:k柔度系数:=1/k位移:y(t)22()dyytdt()dyytdt静平衡方程kyFFy荷载:F刚度系数:k柔度系数:=1/k位移:y柔度法(位移平衡)刚度法(力平衡)柔度法(位移平衡)刚度法(力平衡)ky(t)mky(t)my(t)m质量:m时间:t速度:加速度：ky(t)mky(t)my(t)mF(t)结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院弹性力=-ky(t),与位移方向相反；惯性力=-)(tym，与加速度y方向相反。ky(t)mky(t)my(t)mky(t)mky(t)my(t)mky(t)mky(t)my(t)mky(t)mky(t)my(t)my两种动平衡方程()()()mytkytFt刚度法-动力平衡方程两种方程的数学意义都是2阶常微分方程。外荷载F(t)=0的方程为2阶齐次常微分方程（自振微分方程）柔度法-动位移平衡方程()()()mytFtyt-惯性力-弹性力=动力柔度*惯性力+柔度*动力=动位移结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院2.自由振动运动方程的解（刚度法）0)()(tkytym设通解为动力平衡方程属于二阶齐次常微分方程mmk121121212121212sincossin()()()()sin()cossincocossiitteeittytccccccccitcctCtCeettit22120ii特征方程涉及到两阶微分等于同型函数的问题,设代入得20yytyce由于齐次常微分方程的通解为所有特解的线性叠加，所以结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院()sincoscossinsin()ytAtAtAt22100020tanvyAyv单自由度体系的无阻尼自由振动是由初位移和初速度引起的简谐振动。00()cossinvytytt方程的解(P357图10-11)：令通解tCtCtycossin)(21初始条件0)0(yy0)0(vy0v1C2C0y结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院简谐自由振动的特性my(t)AmAω2位移（自振方程）)sin()(tAty加速度)sin()(2tAty惯性力)sin()()(2tmAtymtI位移与惯性力作同频同步振动如果一个质点在某方向的位移与所受弹性力成正比，则质点在该方向上可发生简谐自由振动结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院(某一时刻的位移等于隔一段时间T之后的位移，T为自振周期)1kmm自振圆频率:（自振频率）222mTmk自振周期:(2个单位时间内的振动次数，或每秒振动次数*2)频率1fT(每秒振动次数，周期的倒数)刚度或柔度:k或质量:m初始位移：y0初始速度：v0确定单自由度体系的自振方程的四个基本物理量内因素外因素与内在因素有关的物理量结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院()sin()ytAt自振方程振幅：100tanyv22002vAy初始相位角：刚度或柔度:k或质量:m初始位移：y0初始速度：v0确定单自由度体系的自振方程的四个基本物理量内因素外因素与外因素有关的物理量00(0)sin(0)cosytyAytvA代入初始条件得解得结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院自振频率和自振周期是体系固有的，只与内在因素有关，与外在因素无关。算法：柔度法沿质点的可位移方向虚设单位荷载，作图1M图乘法得柔度系数31148MMlEIEI自振频率3148EImml自振周期32248mlTEI算例求图示体系的自振频率和自振周期。（P359）1l/4ml/2l/21M图结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院图示结构体系虽有两个质量，但它们只能沿水平方向同时运动，故仍为单自由度体系。算法：柔度法沿质点的可位移方向虚设单位荷载，作图1M图乘法得柔度系数31123MMlEIEI自振频率31324EImml自振周期EImlT34223mmEIEIEILL算例求图示体系的自振频率和自振周期。1LLM1图L结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院算例．求图示体系的自振频率和周期,C端最大位移解法1：设B处的竖向位移为y、加速度为则C处的竖向位移为5/4y、加速度为y54y-惯性力*力臂-弹性力*力臂=00AM5525004416lMykylMyky平衡方程4217.89/0.35125516kksTsMMlABCkml/4∞00105000/0.12/MkgkNmymvms已知：B点初位移和速度：M220020.15vAymC端最大位移：1.25A=0.187mB点振幅结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院解法2，柔度法55/44kkA154沿质点的可位移方向虚设单位荷载，求得的质点的位移即为柔度系数220020.15vAymC端最大位移：1.25A=0.187m14217.89/0.3515ksTsMMB点振幅结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院222maxmax114,225CCTMYVkY解法3：设C点最大位移为YC；C点最大速度为YC；B点最大位移为0.8YC体系最大动能Tmax和最大应变能Vmax为maxmax417.89/5kTVsM根据能量守恒原理lABCkml/4∞220020.15vAymC端最大位移：1.25A=0.187mB点振幅结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院2()()()PFtytytm式中自振频率刚度法建立动力平衡方程（2阶非齐次常微分方程）/km()()()pmytkytFt-惯性力-弹性力=外力§10－3单自由度体系的强迫振动（不计阻尼）y(t)ymFP(t)kymyFP(t)结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院一.简谐荷载下的动力反应()sinPFtFtF—荷载幅值—荷载的圆频率动力平衡方程2()()sinFytyttm该方程为2阶非齐次常微分方程设特解：*()sinytAt代入得2222()sinsin()FAttmFAm结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院通解为：特解为*22()sin()Fyttm齐次通解+特解2()()sinFytyttm微分方程最大静位移：代入得(0)(0)0yy通解1222/01/stCyC初始条件2stFFyFkm22212()sin(s1)incosCtCtFyttm1222sinc1()sin1osstyttytCtC结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院初始条件(0)(0)0yy的振动方程为221()sinsin1stytytt上式分为两部分。第一部分按荷载频率振动，第二部分按自振频率振动。由于实际振动过程中存在阻尼，按自振频率振动的第二部分会逐渐消失，剩下第一部分，进入平稳阶段（稳态振动）221()sinsin1ststytytyt稳态振动方程动力系数：2211（最大动位移与最大静位移的比值）结构力学（2）浙大宁波理工学院土建学院221()sinsin1ststytytyt稳态振动方程动力系数：22