第七章平稳时间序列预测法

7平稳时间序列预测法7.1概述7.2时间序列的自相关分析7.3单位根检验和协整检验7.4ARMA模型的建模7.1概述时间序列取自某一个随机过程，则称：一、平稳时间序列过程是平稳的——随机过程的随机特征不随时间变化而变化过程是非平稳的——随机过程的随机特征随时间变化而变化宽平稳时间序列的定义：设时间序列，对于任意的t,k和m，满足：则称宽平稳。严平稳时间序列的定义：所有的统计特性不随时间的平移而变化Box-Jenkins基本思想：用数学模型描述时间序列自身的相关性，并假定这种自相关性一直延续，用该模型预测未来的值。ARMA模型是描述平稳随机序列的最常用的一种模型。Box-Jenkins方法提供了对时间序列进行分析、预测，以及对ARMA模型识别、估计和诊断的系统方法。ARMA模型的三种基本形式：自回归模型（AR：Auto-regressive）；移动平均模型（MA：Moving-Average）；混合模型（ARMA：Auto-regressiveMoving-Average）。如果时间序列满足其中是独立同分布的随机变量序列,且满足：则称时间序列服从p阶自回归模型。二、自回归模型滞后算子多项式的根均在单位圆外，即的根大于1。自回归模型的平稳条件：例1AR(1)模型的平稳性条件。对1阶自回归模型AR(1)tttXX1方程两边平方再求数学期望，得到Xt的方差)(2)()()(122122tttttXEEXEXE由于Xt仅与t相关，因此，E(Xt-1t)=0。如果该模型稳定，则有E(Xt2)=E(Xt-12)，从而上式可变换为：22201X在稳定条件下，该方差是一非负的常数，从而有||1。而AR(1)的特征方程01)(zz的根为z=1/AR(1)稳定，即||1，意味着特征根大于1。对高阶自回模型AR(p)来说，多数情况下没有必要直接计算其特征方程的特征根，但有一些有用的规则可用来检验高阶自回归模型的稳定性：(1)AR(p)模型稳定的必要条件是：1+2++p1(2)由于i(i=1,2,p)可正可负，AR(p)模型稳定的充分条件是：|1|+|2|++|p|1如果时间序列满足则称时间序列服从q阶移动平均模型。或者记为。三、移动平均模型MA(q)，平稳条件：任何条件下都平稳。对于移动平均模型MR(q)：Xt=t-1t-1-2t-2--qt-q其中t是一个白噪声，于是MA(q)模型的平稳性0)()()()(11qqtttEEEXE22111121322111122210),cov()(),cov()(),cov()1(varqqttqqqqttqqqttqtXXXXXXX当滞后期大于q时，Xt的自协方差系数为0。因此:有限阶移动平均模型总是平稳的。通常希望AR过程与ＭＡ过程能相互表出，即过程可逆。如移动平均模型MA(１)：可逆条件：的根均在单位圆外可逆条件：四、ARMA(p,q)模型如果时间序列满足则称时间序列服从(p,q)阶自回归移动平均模型。或者记为：平稳条件：的根均在单位圆外可逆条件：的根均在单位圆外将纯AR(p)与纯MA(q)结合，得到一个一般的自回归移动平均（autoregressivemovingaverage）过程ARMA（该式表明：（1）一个随机时间序列可以通过一个自回归移动平均过程生成，即该序列可以由其自身的过去或滞后值以及随机扰动项来解释。（2）如果该序列是平稳的，即它的行为并不会随着时间的推移而变化，那么我们就可以通过该序列过去的行为来预测未来。这也正是随机时间序列分析模型的优势所在。例题分析设，其中A与B为两个独立的零均值随机变量，方差为1；为一常数。试证明：宽平稳。证明：均值为0，只与t－s有关，所以宽平稳。建立时间序列模型，首先应判断时间序列的特性，判断是否满足建模条件。Ｂ—Ｊ法建模主要解决两个问题：（１）分析时间序列的随机性，平稳性和季节性（２）找出生成它的合适的随机过程或模型，即判断该时间序列是遵循一纯AR过程、还是遵循一纯MA过程或ARMA过程。所使用的工具主要是时间序列的自相关函数（autocorrelationfunction，ACF）及偏自相关函数（partialautocorrelationfunction，PACF）。7.2时间序列的自相关分析自相关分析法是进行时间序列分析的有效方法，它简单易行,较为直观，根据绘制的自相关分析图和偏自相关分析图，我们可以初步地识别平稳序列的模型类型和模型阶数。利用自相关分析法可以测定时间序列的随机性和平稳性，以及时间序列的季节性。一、自相关分析（1）自相关函数的定义滞后期为k的自协方差函数为：则自相关函数为：其中：当序列平稳时，自相关函数可写为：（2）样本自相关函数其中：样本自相关函数可以说明不同时期的数据之间的相关程度，其取值范围在－1到1之间，值越接近于1，说明时间序列的自相关程度越高。（3）样本的偏自相关函数在给定了的条件下，与滞后k期时间序列之间的条件相关。换句话说：偏自相关是对之间未被所解释的相关度量。从ｙt中去掉ｙt-1的影响，则只剩下随机扰动项t，显然它与ｙt-2无关，因此我们说ｙt与ｙt-2的偏自相关系数为零。在AR(1)中，同样地，在AR(p)过程中，对所有的kp，Ｙt与Ｙt-k间的偏自相关系数为零。样本的偏自相关函数的计算其中：1、时间序列的随机性，是指时间序列各项之间没有相关关系的特征。使用自相关分析图判断时间序列的随机性，一般给出如下准则：若时间序列的自相关函数基本上都落入置信区间，则该时间序列具有随机性；若较多自相关函数落在置信区间之外，则认为该时间序列不具有随机性。时间序列特性分析22nn-（、）注：在B-J方法中，测定时间序列的随机性，多用于模型残差，以评价模型优劣。2、判断时间序列是否平稳，是一项很重要的工作。运用自相关分析图判定时间序列平稳性的准则是：若时间序列的自相关函数在k3时都落入置信区间，且逐渐趋于零，则该时间序列具有平稳性；若时间序列的自相关函数更多地落在置信区间外面，则该时间序列不具有平稳性。22nn-（、）注：在B-J方法中，只有平稳的时间序列才能建立ARMA模型，否则必须经过适当的处理使序列满足平稳性要求。例对某种趋势的时间序列进行差分处理。但很多序列不能通过差分达到平稳，而且差分虽然消除了序列的趋势易于建模，但也消除了序列的长期特征，实际的经济序列差分一般不超过两次。3、时间序列的季节性判定准则：月度数据，考察k=12,24,36,…时的自相关系数是否与0有显著差异；季度数据，考察k=4,8,12,…时的自相关系数是否与0有显著差异。注1：实际问题中常遇到季节性和趋势性同时存在的情况，应先剔除序列趋势性，在识别季节性。注2：包含季节性的时间序列也不能直接建模，应先进行季节差分消除，季节差分一般不超过一阶。三、ARMA模型的自相关分析AR(p)模型的偏自相关函数是以p步截尾的，自相关函数拖尾；MA(q)模型的自相关函数具有q步截尾性，偏自相关函数拖尾；（可用以上两个性质来识别AR和MA模型的阶数）ARMA(p,q)模型的自相关函数和偏相关函数都是拖尾的。图ARMA(p,q)模型的ACF与PACF理论模式ACFPACF模型1：tttXX17.00.00.20.40.60.812345678ACF10.00.20.40.60.812345678PACF1模型2：tttXX17.0模型3：17.0tttX-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.612345678ACF2-0.8-0.6-0.4-0.20.012345678PACF2-0.5-0.4-0.3-0.2-0.10.012345678ACF3-0.5-0.4-0.3-0.2-0.10.012345678PACF3模型4：ttttXXX2149.07.0模型5：117.07.0ttttXX-0.4-0.20.00.20.40.612345678ACF4-0.4-0.20.00.20.40.612345678PACF4-1.2-0.8-0.40.00.40.812345678ACF5-1.0-0.8-0.6-0.4-0.20.012345678PACF57.4ARMA模型的建模一、模型阶数的确定（1）基于自相关函数和偏相关函数的定阶方法对于ARMA(p,q)模型，可以利用其样本的自相关函数和样本偏自相关函数的截尾性判定模型的阶数。如果样本的偏自相关函数是以p步截尾的，模型为AR(p)；如果样本的自相关函数具有q步截尾性，模型为MA(q)；如果样本的自相关函数和偏相关函数都是拖尾的，模型为ARMA(p,q)。（1）自相关函数的截尾性统计检验：对于每一个q,计算….（M取为或者），对于MA(q)模型，当kq时，考察其中满足的个数是否占M个的68.3%或者95.5%以上。（2）偏自相关函数的截尾性统计检验：对于每一个p,计算（M取为或者），对于AR(p)模型，当kp时，考察其中满足的个数是否占M个的68.3%或者95.5%以上。如果对于序列和截尾，即不存在上述的来说，均不和判定平稳时间序列，则可以为ARMA模型。一般地，对ARMA(,)pq模型11ˆˆpqttitijtjijyy12ˆˆˆ,,,t它们均值为0，可递推得到残量估计现作假设检验：0:H是来自白噪声的样本()11ˆˆˆnjjtjttn0,1,,jm()()()0ˆˆˆjj1,,jm令（3）残差项的白噪声检验：（Q统计量检验）12ˆˆˆ,,,tm10nmn或其中取左右。0HQmpq2则当成立时，服从的分布。2()Q0H对给定的显著性水平，若，则拒绝，即模型与原随机序列之间拟合得不好，，则认为模型与原随机序列之间拟合需重新考虑得较好，模型检验被通过。建模；若22()()11ˆˆmmjjjjQnn自由度为2()Q注：上机操作时，一般看Q统计检验的相伴概率(1)用AR（1）拟合时间序列，考察其残差样本的自相关函数是否q1步截尾，则模型为ARMA(1,q1),否则；(2)用AR（2）拟合时间序列，考察其残差样本的自相关函数是否q2步截尾，则模型为ARMA(1,q2)，否则；(3)继续增大p，重复上述做法，直至残差序列的样本自相关函数截尾为止1111kkkttptpttqtqyyy若和拖尾，（4）Tasy和TiaoARMA模型定阶法1950年-1998年北京城乡居民定期储蓄比例选择合适的ARMA模型拟合可以考虑拟合模型为AR(1),ARMA(1,3)连续读取70个化学反应数据可以尝试使用AR(1)，MA(1)和ARMA(1,1)模型拟合该序列（2）基于F检验确定阶数（3）利用信息准则法定阶（AIC准则和BIC准则）此外，常用的方法还有：1967年，瑞典控制论专家K.J.Aström教授将F检验准则用于对时间序列模型的定阶。原理(模型阶数简约原则parsimonyprinciple)：设yt(1≤t≤n)是零均值平稳序列，用模型AR模型拟合检验统计量：结论若FFα，则拒绝原假设，认为AR(p)合适；若FFα，则接受原假设，认为AR(p-1)合适。112201122111010:::tttptpttttptptpARpyyyyQARpyyyyQH残差平方和残差平方和10011,22QQFFNpQNpAR(p)模型定阶的F准则检验统计量：结论若FFα，则拒绝原假设，