电工技术 正弦交流电路

3.1正弦交流电路的基本概念交流电正弦交流电正弦交流电路3.2正弦交流电的基本参数正弦量正弦量的三要素:幅值有效值瞬时值频率角频率周期初相相位差Im2TitOtIisinm3.2正弦交流电的基本参数*无线通信频率：30kHz~30GMHz*电网频率：我国50Hz，美国、日本60Hz*高频炉频率：200~300kHZ*中频炉频率：500~8000HziRI+U_RI=若i=ImSinωt则I=意义：有效值与幅值一样，是对正弦量大小的描述+u_∫i2Rdt=RI2TT01T∫i2dtT0Im2具有相同的热效应例：u=2Sin(ωt+φu)i=2ISin(ωt+φi)则相位差=(ωt+φu)-(ωt+φi)=φu-φi引出：比较两个正弦量间的关系大小关系相位关系相位差：两个同频率正弦量的相位差=初相之差设正弦信号f1(t)=A1sin(t+1),f2(t)=A2sin(t+2)12=01=2称f1与f2同相相位关系：12=称f1与f2反相则两信号的相位差为12=1-2=(t+1)-(t+2)=1-212012称f1超前f212012称f2超前f1f1f2t120f1f2t12=0f1f2t12=例已知:正弦电压的最大值Um=10V,频率f=50Hz，初相θu=-π/3写出电压瞬时值表达式,画出波形图。解)sin()sin()(331410350210ttu1.f=50HzU=220Vψu=90o写出该正弦电压的三角形式2.i1=102Sin(314t+60o)Ai2=10Sin（314t-90o)A（1）I=5Sin（314t+30o）A4根据波形图写三角函数式习题（课堂练习）（2）u=USin（314t+60o）A3判断正误（2）比较二者的相位关系（1）若用电流表测量i1及i2，读数为多少?ti1i330o30o3.3正弦量的相量表示法存在问题：复杂如何简化计算过程？（一）引言u1=2U1Sin(ωt+φ1)u2=2U2Sin(ωt+φ2)求u1+u2=?(二）基础知识——复数1.代数形式表示复数A=a+jb虚数单位j=-1A=a2+b2φ=arctgbaa=Acosφb=Asinφ复数有向线段[思考]:极座标与正弦量的关系?A=Aejφ3.指数式由欧拉公式ejφ=cosφ+jsinφ4.极座标A=Aφ电工惯例２.三角函数Ａ＝Ａcosφ+jAsinφψrrrjrbaAψjesincosj5.复数的运算关键:各种复数形式的转换乘除运算再运算先转化为极坐标A1=A1φ1A2=A2φ2A1A2=|A1||A2|φ1+φ2A1A2|A1||A2|φ1-φ2=加减运算；A1=a1+jb1A2=a2+b2则A1+A2=(a1+a2)+j(b1+b2)例：A=-12-j2转换为极坐标形式因为A在第三象限|A|=(-12)2+(-2)2=4tgφ=(-2)-12(-2)-1233=φ=-A=456π56π练习:A1+A2=5+j6A1=553.1oA1A2=8.1o225A1-A2=1+j2A2=2245oA1A2=10√298.1oA1=3+j4A2=2+j2求：A1+A2，A1A2，A1A2(二)相量与相量图正弦量三要素复数的极坐标相量表示强调:一一对应相量:表示正弦量的复数思考:u=U?相量图:几何表示一个相量例:u=Umsin(ωt+φu)Um=UmφuU=Um/2=Uφu+j0U+1相量的模=正弦量的有效值相量辐角=正弦量的初相角V452220U？正误判断1.已知：)V45(sin220tωuVe22045mU？有效值)A30(sin24tω？Ae4j30I3.已知：复数瞬时值j45•)A60(sin10tωi？最大值V100U？Ve100j15U？负号2.已知：A6010I4.已知：V15100U设角频率为ωi1滞后i2i2=52sin(ωt+53.1o)Ai1=52sin(ωt-53.1o)A解：则I1=5-53.1oAI2=553.1o+jI2+1I1求:i1,i2并画相量图,并比较二者的相位关系例:I1=(3-j4)AI2=(3+j4)A(四)j的物理意义一个相量乘以ejθ相当于把这个相量逆时针旋转θ角一个相量乘以j相当于把这个相量逆时针旋转90oθ=π/2时，cos(π/2)+jsin(π/2)=j(三)符号：uUUmUUmi~i2i1(四)相量的应用求:i1+i2=?i2=5sin(314t+45o)A[思考]:相量图如何进行I1–I2=?例4:i1=102sin(314t-30o)A则:i=11.442sin(314t-12.63o)AI=I1+I2=10[cos(-30o)+jsin(-30o)+{cos45o+jsin45o]25=11.16-j2.5=11.44-12.63oA解:I1=10-30oAI2=5/245oAI1I2I讨论1．用相量可以唯一地表征一个频率已知的正弦量，21II＝反之亦然。即，若21ii则相量只能用来比较相同频率的正弦量；2．相量对应一个正弦量，但不等于正弦量；相量加上频率才能求得正弦量。例1．已知ｕ(t)=√2×220Sin(ωt+30o)，画波形图例２．已知正弦电流的幅值为５Ａ，ｆ＝50Hzφi＝－60o求：（1）T，ω（2）表达式（3）波形图i(t)0π3ωtui030o60o例用有效值相量表示下列正弦量VttuAttiAttisin)()cos()()sin()(200573142156021021解)(AI60101－＝)(VI147152＝)(VU02100＝例已知:)()sin()()sin(AtiAti60430621求：11ii解：))(.sin(.Atii94167921)(32.530sin30cos63061AjjIm)(.AjIm5326042)(....AjIImm941679562721小结相量法将复杂的三角运算简单的代数运算相量图形象{所以相量法是一种实用方法3.4R、L、C元件的正弦交流电路一、电阻元件1.伏—安关系2.相量图3.功率u=UmsinωtttRURuimsinIsinmRIUIUmmRIUIUOO00IRUUIp=ui=UmImsin2ωt=UI(1-cos2ωt)TUIpdtTP01二、电感元件1.伏—安关系2.相量图3.功率uLidtdiLuLLi=ImsinωtLIUIUmmLjLIUIUOOO90090IjXILjUL感抗：XL=ωLUIp=ui=UmImsinωtcosωt=UIsin2ωtTpdtTP001Q=UI(乏)VarjXLUIu=ωLImcosωt=Umcosωt=Umsin(ωt+90°)三、电容元件1.伏—安关系2.相量图3.功率uCidtduCiccu=UmsinωtCIUIUmm1IjXUCUIp=ui=UmImsinωtcosωt=UIsin2ωtTpdtTP001Q=UI(乏)Var-jXCUIC1XC容抗：i=ωCUmcosωt=Imcosωt=Imsin(ωt+90°)COOOjXCjCIUIU19019003.5R、L、C串联交流电路uuRuLuCu=uR+uL+uCCLRUUUU)]([CLjXjXRI)]([CLXXjRIZIZjXjXRZCL)(RXXXXRCLCLarctan)(Z22ICLRUUUU)(CLRUUUUULUC(XLXC);感性;Φ0电流滞后电压ULUC(XLXC);容性;Φ0电流超前电压UL=UC(XL=XC);纯电阻性;Φ=0电流、电压同相UIRULUCUCLUUUIRULUCUCLUUFCmHLR40,127,305：已知例iVtuO求,)20314sin(222040101273143LXL801040314116CXCOCLjXXjRZ1.53504030)(AZUIOOO1.734.41.535020220AtiO)1.73314sin(24.421UUUu=u1+u2U=U1+U2例6：已知V1表和V2表的读数都是10V，求V表的读数。I1U2UU21UUUVUUU14.142221VjO4521010101030Ot例7：将波形如图示的正弦电压施加于电抗XL=5Ω的电抗元件(关联方向)，则通过该元件的电流=()u/VA.50sin(ωt-900)AB.2sin(ωt+600)AC.2sin(ωt-600)Au=10sin(ωt+300)VC3.6阻抗的串、并、混联IZZIZIZUUU)(212121IZU21ZZZ3.7正弦交流电路的功率i=Imsinωtu=Umsin(ωt+φ)p=ui=UmImsin(ωt+φ)sinωt2)cos()cos(sinsin2)2cos(cossin)sin(ttt=UIcosφ-UIcos(2ωt+φ)P=UICOSφTpdtTP01P=UI1cosφZP=P1+P2+P3=U1I1cosφZ1+U2I2cosφZ2+U2I3cosφZ3222121RIRIPRRQ=UIsinφS=UIQ=QL-QC=ULI-UCI=(UL-UC)I=UsinφII.I.I.U.RRjj1212XX12+－例8：已知I=19.6A，R1=3Ω，R2=6Ω，X1=4Ω,X2=8Ω。求电流i1、i2，总有功功率P及Q、S。ojZ1.535431ojZ1.5310862oZZZZZ241.52121VZIU1001.56.19VUO0100设AZUIOOO1.53201.535010011Atio)1.53sin(2201AZUIOOO1.53101.5310010022Atio)1.53sin(2102ozUIP24cos6.19100cosWRIRIP1800222121例9：已知XC=10Ω,R=5Ω,XL=5Ω各电表有效值A1:10A；V1:100V求A0、V0读数。[解]设：(参考相量)VUO01001AIO90101ojZ4525552AZUIOOO452104525010022210IIIKCL：AjjO010101010VjjXIUOCC90100)10(10)(0cUUUKVL10：VVOOO452100901000100例10：已知I2=30A，I3=20A，U1=141.4V，U=220VR1=X1，求：R1，X1，X2，X31U2UU2I3I1IVUUO0][22设：解AIO90302AIO90203AIIIO9010321210102100111IUZ121212RXR1011XR2,12122212cos2UUUUU028400200222UUVU9622.3222IUX8.4323IUX1U2UU2I3I1I21UUUXXXUUU21YYYUUU21uOUUsin