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1三重积分的概念三重积分的计算小结思考题作业(tripleintegral)第三节三重积分第九章重积分2是空间有界闭区域Ω上的如当各小闭区域直径中的最大值在每个iv),,,(iii),,2,1(),,(nivfiiii.),,(1iniiiivf1.三重积分的定义nvvv,,21将闭区域Ω任意分成n个小闭区域其中iv并作和作乘积①②③④),,(zyxf设有界函数.也表示它的体积.表示第i个小闭区域,上任取一点三重积分一、三重积分的概念(define)3记为函数),,(zyxf趋于零时这和的极限总存在,iiiniivf),,(lim10则称此极限为在闭区域Ω上的三重积分.Ωvzyxfd),,(即Ωvzyxfd),,(体积元素三重积分43.三重积分的几何意义设被积函数,1),,(zyxfVvVd1连续函数一定可积2.三重积分存在性则区域V的体积为在Ω上是可积的.),,(zyxf当的三重积分存在性时,),,(zyxf称三重积分(existence)54.三重积分的性质与二重积分的性质类似.补充三重积分vzyxfd),,(0为f的偶函数z对称性质),,(),,(zyxfzyxf则称f关于变量z的奇函数.即对称点的函数值仅仅符号相反(或者是函数值相等)vzyxfd),,(则(1),坐标面对称xOy关于的奇函数z为f21Ω若域xOy在为其中1坐标面的上半部区域.)),,(),,((zyxfzyxf(偶)三重积分(property)6或,坐标面对称关于xOz的奇函数是yf而得结果为零.例,2222azyxvzyxd22vzyd20vzyd2210则为设域部分的为01z,1坐标面对称关于xOz的奇函数是yf,坐标面对称关于xOy的偶函数是zf三重积分7例,2222azyxvyzxd20vzyd22vzyd42220的偶函数yx,4vzyxfd),,(vzyxfd),,(则(2),,都对称xOzyOz关于两个坐标面若域同为f是其中2在第一,五卦限部分的区域.为设域是2在一,五卦限部分的区域,则2三重积分f,xy为之一的奇函数81988年研究生考题,选择,3分,0,22221zRzyx:设空间区域;d4d)(21vxvxA;d4d)(21vyvyB;d4d)(21vzvzC.d4d)(21vxyzvxyzDC则()成立.三重积分22222,0,0,0,xyzRxyz:9关于三个坐标面都对称,在第一卦限部分的区域.例,2222azyxvyzxd0vzyd22vzyd82230f同为fvzyxfd),,(则若域(3)的偶函数zyx,,3vzyxfd),,(8是其中3为设域是3在第一三重积分卦限的部分,则,,zxy为之一的奇函数10vzyxfd),,(则为f0为fvzyxfd),,(2(4)4关于原点对称,的奇函数zyx,,的偶函数zyx,,三重积分关于原点对称的一半区域.4其中为中若(,,),(,,)xyzxyz(,,)(,,)fxyzfxyz(,,)(,,)fxyzfxyz特别注意:对称点上积分微元的相等或者是刚好反号是问题的本质属性!11.lkjizyxv则zyxvdddd二、三重积分的计算1.在直角坐标系下计算三重积分故直角坐标系下的体积元素为在直角坐标系下三重积分可表为vzyxfd),,().(是小长方体iv在直角坐标系中,如果用平行于坐标面的平面的来划分,zyxzyxfddd),,(三重积分12直角坐标系中将三重积分化为三次积分),,(:11yxzzSDyx),(,1穿入从z投影法思想是),,(:22yxzzS(先一后二法)如图,闭区域xOy在面上的投影为闭区域D,过点作直线,穿出.从2z三重积分xyzODab)(1xyy)(2xyy1S),(1yxzz2S),(2yxzz),(yx1z2z13,,看作定值先将yx),(),(21d),,(),(yxzyxzzzyxfyxF,),()(:21bxaxyyxyDX-型),(yxF再计算zzyxf只看作将),,(的函数,上的二重积分在闭区间D]d),,([),(),(21yxzyxzzzyxfDyxFd),(Ddvzyxfd),,(得),(),(21d),,(yxzyxzzzyxf)()(21dxyxyybaxd三重积分则14vzyxfd),,(轴且穿过闭区域这是平行于z如何写出当D为Y–型闭域时,21(,)(,)(,,)dzxyzxyfxyzz21()()ddbyxayxxy注化为三次积分的公式三重积分S的边界曲面内部的直线与闭区域相交不多两点情形.三重积分15所以,三重积分可以化为六种不同次序的三次积分(累次积分).和积分域Ω选取适当的三次积分进行计算.解题时,要依据具体的被积函数),,(zyxf同样,也可以把积分域Ω向yOz、zOx面投影.三重积分16,dddcos43zyxzyxIV.20,10,10),,(zyxzyxV解由于V是长方体,故20115141Iyyd104xxd103例三次积分的上、下限都是常数,三重积分计算三重积分其中V是长方体xyzO2zzdcos017解1:22yxD化三重积分zyxzyxfIddd),,(为三次积分,例222yxz22xz及所围成的闭区域.22222xzyxz由三重积分其中积分区域为由曲面得交线,由此推出投影区域:故2211xyx11xz11221122222d),,(ddxyxxxzzyxfyxI222yx22xxyzO22xz222yxz18例求zxzyxyeyzxI10)1(1010d)1(dd2111解2ye的原函数不是初等函数,应先x对积分zyx10d10d)1(yy2114e一定要交换积分次序.I211(1)00(1)ddyyzyyez1zyx三重积分xyzO10d)1(yyyzyzye102)1(])1(d[2yzyzzye10)1(d)1(219,dddzyxzxyV计算所围成的区域与平面1z解画积分区域的草图.采用先对x积分,再对y、z积分的方法简单.},10,0),{(zzyzyDyz,),(yzDzy.022yzx220010ddd1yzzxxyyzzIzyyzyzz02210d][2d1zzd811027222yxzV为锥面其中例.在第一卦限内的部分三重积分将V向yOz平面投影对任一x取值为.361先对z积分?得平面区域xyzO120截面法(红色部分)(先二后一法)截面法的一般步骤(1)向某轴把积分区域)(轴如z投影,得投影区间];,[21cc(2)],[21ccz对,的平面去截轴且平行用过xOyz;zD得截面(3)计算二重积分zDyxzyxfdd),,();(zFz的函数其结果为(4).d)(21cczzF最后计算单积分xzoy1c2czzD三重积分21即zDyxzyxfcczvzyxfdd),,(dd),,(21cczzF21d)(当被积函数仅与变量z有关,截面法的公式还有两个.用上公式简便.希自己推注且截面Dz易知时,三重积分22zyxzdddzDyxdd}1|),{(zyxyxDzzDyxdd截面法(先二后一法)解)1)(1(21zz10dzz计算三重积分,dddzyxz为其中例.1所围成的闭区域三个坐标面及平面zyx原式=zzzd)1(21210.241三重积分111xyzO1zyxzD23zzyxyzz101010dddzyzyzz1010d)1(d投影法(先一后二法)xzddyzDzy10计算三重积分,dddzyxz为其中.1所围成的闭区域三个坐标面及平面zyx三重积分zyxzddd102d)(121zzz.241111xyzO1zyxzyxzdddyxDzzxy10dd24已知椭球V:内点(x,y,z)处质量的体密度为:求椭球的质量.1222222czbyax提示vczbyaxMVd222222vaxVd22vbyVd22vczVd22,222222czbyax三重积分25解因为vczbyaxMVd222222vaxVd22vbyVd22vczVd22而vaxVd22等于xDzydd222211axcaxbxaxaad22zyddxD:1222222的面积椭圆axczby221axbc其中三重积分26由对等性知abc154VVvczvbydd2222因此.54abcM所以vaxVd22xaxaad22xDzydd)1(dd22axbczyxDabc154三重积分22222(1)daabcxxxaa27xyzO222224yxzyxaz及求曲面.V所围立体体积解两曲面的交线为22222ayxaz所以,:xyDxOyV面的投影域在2222ayxVvVd222224ddyxayxDzxyxyDyxyxad)4(22222d)4(d202220aa例极坐标三重积分38(22).3a28,0,20z规定xyzo),,(zyxM),(Pz,,,,直角坐标与柱面坐标的关系为cos,sin,xyzz就叫点M的柱面坐标.三重积分2.利用柱面坐标计算三重积分cylindricalcoordinates设M(x,y,z)为空间内一点,并设点M在xOy面上的投影P的极坐标为则这样的三个数29为常数为常数z为常数柱面坐标系中,以z轴为中心轴的圆柱面;过z轴的半平面.与xOy平面平行的平面;三坐标面分别为z,,三重积分称点M的柱面坐标),,(zyxM),(PxyzO30xyzo柱面坐标系中的体积元素为zvddddV在柱面坐标系中,,如图,V得小柱体即直角坐标系下三重积分与(红色部分).若以三坐标面分割空间区域柱(面)坐标系下三重积分的关系是z三重积分z31如何计算柱坐标系下三重积分zyxzyxfddd),,((f,cos,sin)zzddd回想直角坐标系下计算三重积分方法.将三重积分化为,cosx,sinyzz三次积分(累次积分)zvdddd三重积分32zyxzyxfddd),,(柱坐标系下三重积分的计算,可得柱坐标系下三重积分化为三次积分baxyxyyxzyxzzzyxfyx)()(),(),(2121d),,(ddz,,与x,y,z等同的看为三个变量.如,极坐标不等式表示,).()(21
本文标题:大学课件 高等数学 9-3
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