大学课件 高等数学 高阶线性微分方程

1第四节高阶线性微分方程线性微分方程的解的结构小结思考题作业二阶线性微分方程线性(higher-orderlinearordinarydifferentialequation)第十二章微分方程2二阶)()(dd)(dd22xfyxQxyxPxy时，当0)(xf二阶线性齐次微分方程时，当0)(xf二阶线性非齐次微分方程微分方程)()()()(1)1(1)(xfyxPyxPyxPynnnn形如一、二阶线性微分方程线性微分方程)(xf高阶线性微分方程n阶线性3)()(2211xyCxyCyyxQyxPy)()(定理1,)1()()(21的两个解是方程与如果函数xyxy的也是那末)1()()(2211xyCxyCy).,(21是常数CC证][2211yCyC])[(2211yCyCxP])[(2211yCyCxQ])()([1111yxQyxPyC])()([2222yxQyxPyC0,)1()()(21的两个解是方程与如果函数xyxy叠加原理0一定是通解(1)二、线性微分方程的解的结构解,1.二阶齐次方程解的结构齐次高阶线性微分方程4线性无关定义nyyy,,,21设02211nnykykyk线性相关.否则称线性无关.如)),((sin,cos122xxx，)),((,2xeeexxx，线性相关有恒等式取,1,1321kkk0sincos122xx恒等式成立如果存在n个不全为零的常数,使得当x在该区间内那末称这n个函数在区间I内为定义在区间I内的n个函数.高阶线性微分方程5特别地如,0yy,cos1xyxyytan12且.sincos21xCxCy上在与则函数Ixyxy)()(21线性无关.定理2的两个是方程与如果函数)1()()(21xyxy)()(2211xyCxyCy)1(0)()(yxQyxPy通解,常数为了求只要求它的两个线性无关的特解.,sin2xy)()(21xyxy线性无关的特解,,常数那末也是(1)的齐次线性方程的通解,若在I上有通解.高阶线性微分方程6定理2推论是n阶齐次线性方程0)()()(1)1(1)(yxPyxPyxPynnnn的n个线性无关的解,那么,此方程的通解为),()()(2211xyCxyCxyCynn其中nCCC,,21为任意常数.可推广到n阶齐次线性方程.高阶线性微分方程12(),(),()nyxyxyx如果函数72.二阶非齐次线性方程的解的结构定理3yxQyxPy)()(y设的一个特解,yYy那么为了求非齐次线性方程的一个特解和对应齐次线性方程只要求得:的通解.)1(0)()(yxQyxPy非齐次)(xf(2)非齐次线性方程的通解,Y是与(2)对应的齐次方程(1)的通解,是二阶非齐次线性微分方程(2)的通解.是二阶非齐次线性微分方程高阶线性微分方程82xyy方程已知xCxCYsincos210yy的通解.又容易验证22xy是所给方程的一个特解.是非齐次方程的通解.yYy如是二阶非齐次线性方程xCxCsincos2122x是对应齐次方程高阶线性微分方程9解的叠加原理定理4是几个函数的右端设非齐次方程)()2(xfyxQyxPy)()(如分别是与而21yy)()()(1xfyxQyxPy)()()(2xfyxQyxPy21yy)2()()()(xfyxQyxPy)(xf)(1xf)(2xf之和,的特解,那么就是原方程的特解.定理3和定理4也可推广到n阶非齐次线性方程.高阶线性微分方程10求解xexyy解yy的通解是xCxCYsincos21再考虑两个方程,xyyxey212,1xy分别是上述两个方程的特解.所以原方程的通解为y例xeyyxCxCsincos210xxe21yY高阶线性微分方程11线性微分方程解的结构线性相关与线性无关的概念三、小结高阶线性微分方程线性微分方程的概念12思考题北方交大93级考题(7分)xexyxyy232213,3,3已知66)22()2()2(22xyxyxyxx都是微分方程:求此方程的通解.的解,高阶线性微分方程13证齐次方程的特解.非齐次线性方程的两个特解之差是对应结论66)22()2()2(11212xyxyxyxx)1(66)22()2()2(22222xyxyxyxx)2(得)2()1())(2())(2(212212yyxyyxx))(22(21yyx0所以21yy非齐次线性方程的两个特解,是设21,yy则是齐次方程的解.高阶线性微分方程14方程的通解为3221xeCxCyYy或22213xeCxCyx或xxexeCxCy22213,212xyyxeyy23xex2xex,2因而,齐次线性方程的通解xeCxCY221解xexyxyy232213,3,3已知66)22()2()2(22xyxyxyxx都是微分方程:求此方程的通解.的解,常数线性无关.所以,高阶线性微分方程15作业习题12-7(300页）1.(1)(3)(5)2.3.4.(2)(4)(6)高阶线性微分方程