大学课件 高等数学 函数的幂级数展开式的应用

1函数值的近似计算积分的近似计算欧拉(Euler)公式小结思考题作业求极限第五节函数的幂级数展开式的应用第十一章无穷级数2一、求极限有些未定式的极限可以将极限过程中的主要、例求30sinlimxxxx00解353030!51!31limsinlimxxxxxxxxxx,0x∴将sinx展开为x=0的幂级数.这种方法的优点是:次要成份表示得非常清楚.可以用幂级数方法求出.函数的幂级数展开式的应用20!51!31limxx61!313由此例可看出:这里,sinx与其等价无穷小x相差高阶无穷小.!51!3153xx这个高阶无穷小不能与分子的第一项x抵消,它在极限中是起作用的.但如果将sinx用x代换,则相当于将这个起作用的高阶无穷小也略去了,这显然是错误的.函数的幂级数展开式的应用在求极限时,为什么加、减项的无穷小不能用其等价无穷小代换.4函数的幂级数展开式的应用二、函数值的近似计算用函数的幂级数展开式,常用方法1.若余项是交错级数,则可用余和的首项来解决;2.若不是交错级数,则放大余和中的各项,使之成为等比级数或其它易求和的级数,从而求出其和.可以在展开式有效的区间内计算函数的近似值,而且可达到预先指定的精度要求.5例.10,5使其误差不超过的近似值计算e解,!1!2112nxxnxxe,1x令,!1!2111ne得函数的幂级数展开式的应用余和:))2)(3(1211()!1(1nnnn)!1(1n!1nn510!nn1111)!1(1nn)!3(1)!2(1)!1(1nnnrn1(11n2)1(1n510)6322560!88而e71828.2510函数的幂级数展开式的应用!81!31!2111用级数作近似计算时,这样估计误差,常将其余和放大为几何级数.因此计算量要小一些.在一般情况下,泰勒公式比用拉格朗日估计误差的精度更好,7例.,9sin!3sin03并估计误差的近似值计算利用xxx解20sin9sin03)20(612052)20(!51r5)2.0(12013000001510000646.0157079.09sin0156433.0其误差不超过510函数的幂级数展开式的应用8函数的幂级数展开式的应用三、积分的近似计算有些初等函数的原函数不能用初等函数故其定积分就不能用牛顿--莱布尼茨但如果这些函数在积分区间上能表示,公式计算.能展开成幂级数,性质来计算这些定积分.则可利用幂级数逐项积分9例.10,dsin410精确到的近似值计算xxx642!71!51!311sinxxxxx解),(x!771!551!3311收敛的交错级数函数的幂级数展开式的应用被积函数xxsin的原函数不能用初等函数表示.由于x=0是xxsin的可去间断点,故定义0sinxxx这样被积函数在[0,1]上连续.展开,sinxx得10xd][10xd,1sinlim0xxx10第四项30001!771,104取前三项作为积分的近似值,得!551!3311dsin10xxx9461.0例.10,dsin410精确到的近似值计算xxx函数的幂级数展开式的应用!771!551!3311dsin10xxx11复数项级数)1()()()(2211nnivuivuivu),3,2,1(,nvunn其中函数的幂级数展开式的应用四、欧拉(Euler)公式为实常数或实函数.若,1nnuu,1nnvv则称级数)(1nnnivu收敛,且其和为.ivu复数项级数绝对收敛的概念若2222222121nnvuvuvu收敛,则,1nnu1nnv绝对收敛,称复数项级数(1)绝对收敛.Euler(1707–1783)是瑞士数学家、物理学家12!!212nxxxenx)!12()1(!5!3sin12153nxxxxxnn)!2()1(!4!21cos242nxxxxnn函数的幂级数展开式的应用nixixnixixe)(!1)(!2112xixsincosxcosxsin三个基本展开式))!2()1(!211(22nxxnn))!12()1(!31(123nxxxinn13xixeixsincosieexeexixixixix2sin2cosxixeixsincos又揭示了三角函数和复变量指数函数之间的一种关系.)sin(cosyiyeexiyx函数的幂级数展开式的应用欧拉(Euler)公式14欧拉公式的证明求极限(求未定式的极限)函数的幂级数展开式的应用五、小结积分的近似计算函数值的近似计算15函数的幂级数展开式的应用思考题计算].)1(sin[cos1lim34222260xxxxxx解因为xx22sincosnnnxn20)4()!2()1(8181)!2()1(!4!21cos242nxxxxnnnnnxn211)4()!2(8)1(!684!48466442xxx642453234xxx又3422)1(xx所以,]92341[422xxx]924532[1lim6660xxxx原式.4522)4cos1(81xx2sin412)1,1(xnxnnxxx!)1()1(!2)1(1)1(216作业习题11-5(229页)1.(1)(3)2.(1)3.函数的幂级数展开式的应用