三角函数复习教案

1三角函数一、知识总结正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角注:在直角坐标系内讨论角：角的顶点在原点，始边在x轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就说过角是第几象限的角。若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。2、角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角．第一象限角的集合为36036090,kkk第二象限角的集合为36090360180,kkk第三象限角的集合为360180360270,kkk第四象限角的集合为360270360360,kkk终边在x轴上的角的集合为180,kk终边在y轴上的角的集合为18090,kk终边在坐标轴上的角的集合为90,kk区间角的表示：①象限角：第一象限角：；第三象限角：；第一、三象限角：；②写出图中所表示的区间角：正确理解角：要正确理解“oo90~0间的角”=；“第一象限的角”=；“锐角”=；“小于o90的角”=；xyOxyO23、与角终边相同的角的集合为360,kk（1）终边与终边相同(的终边在终边所在射线上)2()kkZ，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.如与角1825的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。（答：25；536）（2）终边在x轴上的角可表示为：,kkZ；终边在y轴上的角可表示为：,2kkZ；终边在坐标轴上的角可表示为：,2kkZ.如的终边与6的终边关于直线xy对称，则＝____________。答：Zkk,32）4、已知是第几象限角，确定*nn所在象限的方法：先把各象限均分n等份，再从x轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则原来是第几象限对应的标号即为n终边所落在的区域．如若是第二象限角，则2是第_____象限角（答：一、三）5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．6、半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l，则角的弧度数的绝对值是lr．注：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；注意钟表指针所转过的角是负角。7、弧度制与角度制的换算公式：2360，1180，180157.3．8、若扇形的圆心角为为弧度制，半径为r，弧长为l，周长为C，面积为S，则lr，2Crl，21122Slrr．如已知扇形AOB的周长是6cm，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。（答：22cm）9、任意角的三角函数定义：以角的顶点为坐标原点，始边为x轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点),(yxP，点P到原点的距离记为r，则sin；cos；tan；cot；sec；csc；3PvxyAOMT如：角的终边上一点)3,(aa，则sin2cos。注意r0．10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．（1）已知角的终边经过点P(5，－12)，则cossin的值为＿＿。（答：713）；（2）设是第三、四象限角，mm432sin，则m的取值范围是_______（答：（－1，)23）；（3）若0|cos|cossin|sin|，试判断)tan(cos)cot(sin的符号（答：负）特殊角的三角函数值：30°45°60°0°90°180°270°15°75°sin212223010－1624624cos23222110－10624624tan3313002-32+3cot3133002+32-311、三角函数线：sin，cos，tan．三角函数线的重要应用是比较三角函数值的大小和解三角不等式。如（1）若08，则sin,cos,tan的大小关系为_____(答：tansincos)；（2）若为锐角，则,sin,tan的大小关系为_______（答：sintan）；（3）函数)3sin2lg(cos21xxy的定义域是_______（答：2(2,2]()33kkkZ）12、同角三角函数的基本关系：221sincos12222sin1cos,cos1sin；sin2tancos4sinsintancos,costan．作用：已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值。（1）函数sintancoscoty的值的符号为____（答：大于0）；（2）若220x，则使xx2cos2sin12成立的x的取值范围是____（答：[0,]4],43[）；（3）已知53sinmm，)2(524cosmm，则tan＝____（答：125）；（4）已知11tantan，则cossincos3sin＝___；2cossinsin2＝____（答：35；513）；（5）已知a200sin，则160tan等于A、21aaB、21aaC、aa21D、aa21（答：B）；（6）已知xxf3cos)(cos，则)30(sinf的值为______（答：－1）。13、三角函数的诱导公式：1sin2sink，cos2cosk，tan2tankk．2sinsin，coscos，tantan．3sinsin，coscos，tantan．4sinsin，coscos，tantan．口诀：函数名称不变，符号看象限．5sincos2，cossin2．6sincos2，cossin2．5口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．作用：“去负——脱周——化锐”，是对三角函数式进行角变换的基本思路．即利用三角函数的奇偶性将负角的三角函数变为正角的三角函数——去负；利用三角函数的周期性将任意角的三角函数化为角度在区间[0o,360o)或[0o,180o)内的三角函数——脱周；利用诱导公式将上述三角函数化为锐角三角函数——化锐.\（1）97costan()sin2146的值为________（答：2323）；（2）已知54)540sin(，则)270cos(______，若为第二象限角，则)180tan()]360cos()180[sin(2________。（答：54；1003）同角三角函数的关系与诱导公式的运用：①已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值。注意：用平方关系，有两个结果，一般可通过已知角所在的象限加以取舍，或分象限加以讨论。②求任意角的三角函数值。步骤：③已知三角函数值求角：注意：所得的解不是唯一的，而是有无数多个．步骤：①确定角所在的象限；②如函数值为正，先求出对应的锐角1；如函数值为负，先求出与其绝对值对应的锐角1；③根据角所在的象限，得出2~0间的角——如果适合已知条件的角在第二限；则它是1；如果在第三或第四象限，则它是1或12；④如果要求适合条件的所有角，再利用终边相同的角的表达式写出适合条件的所有角的集合。任意负角的三角函数任意正角的三角函数0o~360o角的三角函数求值公式三、一公式一0o~90o角的三角函数公式二、四、五、六、七、八、九6如mtan，则sin，cos；)23sin(；)215cot(_________。14、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：sinyxcosyxtanyx图象定义域RR,2xxkk值域1,11,1R最值当22xkk时，max1y；当22xkk时，min1y．当2xkk时，max1y；当2xkk时，min1y．既无最大值也无最小值周期性22奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222kkk上是增函数；在32,222kkk上是减函数．在2,2kkk上是增函数；在2,2kkk上是减函数．在,22kkk上是增函数．函数性质7对称性对称中心,0kk对称轴2xkk对称中心,02kk对称轴xkk对称中心,02kk无对称轴值域如：（1）若函数sin(3)6yabx的最大值为23，最小值为21，则a__，b＿（答：1,12ab或1b）；（2）函数xxxfcos3sin)(（]2,2[x）的值域是____（答：[－1,2]）；（3）若2，则6ycossin的最大值和最小值分别是____、_____（答：7；－5）；（4）函数2()2cossin()3sin3fxxxxsincosxx的最小值是_____，此时x＝__________（答：2；()12kkZ）；（5）己知21cossin，求cossint的变化范围（答：1[0,]2）；（6）若cos2sin2sin22，求22sinsiny的最大、最小值（答：1maxy，222miny）。特别提醒：在解含有正余弦函数的问题时，你深入挖掘正余弦函数的有界性了吗？周期性：①sinyx、cosyx的最小正周期都是2；②()sin()fxAx和()cos()fxAx的最小正周期都是2||T。注意理解函数周期这个概念，要注意不是所有的周期函数都有最小正周期，如常函数f(x)＝c（c为常数）是周期函数，其周期是异于零的实数，但没有最小正周期．结论：如函数)()(kxfkxf对于Rx任意的，那么函数f(x)的周期T=2k;如函数)()(xkfkxf对于Rx任意的，那么函数f(x)8的对称轴是kxkkxx2)()(例求函数f(x)=3sin)35(xk()0k的周期。并求最小的正整数k,使他的周期不大于1如(1)若3sin)(xxf，则(1)(2)(3)(2003)ffff＝___（答：0）；(2)函数4()cosfxx2sincosxx4sinx的最小正周期为____（答：）；(3)设函数)52sin(2)(xxf，若对任意Rx都有)()()(21xfxfxf成立，则||21xx的最小值为____（答：2）（4）奇偶性与对称性：正弦函数sin()yxxR是奇函数，对称中心是,0kkZ，对称轴是直线2xkkZ；余弦函数cos()yxxR是偶函数，对称中心是,02kkZ，对称轴是直线xkkZ（正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心为图象与x轴的交点）。如（1）函数522ysinx的奇偶性是______、（答：偶函数）；（2）已知函数31f(x)axbsinx(a