大学课件 高等数学 9-2

1重积分在几何上的应用重积分在物理上的应用小结思考题作业第四节重积分的应用第九章重积分2一、重积分在几何上的应用1.平面区域的面积设有平面区域D,DDd2.体积设曲面方程为.),(,0),(Dyxyxfz则D上的曲顶柱体体积为:DyxfVd),(则其面积为:重积分的应用把定积分的元素法推广到重积分的应用中.占有空间有界域的立体的体积为:zyxVddd3d(1)设曲面S的方程为：),(yxfz,dD,d),(yx点.)),(,,(的切平面上过为yxfyxMS,d边界为准线以如图,),(yxMAdsxyzo3.曲面的面积;dSS为截曲面,dA为截切平面SAdd上具有在Dyxf),(),(),(yxfyxfyx和连续偏导数设小区域则有母线平行于z轴的小柱面,在xOy面上的投影区域为D,重积分的应用Sd4面上的投影在为xOyAddd2211cosyxffd1d22yxffA),(yxMxyzso曲面S的面积元素cosdADyxffAd122曲面S的面积公式dAdn重积分的应用Sd(,,1)xynff5(3)设曲面的方程为),(xzhy曲面面积公式zdxyyAxzd122曲面面积公式(2)设曲面的方程为),(zygx曲面面积公式zyxxAzydd122(1)设曲面S的方程为),(yxfzyxzzAyxdd122xyDyzDzxD重积分的应用6xyOaa2解)0,(yx求球面,2222azyx含在圆柱体axyx22内部的那部分面积.例由对称性知,41AA第一挂限图形axyxD221:曲面方程222yxazaaaD1axyx22重积分的应用xyzOyxyxaadd222于是,yxzzyxdd122曲面面积元素为7xyOaa2D11dd4222Dyxyxaa2242aa极坐标d1d422aayxzzADyxdd1412202cosa0重积分的应用yxyxaadd222yxzzyxdd122cosa8例22yxz)0(22aaxyx因曲面方程为,22yxxzx22yxyzy所以,2d2DA2242aoxzy22yxzaxyx22D22yxz解221yxzz截下的有限曲面片的面积.被柱面求曲面a重积分的应用9例222ayx222azx所截的部分的面积.作出图形在第一卦限的A1:22xaz,22xaxzx0yzyxxaadd22则222azx222ayx解部分yxzzyxdd122被圆柱面计算圆柱面(如图).222ayxa重积分的应用xyzOxyO10yxzzAyxdd1d221在第一挂限部分面积为yxxaaADdd12212a整个面积2188aAA222ayxyxxaadd22a重积分的应用xyO222azx222ayxxyzO2222001ddaaxaxyax11(0,0,2a)解解方程组22222yxazazyx得两曲面的交线为圆周azayx222平面上的投影域xOy在222:ayxDxy得由)(122yxaz,2axzxayzy2求由曲面所围立体的表面积.oxyzazyx22222yxaz和)0(a重积分的应用12221yxzz22221ayax222441yxaa知由222yxaz221yxzz2Ayxdd2d41d02220aaa22a)15526(62a222:ayxDxy求由曲面所围立体的表面积.azyx22222yxaz和)0(axyDxyDyxyxaadd441222重积分的应用131989年研究生考题,计算,9分,)0(2222上aazyx例解由于球为中心对称图形,2222)(Razyx2222)(Razyx解得问:R取何值,重积分的应用设半径为R的球面Σ的球心在定球面球面Σ在定球面内部的那部分面积最大?不妨设球面Σ的方程为:因为是求球面Σ在定球面内部的面积,故由方程Ozyx222zaRxy14面积元素是yxzzyxdd122yxyxRRdd22222222222)(azyxRazyx又由aRaz2222)22(22aRaz:xyD2b242224aRRyx令重积分的应用即得出球面Σ在定球面内部的那部分在xOy面上的投影区域222zaRxy15所以yxyxRRdd222极坐标aRRR222dd02220bRR,23222aRRAR而023222aRRAR令,0232aR)0(R所以,,34时即aRyxzzAyxdd122.取得最大值AxyD222:byxDxy222byx24224aRRb重积分的应用球面Σ在定球面内部的面积设为A,则16二、重积分在物理上的应用1、质心MMyxMMxy质点系的总质量对x轴的静矩则该质点系的质心的坐标为它们分别位于,),(,),(),,(2211处nnyxyxyx质量分别为.,,,21nmmmniiniiimxm11niiniiimym11重积分的应用(1)平面薄片的质心对y轴的静矩设xOy平面上有n个质点,17由元素法:,d),(yx,d),(DyyxxM所以,DxyxyMd),(d(,)d,d(,)dyxMxxyMyxy设有一平面薄片,占有xOy面上的闭区域D,在点(x,y)处的面密度为),,(yx假定在D上连续,平面薄片的质心),(yx薄片中相应于d的部分的质量近似等于这部分质量可近似看作集中在点(x,y)上,于是可写出静矩元素:重积分的应用niiiyxmM1niiixymM118注,d1DxAxDyAyd1DAd其中所以,薄片的质心坐标为当薄片是均匀的,质心称为,d),(d),(DDyyxyxxMMxDDxyxyxyMMyd),(d),(重积分的应用形心.平面的面积.19设物体占有空间域,有连续密度函数vzyxvzyxxxd),,(d),,(则其质心坐标为常数时,则得形心坐标,dVvxxvVd物体的体积.重积分的应用(2)物体的质心yyzz当物体是均匀的,,dVvyyVvzzd其中M1、质心(,,),xyz(,,)xyz即当20b例求位于两圆,cosacosb)0(ba之间的均匀薄片的质心.axyO,0yDxAxd1.)(222ababab解薄片关于x轴对称.,d1DxAxDyAyd1则22222ayaxcosasincosyx2222ab20coscosdcosd2ba质心).0,)(2(22ababab重积分的应用21一个炼钢炉为旋转体形,剖面壁线的方程为若炉内储有高为h的均质钢液,不计由对称性知质心在z轴上，,0yx炉壁方程为9)3(222zzyxVzyxzVMzzddd故炉体的自重,求它的质心.重积分的应用例解222)3()(9zzyxzDhyxzddd0zyxVddd)41229(922hhhhzzz02d)3(9h222)3()(9zzyxzDOyxz22重积分的应用VzyxzVMzzddd0ddddddzhzDMzxyzzzxy)51233(923hhh225409043060hhhhhVMzz)41229(922hhhV质心为.5409043060,0,022hhhhh9)3(222zzyx23(1)平面薄片的转动惯量重积分的应用2、转动惯量设平面薄片占有平面区域D,DoyxId),(则转动惯量为D2y2x)(22yxyxO有连续密度函数),,(yx24设物体占有空间区域,),,,(zyxvzyxIxd),,()(22zy重积分的应用(2)物体的转动惯量2、转动惯量则转动惯量为OxyzvzyxIyd),,()(22zxvzyxIzd),,()(22yxvzyxId),,(0)(222zyx有连续的密度函数25abyxxIDydd2bbyaxxy0)1(02ddba3121)1(axby重积分的应用例解设一均匀的直角三角形薄板,两直角边长分别求这三角形对任一直角边的转动惯量.为a、b,设三角形的两直角边分别在x轴和y轴上(如图)yxO对y轴的转动惯量为yxyIDxdd2.1213ab对x轴的转动惯量为2(,)dxDIyxy26用元素法求薄片对z轴上的单位质点的引力221rmmkFzyxFFFd,d,dd引力在三个坐标轴上的投影zyxFFF,,重积分的应用3、引力(1)平面薄片对质点的引力设有一平面薄片,占有xOy面上的闭区域D,在点(x,y)处的面密度为),,(yx假定在D上连续,计算该平面薄片对位于z轴上的点),(yx处的单位质点的引力.),0,0(0aM)0(a元素.OxyzD薄片中d的大小近似地为Fd的部分对该质点的引力2rkd),(yx1),0,0(0aM)0,,(yx(,,).xyzFFFF27222)0()0()0(ayxr222ayx引力的方向)0,,(ayx方向余弦raryrx,,薄片中上的投影的元素:zyxFFF,,,d),(d3ryxkxFx,d),(d3ryxkyFy.d),(d3ryxkaFz221rmmkF重积分的应用薄片中的大小近似地为2d),(1dryxkF的部分对该质点的引力dd的对该质点的引力在三个坐标轴OxyzDd),0,0(0aM)0,,(yx28,d)(),(23222DxayxxyxkF,d)(),(23222DyayxyyxkF.d)(),(23222DzayxyxakFk为引力常数.重积分的应用,d),(d3ryxkxFx,d),(d3ryxkyFy.d),(d3ryxkaFzOxyzDd),0,0(0aM)0,,(yx29重积分的应用3、引力(2)物体对质点的引力设物体占有空间区域,物体对于物体外一点利用元素法,cosd),,(1d2rvzyxkFxcosd),,(1d2rvzyxkFy有连续分布的密度引力元素在三坐标轴上的投影分别空间一物体对于物体外一点),,(0000zyxP处的单位质量的质点的引力.函数),,(0000zyxP的单位质量的质点的引力为221rmmkF30)d)(,,(rvxxzyxk30)d)(,,(rvyyzyxk30)d)(,,(rvzzzyxk21(,,)ddcoszxyzvFkr30vryyzyxkFyd)(),,(30重积分的应用30)d)(,,(drvxxzyxkFx30)d)(,,(drvyyzyxkFy30)d