第三章平稳时间序列分析2s

偏自相关系数„定义对于平稳AR(p)序列，所谓滞后k偏自相关系数就是指在给定中间k-1个随机变量的条件下，或者说，在剔除了中间k-1个随机变量的干扰之后，对影响的相关度量。用数学语言描述就是121,,,+−−−ktttxxxktx−txttkt1tk1tttktkx,xx,,x2tktkˆˆE[(xEx)(xEx)]ˆE[(xEx)]−−−+−−−−−−ρ=−AR(p)偏自相关系数的计算11,,,211111122(1)11122ˆˆ[()()]ˆ[()]ˆˆ[,,],[,,]ˆttkttktttktkxxxxtktkttttktktkttkttktktkktkkktktktktExExxExExExExExxxExExxxkxkxxxxxExxxρφφφφφφ−−−+−−−−−−+−−−−+−−−−+−−−−−=−===+++=+其中：用过去期的序列值对做阶自回归拟合：11(1)1111122(1)12,,,2ˆ(),,)ˆ()ˆˆˆ[()()][()]ˆˆ[()()]ˆ[()ttkttkkktkkktktttkktktkktkkktktttktkkktktktttkktxxxxtktkxExExxxxxExExExxExExExExExxExExExφφεφφφφφρ−−−+−−+−−−+−−−−+−−−−−−−−−+++=+++∴−−=−−−⇒=−（]kkφ=对于1,2,k=考察由11,,,tktktXXX−−+−对tX即选择系数作最小线性方差估计，(1,2,,)kjjkϕ=，使得21[()]ktkjtjjEXXδϕ−=≡−∑01,12kkkjjkikjjijijγϕγϕϕγ−===−+∑∑达到极小值，则称系数kkϕ为偏自相关函数。可见，偏自相关系数就是使残差的方差达到极小的k阶自回归模型（AR(k)模型）的第k项系数。偏自相关系数的计算AR(p)„滞后k偏自相关系数实际上就等于k阶自回归模型第k个回归系数的值。1122tktktkktktxxxxφφφε−−−=++++11221122(),1ttlkttlkttlkktktlttllklklkklkExxExxxxxxxrrrrlφφφεφφφ−−−−−−−−−−−=++++=+++≥AR(p)偏自相关系数的计算⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=−−−−02211202112112011ρφρφρφρρφρφρφρρφρφρφρkkkkkkkkkkkkkkkkk1122,11,2,,lklklkklkllkρφρφρφρ−−−=+++≥=令AR(p)Yule-Walker方程求解1111212212111112121212Yule-Walker1111111,1kkpkkkkkkkkkkkkkkDDDDφρρρφρρρφρρρφρρρρρρρρρρρρρ−−−−−−−−−−⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠===方程写成矩阵形式为：根据Cramer法则其中AR模型偏自相关系数的截尾性11221122111212121,2,,()1100iiiikkppppkkpkkkkkkikARpDkpDkpDρρρρξηρρηφξφξφξρρρρρρρρρρφ−−−−−−−−⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟===⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠=+++⇒==⇒==记，，对于模型有：，，偏自相关系数的截尾性„AR(p)模型偏自相关系数p阶截尾pkkk=,0φ自相关函数的拖尾性和偏自相关函数的截尾性是识别AR（p)的依据。AR(p)AR(2)模型偏自相关系数的计算1111121111121Yule-Walker(2)1kARφρρφφρφφρφ===+⇒==−时，方程为对模型又有121221221122112121122222Yule-Walker(2)kARρφφρρφρφρφφρρφρφφφ==+⎧⎨=+⎩=+⎧⎨=+⎩⇒=时，方程为对模型又有常用AR模型偏自相关系数递推公式„AR(1)模型„AR(2)模型12kk2,k11,k20,k3φ⎧=⎪−φ⎪⎪φ=φ=⎨⎪≥⎪⎪⎩1kk,k10,k2φ=⎧ϕ=⎨≥⎩例3.5续:考察如下AR模型的偏自相关图ttttttttttttttxxxxxxxxxxεεεε+−−=+−=+−=+=−−−−−−2121115.0)4(5.0)3(8.0)2(8.0)1(AR(p)例3.5—„理论偏自相关系数„样本偏自相关图1(1)0.8tttxxε−=+0.8,10,2kkkkφ=⎧=⎨≥⎩AR(p)例3.5:—„理论偏自相关系数„样本偏自相关图1(2)0.8tttxxε−=−+0.8,10,2kkkkφ−=⎧=⎨≥⎩AR(p)例3.5:—„理论偏自相关系数„样本偏自相关图12(3)0.5ttttxxxε−−=−+2,130.5,20,3kkkkkφ⎧=⎪⎪=−=⎨⎪≥⎪⎩AR(p)例3.5:—„理论偏自相关系数„样本偏自相关系数图12(4)0.5ttttxxxε−−=−−+2,130.5,20,3kkkkkφ⎧−=⎪⎪=−=⎨⎪≥⎪⎩AR(p)MA模型的统计性质„常数均值„常数方差μεθεθεθεμ=−−−−+=−−−）（qtqttttEEx221122212211)1()()(εσθθεθεθεθεμqqtqttttVarxVar+++=−−−−+=−−−„自协方差函数q阶截尾„自相关系数q阶截尾⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+−=+++=∑−=+qkqkkkqiikikqk,01,)(0,)1(212221εεσθθθσθθγ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤++++−==∑−=+qkqkkqkqiikikk,01,10,12211θθθθθρ常用MA模型的自相关系数„MA(1)模型„MA(2)模型⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=+−==2,01,10,1211kkkkθθρ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥=++−=+++−==3,02,11,10,1222122221211kkkkkθθθθθθθθρ习题9MA模型的偏自相关系数„偏自相关系数拖尾))((11111+−−−−−−−−−−−−=qktqktqtqtkkεθεθεθεθφ零不会在有限阶之后恒为不恒为零kkqφθθ⇒,1例3.6:考察如下MA模型的相关性质212111162545)4(251654)3(5.0)2(2)1(−−−−−−+−=+−=−=−=ttttttttttttttxxxxεεεεεεεεεεMA(1)模型的自相关系数1阶截尾„„112tttxεε−=−（）120.5tttxεε−=−（）不同的MA(1)模型，相同的自相关系数„考察上面两个MA(1)模型的自相关图，可以发现这两个不同的MA模型具有相同的自相关图„容易验证它们的理论自相关系数也正好相等0.4,10,2kkkρ−=⎧=⎨≥⎩MA(2)模型的自相关系数2阶截尾„„124163525ttttxεεε−−=−+（）125254416ttttxεεε−−=−+（）不同的MA(2)模型，相同的自相关系数„考察上面两个MA(2)模型的自相关图，可以发现这两个不同的MA模型具有相同的自相关图„容易验证它们的理论自相关系数也正好相等0.64012,10.312256,20,3kkkkρ−=⎧⎪==⎨⎪≥⎩MA模型的可逆性„例3.6演示了不同的MA模型，可能具有完全相同的自相关系数的现象。产生这种现象的原因就是我们在第二章中提到的：自相关系数有可能不唯一。„这种自相关系数的不唯一性，会给我们将来的工作增加麻烦。因为，将来我们都是通过样本自相关系数显示出来的特征选择合适的模型拟合序列的发展，如果自相关系数和模型之间不是一一对应关系，就将导致拟合模型和随机序列之间不会是一一对应关系。„为了保证一个给定的自相关函数能够对应唯一的模型，我们就要给模型增加约束条件。这个约束条件称为模型的可逆性条件。MA模型的可逆性„MA模型自相关系数的不唯一性„例3.6中不同的MA模型具有完全相同的自相关系数和偏自相关系数212111162545)4(251654)3(5.0)2(2)1(−−−−−−+−=↔+−=−=↔−=ttttttttttttttxxxxεεεεεεεεεε可逆的定义„可逆MA模型定义„若一个MA模型能够表示成为收敛的AR模型形式，那么该MA模型称为可逆MA模型用过去的的一个线性组合来逼近系统现在时刻的行为。tX2121(1)(1)jtjttjaIBXIBIBX∞==−=−−−∑„可逆概念的重要性„一个自相关系数列唯一对应一个可逆MA模型。我们把这种表达形式称为tX的“逆转形式”。其中的系数函数0(1)jII≡称为逆函数。可见它是一个无穷阶的自回归模型。AR(1)模型和MA(1)模型的逆函数1.AR(1)模型的逆函数由上面的分析，AR(n)模型本身就是一个逆转形式，并且,10,jjjnIjnϕ−≤≤⎧=⎨⎩故AR(1)模型和AR(2)模型的逆转形式分别为11tttaXXϕ−=−和1122ttttaXXXϕϕ−−=−−显然，11,Iϕ=−22,Iϕ=−0,3jIj=≥2.MA(1)模型的逆函数：对于MA(1)模型：1122ttttXaaaθθ−−=−−,由于212()1,()1BBBBϕθθθ==−−由()()1BIBθ=可得01111211,,,2lllIIIIIlθθθ−−=−=−=+≥模型的逆转形式为1ttjtjjaXIX∞−==−∑可逆MA(1)模型„„1−−=tttxθεε11−−=tttxεθε21θθρ+−=ttBxεθ=−1ttBxεθ=−11可逆,1θ可逆,1θMA模型的可逆条件„MA(q)模型的可逆条件是：„MA(q)模型的特征根都在单位圆内„等价条件是移动平滑系数多项式的根都在单位圆外11iλ1iλ逆函数的递推公式„原理„方法„待定系数法„递推公式⎩⎨⎧≤=′⎪⎩⎪⎨⎧=′==−=∑qkqkjIIIkkkjjkkj,0,,,2,1110θθθ其中，ttttttxxBIBxBIBx=Θ⇒⎩⎨⎧=Θ=)()()()(εε例3.6续:考察如下MA模型的可逆性212111162545)4(251654)3(5.0)2(2)1(−−−−−−+−=+−=−=−=ttttttttttttttxxxxεεεεεεεεεε(1)—(2)„„„逆函数„逆转形式不可逆⇒=⇒−=−1221θεεtttx可逆⇒=⇒−=−15.05.01θεεtttx∑∞=−=05.0kktktxε⎩⎨⎧≥=1,5.01kIkk(3)—(4)„„„逆函数„逆转形式可逆⇒±⇒+−=−−1,125165412221θθθεεεttttx,1,0,23,0133,)1(1=⎩⎨⎧+=+=−=nnknnkIknk或θ∑∑∞=−−+∞=−−+−=013130338.0)1(8.0)1(nntnnnntnntxxε不可逆⇒=⇒+−=−−11625162545221θεεεttttx习题11(3),(4)ARMA(p,q)平稳条件与可逆条件„ARMA(p,q)模型的平稳条件„P阶自回归系数多项式的根都在单位圆外„即ARMA(p,q)模型的平稳性完全由其自回归部分的平稳性决定„ARMA(p,q)模型的可逆条件„q阶移动平均系数多项式的根都在单位圆外„即ARMA(p,q)模型的可逆性完全由其移动平滑部分的可逆性决定0)(=ΦB0)(=ΘB传递形式与逆转形式„传递形式„逆转形式∑∞=−−+=ΘΦ=11)()(jjtjtttGBBxεεε⎪⎩⎪⎨⎧≥′−′==∑=−1,110kGGGkjjjkjkθφ∑∞=−−+=ΦΘ=11)()(jjtjtttxIxxBBε⎪⎩⎪⎨⎧≥′−′==∑=−1,110kIIIkjjjkjkφθ习题11(5),(6)MA模型偏自相关系数拖尾„对于一个可逆模型，可以等价写成模型形式„其中„AR(p)模型偏自相关系数p阶截尾，所以可逆MA(q)模型偏自相关系数阶截尾，即具有偏自相关系数拖尾属性。„一个可逆MA(q)模型一定对应着一个与它具有相同自相关系数和偏自相关系数的不可逆MA(q)模型，这个不可逆MA(q)模型也同