矩阵在自动控制中的应用+

矩阵理论在控制中的应用吴祥矩阵5班201022070738摘要：本文就控制中的常见问题进行了讨论，并应用矩阵，对控制中的一些问题进行描述，运用矩阵的线性变换对控制理论中一些问题的求解进行了简化。关键字：状态空间、对角标准型、约当标准型1、引言20世纪60年代，随着计算机技术的进步，航空航天技术和综合自动化的发展需要，推动了以状态空间为基础，最优控制为核心，主要在时域研究多输入多输出系统的现代控制理论的诞生。经典控制理论是以系统的输入输出为研究依据，其基本数学模型为线性定常高阶微分方程、传递函数。对线性定常离散系统，其数学模型为线性定常高阶微分方程、脉冲传递函数。这些模型仅仅描述系统输入、输出之间的外部特性，不能揭示系统的内部物理状态量的运动规律。若要揭示系统内部特性，就引入了状态空间。2、用矩阵来建立状态空间假设单输入、单输出线性定常n阶连续系统，n个状态变量为1x，2x…….nx。其状态方程的一般形式为：'111112211'221122222'1122.............................nnnnnnnnnnnxaxaxaxbuxaxaxaxbuxaxaxaxbu输出方程为1122......nnnycxcxcxbu其向量-矩阵法方程形式的状态空间表达式为：'11111121'21222222'12....................nnnnnnnnnxxbaaaaaaxxbuaaaxxb1212[.....]..nnxxycccDux简单记为:'xAxBu（1-1）yCxDu(1-2)其中1-1和1-2叫做状态空间。1-1式叫做状态方程，1-2式叫做输出方程。3、状态向量的线性变换与状态空间表达式标准型实际上，为了便于揭示系统特性和简化系统的分析、综合工作，通常通过线性奇异变换，将系统的状态空间表达式等价为某种标准型，如能控标准型，能观标准型、对角标准型、约当标准型。3.1、对角标准型对线性定常系统'xAxBuyCx若系统的特征值为1，2……….n互异，则必存在非奇异变换矩阵T，使A矩阵变换为对角阵。即A=12.n3.2、约当标准型但如果1，2……….n非互异时就不能变为对角阵，那么必存在非奇异变换矩阵T使系统变换为约当标准型。即A=12.nJJJ其中iJ=11.1iii4、线性定常齐次状态方程的解对线性系统动态性能进行定量分析的实质是求解其动态数学模型方程并分析解得性质，有传递函数和状态空间两种分析方法。传递函数分析方法是经典控制中常用的方法。状态空间分析法是现代控制理论的主要分析方法，其直接将系统的微分方程或差分方程化为描述系统的输入、输入与内部状态的关系的数学模型——状态空间方程，运用矩阵方法求解状态方程，直接确定其动态响应，研究系统方程的解法及分析解得性质，是现代控制理论的主要任务。4．1、线性定常齐次方程的解假设线性定常系统在输入u为0时，由初始状态引起的运动称为自由运动其状态方程为：0't=t0x=Axx(t)|=x(t)（2-1）式2-1的解()xt称为自由运动的解或零输入响应。若矩阵A为一阶即A=a，则2-1式变为式2-2所示的标量方程，即0't=t0x=axx(t)|=x(t)（2-2）其解为：0()0()()attxtext将其展开为泰勒级数0()22110002!!1()().......().....attkkkeattattatt（2-3）将2-3式代入2-1中得到：0()2211100002!!!0()().......().....()AttkkkkkkkeIAttAttAttAtt于是2-1方程的解可用系统矩阵指数表达为0()0()()Attxtext（2-4）一般把0()Atte称为状态转移矩阵记为0()tt。4．2、利用特征值标准形及相似变换计算状态转移矩阵由于就矩阵转移函数时涉及到kA，但对一般矩阵的kA计算比较困难而当A矩阵为对角矩阵，约当矩阵时对kA的计算比较容易。下面用矩阵线性变换来求解0()tt。若系统的特征值为1，2……….n互异，则必存在非奇异变换矩阵T，使A矩阵变换为对角阵则112211()..kkknnAVVVV11121!0!11100!0!0()..kknkkkkAtkkkkkkkeeeAttVVVVe虽然对角矩阵能很好的计算出kA，但是由于只有单纯矩阵才能相似对角化，所以对一般矩阵往往采用的时将其变为约当标准型，不失一般性设12.nJJJJ（2-5）式中iJ为形如下式所示的im维约当阵。即iJ=11.1iiiiimm（2-6）所以1211.nJJAtkJeeePePPPe有矩阵指数的定义iJte为上三角矩阵，即1222!(1)!(2)!1.........1............1miimiiiiiittmtmJttmmttee5.应用小结：5．1、用到的矩阵论相关知识：矩阵指数函数的定义和性质对角线标准形和约当标准型矩阵的运算法则，包括矩阵加法和乘法运算和求逆运算矩阵特征值和特征向量计算以及可逆变换矩阵的求解矩阵的可逆变换.5．2、解题思路：给定线性定常系统的自治方程的一般形式：'xAx要求解线性定常系统的零输入响应的表达式时，可以做相似变换：1APAP将A化为对角线标准形或约当标准型，而对角线标准形和约当标准形的矩阵指数函数Ate很容易求出来，为得到原系统的矩阵指数函数Ate，只需要再做一下逆变换：1APAP就可以得到。这样是求解过程得以简化。