大学课件 高等数学 多元复合函数的求导法则

1复合函数的求导法则全微分形式不变性小结思考题作业第四节多元复合函数的求导法则第八章多元函数微分法及其应用2一、复合函数的求导法则(链导法则)证),()(tttu则);()(tttv，获得增量设tt1.中间变量为一元函数)(),(),,(tvtuvufz的情形.定理,)()(可导都在点及如果函数ttvtu),(),(vuvufz在对应点函数,)](),([可导在对应点则复合函数tttfz且其导数可用下列公式计算:tzdd多元复合函数的求导法则具有连续偏导数,tuuzdd.ddtvvz3ztz,ddtutu,ddtvtv可微)(ovBuAz由于函数),(),(vuvufz在点有连续偏导数vvzuuz,21vu,0,0时当vu0,021tvvztuuztvtu21,0时当t0,0vutzt0lim多元复合函数的求导法则tuuzddtvvzddtzdd4复合函数的中间变量多于两个的情况.定理推广tzdduvwtz导数tzdd变量树图三个中间变量),,,(wvufz如)(),(),(twwtvvtuuuzvztuddwztvddtwdd称为全导数(又称链导公式).多元复合函数的求导法则5项数问:每一项中间变量函数对中间变量的偏导数该中间变量对其指定自变量的偏导数(或导数).的个数.函数对某自变量的偏导数之结构),,,(wvufz如)(),(),(twwtvvtuu多元复合函数的求导法则tzdduzvztuddwztvddtwdd6例设求xydd这是幂指函数的导数,但用全导数公式较简便.法二xyddyuvx,)(cossinxxy解法一,cosxu令)(cosln)sin(1xuuxvuvv]tancos[ln)(cos2sin1xxxxvuy则可用取对数求导法计算.,sinxvxuuyddxvvydd多元复合函数的求导法则7多元复合函数的求导法则),(),,(),,(yxvyxuvufz)].,(),,([yxyxfz复合函数为,xvvzxuuzxz),(),(),(yxyxvyxu都在点及如果,的偏导数和具有对yx在对且函数),(vufz),(vu应点则复合函数)],(),,([yxyxfz的两个在对应点),(yx偏导数存在,且可用下列公式计算两个中间变量两个自变量具有连续偏导数,2.的情形..zzuzvyuyvy8uvxzyxzuzxuvzxvyzuzyuvzyv变量树图uv多元复合函数的求导法则[(,),(,)]zfxyxy9解xzuzxuvzxv1cossinveyveuu)].cos()sin([yxyxyexyyzuzyuvzyv1cossinvexveuu)].cos()sin([yxyxxexy多元复合函数的求导法则例,,,sinyxvxyuvezu设.yzxz和求10中间变量多于两个的情形xzyz类似地再推广,),(),,(),,(yxwyxvyxu设,),(的偏导数和处具有对都在点yxyx复合函数)],(),,(),,([yxyxyxfz在对应点),(yx的两个偏导数存在,且可用下列公式计算:三个中间变量两个自变量vuwzwvuyxxuuzxvvzxwwzyuuzyvvzywwz多元复合函数的求导法则11例设,1222wvuzxz解22232()()uxvxwyuvw自己画变量树uwvuuz2)(2123222xxu2求,,2222yxvyxu.2xywxwwzxvvzxuuzxz多元复合函数的求导法则12只有一个中间变量),(),,,(yxuyxufz其中即],,),,([yxyxfzxzyz两者的区别区别类似多元复合函数的求导法则3.的情形.xwwzxvvzxuuzxz把复合函数],,),,([yxyxfz中的y看作不变而对x的偏导数),,(yxufz把中的u及y看作不变而对x的偏导数ywwzyvvzyuuzyzxuufuvwxvxwyv.1,1,0,0yw,xfyuuf.yf13sin(),,,uzzexyuxyx而求yz解xfxuufxzyfyuufyzzuxyxy变量树图sin()cos()uuexyyexy)sin(yxeu例多元复合函数的求导法则)cos(yxeux14例设f具有二阶连续偏导数,,22xu求.2txu变量树图ursxtxssfxrrf或记sfxtrfx22u对中间变量r,s的偏导数),,(22xttxfu注从而也是自变量x,t的复合函数.解),(srf都是x,t的函数,对抽象函数在求偏导数时,一定要设中间变量.多元复合函数的求导法则srxu12,ffffrs,ffrs15sfxtrfx22xu.2442322422222sfxtsfxtsrfxtrfxrfrfxu222ursxt变量树图,22xu求.2txurs设f具有二阶连续偏导数,),,(22xttxfux2)2xtsfxt322xt多元复合函数的求导法则srf2)2xrsf2(22rfx2(22sf2xt16rs.21242232222222sfxtrsfxtsfxsrfrfxtursxt变量树图txu2,22xu求.2txu设f具有二阶连续偏导数,),,(22xttxfusfxtrfx22xusfx212xt)122xsftrfx2(222多元复合函数的求导法则)1x(rsf2t22frs17多元复合函数的求导法则解具有二阶连续偏导数,且满足,12222vfuf)],(21,[),(22yxxyfyxg又.2222ygxg求vu,xvfyufxg2003年考研数学三,8分).(yvfxufyg故22xg.2222222222vfvfyvufxyufxyg,22222222vfvfxvufxyufyyufy22()2xvufvf),2yuvfxvfx22(22yx(,)fuv18由例,)1(22yuxu.)2(2222yuxusin,cosryrx解),(yxfu现将22yuxu2222yuxu,r用),(rF把下列表达式转换为极坐标系中的形式:),(yxfu设的所有二阶偏导数连续,)sin,cos(rrf函数),(yxfu换成极坐标及r的函数:及以及函数),(rFu,r对的偏导数来表达.多元复合函数的求导法则19复合而成.xu2ryurxruruθxyrurusincoscosxrrxsin(1)看成由),(yxfuxyarctan,22yxr),(rFu及xrruxu22)1(yuxu多元复合函数的求导法则20yu2rxuryrururucossinsinyrrycos2221urru得22yuxuyrruyuxyarctan,22yxr),,(rFuruθxyxururusincos多元复合函数的求导法则21ruruxusincos(2)22xursinruθxyruu)sincos(ruruxru2ru2),(yxfu设的所有二阶偏导数连续x2222)2(yuxucos多元复合函数的求导法则22ruxrx)sin(22uxxrsin)1(2rxxrr1coscosxrrxsin22ururrurrurru222222222cossin2sinsincossin2cos同理可得(自己练)ururrurrurruyu222222222222cossin2coscoscossin2sin多元复合函数的求导法则sinyrrycos23两式相加,得:22222222211urrurruyuxu])([1222ururrrr多元复合函数的求导法则24多元复合函数的求导法则例假设流体中一质点的运动速度为),,,(zyxvvvv其中),,,,(tzyxfvx),,,,(tzyxgvy);,,,(tzyxhvz由于质点随流体运动,故其位置),,(zyx也随时间t而变化.).(),(),(tzztyytxx即试求质点运动的加速度.dd,dd,ddtvtvtvazyx1ddddddddtvtzzvtyyvtxxvtvxxxxx答案.4321fzfyfxf时变加速度位变加速度25已知f(t)可微,证明满足方程)(22yxfyz.112yzyzyxzx提示)(tfyzt,y为中间变量,x,y为自变量.,)()(22tftfxyxz.)()(2)(122tftfytfyz引入中间变量,则,22yxt令多元复合函数的求导法则26二、全微分形式不变性),(vufz设函数具有连续偏导数,则有全微分;dddvvzuuzz,),(),,(时当yxvyxu则有全微分,dddyyzxxzzxvvzxuuzyvvzyuuzyyuxxuuzddyyvxxvvzdduuzd.dvvz全微分形式不变性的实质多元复合函数的求导法则27解0)2(dzxyeze)(dxyexyzezd)2(yexexeyezzxyzxyd)2(d)2(dxz,2zxyeyeyz.2zxyexe例,02zxyeze已知.yzxz和求zd2zezd0)dd(xyyxexy通过全微分求所有一阶偏导数,比链导法则求偏导数有时会显得