大学课件 高等数学 常系数齐次线性微分方程

1二阶常系数齐次线性方程定义二阶常系数齐次线性方程解法小结思考题作业n阶常系数齐次线性方程解法第五节常系数齐次线性微分方程齐次常系数常系数齐次常系数齐次常系数齐次第十二章微分方程2n阶0qyypy方程)(xfqyypy二阶常系数非齐次线性方程)(1)1(1)(xfyPyPyPynnnn线性微分方程常系数二阶常系数齐次线性二阶常系数齐次线性微分方程一、定义形如3-----特征方程法rxey将其代入方程,0)(2rxeqprr,0rxe故有02qprr2422,1qppr特征根0qyypy二阶设解得特征方程二阶常系数齐次线性微分方程常系数齐次线性方程(characteristicequation)(characteristicroot)二、二阶常系数齐次线性方程解法其中r为待定常数.4※,2421qppr,2422qppr,11xrey,22xrey两个特解y)0(0qyypy的通解的不同形式.二阶常系数齐次线性微分方程有两个不相等的实根特征根r的不同情况决定了方程02qprr特征方程xre12Cxre21C21yy常数线性无关的得齐次方程的通解为rxey设解其中r为待定常数.5※有两个相等的实根,11xrey,221prr)0(一特解为xrexCC1)(21代入到，，将222yyy,0)()2(1211uqprrupru,0u,)(xxu,12xrxey2y常数12yy.0qyypy化简得.)(为待定函数其中xu00二阶常系数齐次线性微分方程设)(xu,1xre取则知yxre1xrxe11C2C得齐次方程的通解为rxey其中r为待定常数.设解6※有一对共轭复根,1ir,2ir,)(xiexrey22)0()(21211yyyxexcos)(21212yyiyxexsin)sincos(21xCxCeyx0,21qyypyyy为方程为了得到实数形式的解,常数21yy重新组合二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解.rxey其中r为待定常数.xrey11xie)(得齐次方程的通解为用欧拉(Euler)公式:xixeixsincos设解7称为.044的通解求方程yyy解特征方程0442rr221rr故所求通解为y例由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法二阶常系数齐次线性微分方程特征方程法.特征根xexCC221)(8.052的通解求方程yyy解特征方程0522rr故所求通解为y例二阶常系数齐次线性微分方程特征根)2sin2cos(21xCxCex1212ri，9例解初值问题.2,4,09241600xxyyyyy解特征方程0924162rr特征根43r所以方程的通解为41CxexCy432)4(xexCCy4322433二阶常系数齐次线性微分方程4(二重根)0012C特解.)4(43xexy0023412()xCCxey1001)1(1)(yPyPyPynnnn特征方程0111nnnnPrPrPr特征方程的根通解中的对应项rxkkexCxCC)(121]sin)(cos)[(121121xxDxDDxxCxCCekkkkx二阶常系数齐次线性微分方程三、n阶常系数齐次线性方程解法若是k重根r若是k重共轭复根i11注意一个根都对应着通解中的一项,nnyCyCyCy2211二阶常系数齐次线性微分方程n次代数方程有n个根,而特征方程的每且每一项各一个任意常数.12二阶常系数齐次线性微分方程例求方程解052)4(yyy的通解.特征方程,052234rrr021rr故所求通解为特征根xCCy21.0)52(22rrr即和.214,3ir)2sin2cos(43xCxCex13特征根),(11单根r故所求通解xeCy1解01222345rrrrr特征方程0)1)(1(22rr.022)4()5(的通解求方程yyyyyy例,)(32,共轭复根二重ir对应的特解xey1,cos2xy,sin3xy,cos4xxyxxysin5xxCCcos)(32xxCCsin)(54二阶常系数齐次线性微分方程14(3)根据特征根的不同情况,得到相应的通解(1)写出相应的特征方程(2)求出特征根二阶常系数齐次线性微分方程四、小结二阶常系数齐次线性方程02qprr0qyypy特征根的情况通解的表达式实根21rrxrxreCeCy2121实根21rr212()rxyCCxe复根)sincos(21xCxCeyx求通解的步骤:12ri，15思考题求微分方程的通解.yyyyyln22二阶常系数齐次线性微分方程16思考题解答,0y,ln22yyyyy,lnyyyx,lnlnyy令yzln则0zz特征根1rxxeCeCz21.ln21xxeCeCy求微分方程的通解.yyyyyln22特征方程012r二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性方程通解或:此方程属于.),(型yyfy设,py.ddyppyyylnyyy17作业习题12-8(310页）1.(1)(2)(3)(5)(8)(9)2.(1)(2)二阶常系数齐次线性微分方程4.5.