大学课件 高等数学 空间曲线及其方程

1第四节空间曲线及其方程空间曲线的一般方程空间曲线的参数方程空间曲线在坐标面上的投影小结思考题作业(spacecurve)第七章空间解析几何与向量代数2空间曲线的一般方程空间曲线C可看作特点：一、空间曲线的一般方程曲线上的点都满足方程,满足方程的点都在曲线上,不在曲线上的点不能同时满足两个方程.空间两曲面的交线.空间曲线及其方程xyzO1S2SC0),,(zyxF0),,(zyxG3例方程组表示怎样的曲线？632122zxyx解122yx表示圆柱面，632zx表示平面，632122zxyx交线为椭圆空间曲线及其方程C1zxyO24例方程组表示怎样的曲线？4)2(222222ayaxyxaz解222yxaz上半球面（如图）4)2(222ayax圆柱面（如图）交线为蓝色部分（如图）空间曲线及其方程zxyOxyzO5)()()(tzztyytxx空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程随着参数的变化可得到曲线上的,1时当给定tt就得到曲线上的一个点),,,(111zyx全部点.空间曲线及其方程6动点从A点出发,taxcostaysinvtz螺旋线的参数方程.取时间t为参数,解经过t时间,运动到M点.例),,(都是常数其中v那末点M构成的图形称为螺旋线.试建立其参数方程.空间曲线及其方程M在xOy面的投影)0,,(yxMzxyOMMAta轴的正方向上升如果空间一点M在圆柱面222ayx上以角速度ω绕z轴旋转,同时又以线速度v沿平行于z7螺旋线的参数方程还可以写为bzayaxsincos),(vbt螺旋线的重要性质：00:bbbz00:上升的高度与转过的角度成正比.即,2上升的高度bh2螺距空间曲线及其方程zxyOMMAtP80),,(0),,(zyxGzyxF消去变量z后得：0),(yxH曲线关于xOy的设空间曲线C的一般方程：投影柱面的特征：三、空间曲线在坐标面上的投影此柱面必包含曲线C,以曲线C为准线、C投影柱面.空间曲线及其方程母线垂直于所投影的坐标面.9类似地:可定义空间曲线在其它坐标面上的投影.00),(xzyR00),(yzxTyOz面上的投影曲线xOz面上的投影曲线00),(zyxH空间曲线在xOy面上的投影曲线(或称投影)(即为曲线关于xOy面的投影柱面)(即为xOy面)C空间曲线及其方程(即为投影柱面与xOy面的交线)10例求曲线在坐标面上的投影.211222zzyx解(1)消去变量z后得4322yx在xOy面上的投影为04322zyx(2)因为曲线在平面21zxOy面的投影柱面空间曲线及其方程上，所以在xOz面上的投影为线段.23||021xyz1123||021yxz空间曲线及其方程例求曲线在坐标面上的投影.211222zzyx(3)同理在yOz面上的投影也为线段.12交线方程为0222zyxxzy0z0222zyzy解空间曲线及其方程求椭圆抛物面xzy22与平面02zyx的交线在三个坐标面上的投影曲线方程.例(1)消去变量z(2)消去变量y(3)消去变量x得投影04522xxyyx得投影0y042522xxzzx得投影0x13由参数方程表示的空间曲线在坐标面上在yOz平面上的投影为在xOy平面上的投影为:想一想在xOz平面上的投影呢?注tztytxsincos例螺旋线即0z0122zyxtztysin即0sinxzy的投影亦易求出.空间曲线及其方程tytxsincos0x14选择题1.曲线在xOy面上的投影柱面方程是().A03215416222zxzyx01162420)(22xyxA001162420)(22zxyxC0071244)(22xzzyD071244)(22zzyB空间曲线及其方程152.球面与交线在xOy面上投影曲线方程是()．D2222Rzyxazx0)()(2222zRzyzaB2222)()(RxayxC0)()(2222zRxayxD空间曲线及其方程2222()()AazyzR16表示().(A)双曲柱面与平面x=2交线;(B)双曲柱面;(C)双叶双曲面;(D)单叶双曲面.A214922xxy曲面及其方程3.17填空题1.母线平行于x轴且通过曲线的柱面方程是2.双曲抛物面(马鞍面)与xOy面的交线是相交于原点的两条直线.0162222222zyxzyx16322zy)0,0(222qpzqypx空间曲线及其方程18空间曲线的一般方程空间曲线在坐标面上的投影0),,(0),,(zyxGzyxF)()()(tzztyytxx00),(zyxH00),(xzyR00),(yzxT空间曲线及其方程四、小结空间曲线的参数方程19曲线在xOz面上的投影方程为:曲线在yOz面上的投影方程为:曲线在xOy面上的投影方程为:0022zaxyx022yaaxz00)(2224xzyaz解答思考题1求曲线)0(0222222aaxyxazyx在各坐标面上的投影方程.空间曲线及其方程20思考题2方程表示怎样的曲线？3254222xzyx曲面及其方程解答3254222xzyx.316422xzy表示双曲线.21作业习题7-4(324页)1.(1)(2)3.4.5.(2)6.8.空间曲线及其方程