大学课件 高等数学 傅里叶(Fourier)级数 2

1三角函数系的正交性函数展开成傅里叶级数问题的提出第七节傅里叶(Fourier)级数2一、问题的提出在自然界和人类的生产实践中,周而复始的现象,周期运动是常见的.如行星的飞转,飞轮的旋转,蒸气机活塞的往复运动,物体的振动,声、光、电的波动等.数学上,用周期函数来描述它们.最简单最基本的周期函数是)sin(tA谐函数周期2振幅时间角频率初相简谐波简谐振动正弦型函数3如矩形波tttu0,10,1)(当当不同频率正弦波,sin4t,3sin314t,5sin514t,7sin714t除了正弦函数外,常遇到的是非正弦周期函数,较复杂的周期现象逐个叠加分解,9sin914tOtu114tusin411Otu222223235)3sin31(sin4ttuOtu11222223236)5sin513sin31(sin4tttuOtu11222223237)7sin715sin513sin31(sin4ttttuOtu11222223238)9sin917sin715sin513sin31(sin4)(ttttttu)0,(tt)9sin917sin715sin513sin31(sin4tttttuOtu11222223239设想一个较复杂的周期运动(如矩形波)分解为简谐振动的迭加.会给分析问题带来方便.是把一个复杂的周期函数f(t))sin(nntnA反映在数学上,的迭加,表示为各类正弦函数10)sin(nnntnAA谐波分析或再利用三角恒等式,10)sincoscossin(nnnnntnAtnAA变形为即10,200Aa令,sinnnnAa,cosnnnAb.xt三角级数10)sincos(2nnnnxbnxaa函数f(t)满足什么条件,系数nnbaa,,0才能展为如何确定?为简便计,先来讨论以为周期的函数f(x),2解决上述问题起着关键作用的是:三角函数系的正交性(orthogonality).10)sincos(2nnnnxbnxaa1三角级数?10)sincoscossin(nnnnntnAtnAA11,1三角函数系二、三角函数系的正交性的正交性是指:其中任何两个不同的函数的乘积上的积分为零，],[在一个周期长的区间而任一个函数的自乘(平方)在,cosx,sinx,2cosx,2sinx,cosnx,sinnx或上的积分为],[.2为1nxcosxd1nxsinxd0即有xd12212xnxmxdsinsinxnxmxdcossin),2,1,(nm其中xnxdcos2xnxdsin2nm,0nm,0xnxmxdcoscosnm,0nm,131.傅里叶系数10)sincos(2)(kkkkxbkxaaxf若有.)1(0a求220axxfad)(10xad20利用三角函数系的正交性两边积分1dsindcoskkkxkxbxkxa0010)sincos(2)(kkkkxbkxaaxfxdxdxd三、函数展开成傅里叶级数,2)(为周期的函数是以设xf.],[可积且在14.)2(na求xnxxfdcos)(]dcossindcoscos[1xnxkxbxnxkxakkkxnxandcos2naxnxxfandcos)(1),3,2,1(n,cosnx两边同乘逐项积分到再从xnxadcos20利用三角函数系的正交性nk0010)sincos(2)(kkkkxbkxaaxf15.)3(nb求xnxxfbndsin)(1),3,2,1(nxnxxfdsin)(]dsinsindsincos[1xnxkxbxnxkxakkknb10)sincos(2)(kkkkxbkxaaxf,sinnx两边同乘逐项积分到再从xnxadsin200nk0利用三角函数系的正交性16),2,1(,dsin)(1),2,1,0(,dcos)(1nxnxxfbnxnxxfann2020),2,1(,dsin)(1),2,1,0(,dcos)(1nxnxxfbnxnxxfann傅里叶系数10)sincos(2nnnnxbnxaa由这些系数作成的三角级数,2)(为周期的函数是以设xf或且在],[]2,0[则,上可积17称为函数f(x)(诱导出)的傅里叶级数,f(x)10)sincos(2nnnnxbnxaa注f(x)的傅里叶级数不见得收敛；即使收敛，级数的和也不一定是f(x).不能无条件的下面的傅里叶级数收敛定理回答了我们.所以,把符号“”它的傅里叶级数收敛，记为当f(x)满足什么条件时，并收敛于f(x)本身?换为“=”.10)sincos(2nnnnxbnxaa182.狄利克雷(Dirichlet)充分条件狄利克雷(德)1805-1859它在的周期函数是周期为设函数,2)(xf:],[上满足条件区间;,)1(处处连续外除有限个第一类间断点.)2(只有有限个极值点(收敛定理),)(都收敛一点产生的傅里叶级数在任则由xxf上它的和函数为且在],[,2)()()(xfxfxs19当x是f(x)的连续点时,2)0()0(xfxf当x是f(x)的间断点时当时x)(xS),(xf由定理可知:在f(x)的连续点处,都收敛到f(x)自身即使有间断点,函数也有傅氏级数,间断点上级数不收敛到函数值,只不过在而是收敛到间断点处左右极限的算术平均值收敛到左端点的右极限处在端点,x术平均值和右端点的左极限的算,2)()(ff00即:20(1)函数展开成傅里叶级数的条件比展开成(2)周期函数的三角级数展开是唯一的,就是常说把f(x)在上展开成傅氏级数.],[(3)要注明傅氏级数的和函数与函数f(x)相等注幂级数的条件低得多;其傅里叶级数,,20a它的常数项xxfad)(10的区域.就是函数在一个周期内的平均值;21周期函数的傅里叶级数解题程序:并验证是否满足狄氏条件(画图目的:验证狄氏条件;由图形写出收敛域;易看出奇偶性可减少求系数的工作量);(2)求出傅氏系数;(3)写出傅氏级数,并注明它在何处收敛于f(x).(1)画出f(x)的图形,22且为周期以函数,2)(xf,0,0,0,)(xxxxf解计算傅里叶系数xxfad)(100d1xx2例12323Oxy将f(x)展开为傅里叶级数.f(x)的图象23xnxxfandcos)(10dcos1xnxx)cos1(12nn02cossin1nnxnnxx,22n,0,,5,3,1n;,6,4,2n])1(1[12nnxnxxfbndsin)(10dsin1xnxx02sincos1nnxnnxxnncos.)1(1nn24112sin)1(cos])1(1[14nnnnxnnxnxxx5cos513cos31cos2422.3sin312sin21sinxxx)(xf~故f(x)的傅里叶级数25由于f(x)满足狄利克雷充分条件,,),2,1,0()12(处不连续在点kkx2)0()0(ff收敛于).())12((xfkxx处收敛于在连续点220由收敛定理得2323Oxy的图象)(xf和函数的图象22323Oxy26)(xfxx3sin313cos322x2sin21x4sin41xx5sin515cos522).,3,;(xxxxsincos2427上有定义;],[(3)F(x)可展为傅氏级数;注],[)(2],[)2(xFT的函数外补充定义成为在);()(,),()4(xfxF内,)5(x作法对于非周期函数,如果f(x)只在区间上有定义,并且满足狄氏充要条件,也可展开成傅氏级数.(1)f(x)在(周期延拓);)].0()0([21ff级数收敛于28解],[例2将函数xxxxxf0,0,)(展开为傅氏级数.拓广的周期函数的傅氏级数展开式在xxfad)(100d2xx计算傅里叶系数Oxy22所给函数在区间满足狄氏充要条件,收敛于f(x).上],[29xnxxfandcos)(1)1(cos22nxn]1)1[(22nnxxxf,)(0dcos2xnxx偶函数,6,4,2,0,5,3,1,42nnnxnxxfbndsin)(10奇函数3012)12cos()12(142)(nxnnxf)(x所求函数的傅氏展开式为xxx5cos513cos31cos4222xxxf,)(31基本概念(三角级数、三角函数系的正交性)函数展开成傅里叶级数(傅里叶系数、傅里叶级数、按狄利克雷收敛定理写出傅里叶级数的和)傅里叶级数的意义——整体逼近小结特点：问题明确，解法固定32思考题是非题10)sincos(2)(nnnnxbnxaaxf上有若在],[ba则必有.0limlimnnnnba是因为,)sincos(2)(10nnnnxbnxaaxf即意味着所论的级数收敛于f(x).由级数收敛的必要条件知.0]sincos[limnxbnxannn由于nxnxsincos与是线性无关的,从而有.0limlimnnnnba