2020届甘肃省河西五市部分普通高中高三第一次联合考试数学(理)科试题(含答案解析)

2020届甘肃省河西五市部分普通高中高三第一次联合考试数学（理）科试题一、单选题1．已知集合2{|log}Axyx|22Bxx，则AB（）A．12，B．(02]，C．22，D．(2]，【答案】B【解析】2{|log}Axyx(0,),所以02AB，,选B.2．若0,，2sincos3，则sincos的值为（）A．23B．23C．43D．43【答案】C【解析】由诱导公式得2sincos3，两边取平方，可得72sincos9，结合2sincos12sincos及象限角的符号，即可求得答案.【详解】由诱导公式得2sincossincos3，平方得22sincos12sincos9，则72sincos09，所以216sincos12sincos9，又因为0,，所以sincos0，所以4sincos3，故选C.【点睛】本题考查利用三角函数的诱导公式、同角三角函数的平方关系化简求值，考查sin+cos、sin-cos和sincos知一求二的灵活运用.3．已知等比数列na满足213562,4aaaa，则3a的值为（）A．1B．2C．14D．12【答案】A【解析】∵等比数列na满足213562,4aaaa，∴22464aa，又偶数项同号，∴462aa∴212q，∴2311aaq故选：A4．已知mR，“函数21xym有零点”是“函数logmyx在(0,)上是减函数”的（）．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：由题意得，由函数有零点可得，，而由函数在上为减函数可得，因此是必要不充分条件，故选B．【考点】1.指数函数的单调性；2.对数函数的单调性；3.充分必要条件.5．已知0.3log2a，0.12b，sin789c，则a，b，c的大小关系是A．abcB．acbC．cabD．bca【答案】B【解析】分析：分别判断出a，b，c的大致范围，即可比较出它们的大小.详解：0.3log20a，0.121b，sin789sin6901cc.bca.故选：B.点睛：(1)比较幂、对数的大小可以利用数形结合和引入中间量利用函数单调性两种方法．(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.6．已知函数在处取得最大值，则函数的图象A．关于点对称B．关于点对称C．关于直线对称D．关于直线对称【答案】B【解析】利用在处取得最大值，可以求得，再结合余弦型函数的图像判定.【详解】因为函数在处取得最大值，所以，即.,令可得对称中心为，时，可得一个对称中心为，选项B正确；令可得对称轴为，选项C,D均错误，所以选B.【点睛】本题主要考查三角函数的图像和性质.利用整体代换的方法，可以求得对称中心和对称轴.7．已知不等式201xax的解集为(2,1)，则二项式621axx展开式的常数项是（）A．15B．15C．5D．5【答案】B【解析】∵不等式201xax的解集为2,1，11,1aa．二项式662211axxxx的展开式式的通项公式为6316rrrTCx，令630r，求得2r=，可得展开式的常数项是26 15.C故选B．8．如图所示的三视图表示的几何体的体积为323，则该几何体的外接球的表面积为A．12B．24C．36D．48【答案】C【解析】由三视图可得该几何体为底面边长为4m、，一条侧棱垂直底面的四棱锥，设高为4，则132 44,233mm＝，将该几何体补成一个长方体，则其外接球半径为2221 42432R＝，故这个几何体的外接球的表面积为24π36πR．故选C．【点睛】本题考查了由三视图，求体积和表面积，其中根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．属于中档题．9．被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，0.618就是黄金分割比512m的近似值，黄金分割比还可以表示成2sin18，则2242cos271mm（）A．4B．51C．2D．51【答案】C【解析】由题意得m＝2sin18°，4﹣m2＝4cos218°，利用诱导公式，二倍角的正弦函数公式化简，计算即可得解．【详解】由题意得m＝2sin18°，4﹣m2＝4﹣4sin218°＝4（1﹣sin218°）＝4cos218°，∴2242cos271mm＝22sin184cos184sin18cos1821cos541sin36．故选：C．【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．10．已知点A在抛物线220ypxp上，且A为第一象限的点，过A作y轴的垂线，垂足为B，F为该抛物线的焦点，78pAF，则直线BF的斜率为（）A．33B．3C．-1D．-2【答案】B【解析】设00,Axy，由78pAF，利用抛物线定义求得038px，进而得032py，进而tan3BFO即可求解【详解】设00,Axy，因为78pAF，所以0728ppx，解得038px，代入抛物线方程得032py，所以32pOB，2pOF，tan3BFO，从而直线BF的斜率为3.故选：B【点睛】本题考查抛物线的性质及定义，考查运算求解能力，是基础题.11．F为双曲线22221xyab(0,0)ab右焦点，,MN为双曲线上的点，四边形OFMN为平行四边形，且四边形OFMN的面积为bc，则双曲线的离心率为（）A．2B．22C．2D．3【答案】B【解析】设00(,)Mxy，∵四边形OFMN为平行四边形，∴02cx，∵四边形OFMN的面积为bc，∴0ycbc，即0yb，∴(,)2cMb，代入双曲线方程得2114e，∵1e，∴22e，故选B.12．设函数()fx是定义在(,0)上的可导函数，其导函数为'()fx，且有22()'()fxxfxx，则不等式2(2018)(2018)xfx4(2)0f的解集为（）A．(2020,0)B．(,2020)C．(2016,0)D．(,2016)【答案】B【解析】由22'fxxfxx，0x（＜），得：232xfxxfxx（）（）＜，即23[]0xfxx（）＜＜，令F（x）=x2f（x），则当0x＜时，得0Fx（）＜，即0Fx（）在（，）上是减函数，2201820182018242FxxfxFf（）（）（），（）（），即不等式等价为201820FxF（）（）＞， Fx（）在0（，）是减函数，∴由F20182xF（）＞（）得，20182x＜，即2020.x＜故选B．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及抽象不等式的解法，其中利用一种条件合理构造函数，正确利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键二、填空题13．已知fx为偶函数，当0x时，()xfxex，则(ln2)f__________．【答案】2ln2【解析】由偶函数的性质直接求解即可【详解】ln2ln2ln2ln22ln2ffe.故答案为2ln2【点睛】本题考查函数的奇偶性，对数函数的运算，考查运算求解能力14．已知nS是数列{}na的前n项和，且3log11nSn，则数列{}na的通项公式为_____．【答案】8,123,2nnnan【解析】先根据对数的运算性质可得113nnS，再通过1nnnaSS求通项公式．【详解】解：3log11nSn，113nnS，当1n时，119a，解得18a，当2n时，11313123nnnnnnaSS，当1n时，168a，故8,123,2nnnan．故答案为：8,123,2nnnan．【点睛】本题考查通过数列的递推公式求通项公式，考查了运算能力和转化能力，属于基础题．15．在直角梯形ABCD中，//ADBC，090,4,2ABCABBCAD，则向量BD在向量AC上的投影为_______.【答案】2【解析】建立平面直角坐标系，利用数量积投影的定义及坐标运算即可得到结果.【详解】如图建立平面直角坐标系，易得：A0,4B0,0C4,0D2,4，，，∴442,4ACBD，，∴向量BD在向量AC上的投影为816242BDACAC【点睛】平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用.利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数.16．已知四边形为矩形,,为的中点,将沿折起,得到四棱锥,设的中点为,在翻折过程中,得到如下有三个命题:①平面，且的长度为定值；②三棱锥的最大体积为；③在翻折过程中，存在某个位置，使得.其中正确命题的序号为__________．（写出所有正确结论的序号）【答案】①②【解析】取的中点，连接、，证明四边形为平行四边形，得出，可判断出命题①的正误；由为的中点，可知三棱锥的体积为三棱锥的一半，并由平面平面，得出三棱锥体积的最大值，可判断出命题②的正误；取的中点，连接，由，结合得出平面，推出得出矛盾，可判断出命题③的正误.【详解】如下图所示：对于命题①，取的中点，连接、，则，，，由勾股定理得，易知，且，、分别为、的中点，所以，，四边形为平行四边形，，，平面，平面，平面，命题①正确；对于命题②，由为的中点，可知三棱锥的体积为三棱锥的一半，当平面平面时，三棱锥体积取最大值，取的中点，则，且，平面平面，平面平面，，平面，平面，的面积为，所以，三棱锥的体积的最大值为，则三棱锥的体积的最大值为，命题②正确；对于命题③，，为的中点，所以，，若，且，平面，由于平面，，事实上，易得，，，由勾股定理可得，这与矛盾，命题③错误.故答案为：①②.【点睛】本题考查直线与平面平行、锥体体积的计算以及异面直线垂直的判定，判断这些命题时根据相关的判定定理以及性质定理，在计算三棱锥体积时，需要找到合适的底面与高来计算，考查空间想象能力，考查逻辑推理能力，属于难题.三、解答题17．在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且ABC的面积为2sinsinsinBCA.（1）求a的值；（2）若3A，求ABC周长的最大值.【答案】（1）2a（2）6【解析】（1）由面积公式1sin2ABCSabC，利用正弦定理将角化边即可求出边a的值；（2）由余弦定理及基本不等式可求周长的最大值.【详解】解：（1）由题意可得12sinsinsin2sinBCabCA，因为sin0C，所以12sin2sinBabA，由正弦定理可得122baba，得2a.（2）由余弦定理得2222cosabcbcA及3A，可得22223c32bcabcbbc24bc，又2a，所以4bc，所以6abc，当且仅当2bc时等号成立.故ABC周长的最大值是6.【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理及三角形面积公式解三角形，以及