3.3.2函数的极值与导数课件

3.3.2函数的极值与导数复习:函数单调性与导数关系如果在某个区间内恒有,则为常数.0)(xf)(xf设函数y=f(x)在某个区间内可导，f(x)增函数f(x)减函数•1.理解极值的有关概念．•2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．•3.会用导数求函数的极大值和极小值.重点难点重点:利用导数知识求函数的极值难点:对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤观察图象中，点a和点b处的函数值与它们附近点的函数值有什么的大小关系？aboxyxfy一极值的定义•(1)点a叫做函数y=f(x)的极小值点，函数值f（a）称为函数y=f(x)的极小值，(如果对a附近的所有点，都有f(x)f(a),则f(a)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(a))•(2)点b叫做函数y=f(x)的极大值点，函数值f（b）称为函数y=f(x)的极大值。(如果对b附近的所有点，都有f(x)f(b),则f(b)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(b)；•极大值点和极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值注：极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值。•1．理解极值概念时需注意的几点•(1)函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的左右两侧附近的点而言的．•(2)极值点是函数定义域内的点，而函数定义域的端点绝不是函数的极值点．•(3)若f(x)在[a，b]内有极值，那么f(x)在[a，b]内绝不是单调函数，即在定义域区间上的单调函数没有极值．总结•(4)极大值与极小值没有必然的大小关系．一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值可能大于另一点的极大值．(如图(1))（5）可导函数f(x),点是极值点是在该点的导数为0的充分不必要条件进一步探究:极值点两侧函数图像单调性有何特点?极大值极小值即:极值点两侧单调性互异f(x)0yxOx1abyf(x)极大值点两侧极小值点两侧f(x)0f(x)0f(x)0探究:极值点两侧导数正负符号有何规律?x2xXx2x2Xx2f(x)f(x)xXx1x1Xx1f(x)f(x)增f(x)0f(x)=0f(x)0极大值减f(x)0f(x)=0增减极小值f(x)0注意:(1)f(x0)=0，x0不一定是极值点(2)只有f(x0)=0且x0两侧单调性不同，x0才是极值点.(3)求极值点，可以先求f(x0)=0的点，再列表判断单调性结论：极值点处，f(x)=0求解函数极值的一般步骤：（1）确定函数的定义域（2）求方程f’(x)=0的根（3）用方程f’(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格（4）由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况小结因为所以例1求函数的极值.4431)(3xxxf解:,4431)(3xxxf.4)(2xxf令解得或,0)(xf,2x.2x当,即,或;当,即.0)(xf0)(xf2x2x22x当x变化时,f(x)的变化情况如下表:x(–∞,–2)–2(–2,2)2(2,+∞)00f(x)–)(xf++单调递增单调递减单调递增3/283/4所以,当x=–2时,f(x)有极大值28/3;当x=2时,f(x)有极小值–4/3.1)6()(23xaaxxxf有极大值和极小值,求a范围?思考2解析:f(x)有极大值和极小值f’(x)=0有2实根,0已知函数解得a6或a3应用(2009年天津（文）21T)处的切线的斜率；设函数其中,131223Rxxmxxxf.0m（1）当时，求曲线在点1mxfy1,1f（2）求函数的单调区间与极值。xf答:（1）斜率为1;.1,1,1,1内是增函数减函数，在内是，在mmmmxf;313223mmxf极小313223mmxf极大(2)练习1：求在时极值。44xx31y3),0(x小结：1个定义:极值定义2个关键：①可导函数y=f(x)在极值点处的f’(x)=0。②极值点左右两边的导数必须异号。3个步骤：①确定定义域②求f’(x)=0的根③并列成表格用方程f’(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况