4-6章弹塑性力学作业

第四章4.1利用式（4.2a）和各向同性线弹性材料的应力-应变关系，证明平衡方程（4.1b）能写成下列式子（这些方程即所谓的Navier方程）：证明：式（4.2a）jiijjiij,,,)(21式（4.1b）σji,j+Fi=0由各向同性线弹性材料应力应变关系可知）出入证得结果与题目结论有（整理得：带入得查表及，将**!*!!!!!****021202120212212212212)1.4()21(3)1(2132,,i,,i,,,i,,i,,i,,iGFFGGFGGGGGGGGGKKGiijjjjiijjjjijjiijjjjikkjjjijkkjjjjijikkjjijijikkjiji4.5（金晶）对于应变能密度函数如式（4.93）定义那样，,,1012iijjjjiFG12ijijW，证明弹性体总的应变能等于由表面拉力iT和体力iF由无应力状态到应力ij和应变ij的平衡状态中所产生的位移iu上所做的功的一半。证明：由公式（4.86和4.85）得：0()ijijijijWd，0()ijijijijd当材料是线弹性的时候，应力—应变的一般形式可以写成：ijijklklC所以得出（4.93）12ijijW12ijijW，()2ijijWdVWdVdViiiiijijAVVTudAFudVdV12ijijiiiiAVWdVdVTudAFudV4.9无初始应力和初始应变的材料单元受到一个组合加载历史，产生下列,空间中的连续直线路径[单位为Mpa（拉应力，剪应力）]：路径1：（0，0）至（0，68.95）路径2：（0，68.95）至（206.85，68.95）路径3：（206.85，68.95）至（206.85，-68.95）路径4：（206.85，-68.95）至（0，0）材料单元假设为各向同性非线性弹性，其余能密度为)(2332JJa，其中a为材料常数。简单拉伸下的应力-应变关系为59)1000(10，其中的单位为Mpa。（a）给出在路径3末端的轴向伸长和剪切应变；（b）求出路径1和2末端所有正应变和剪切应变分量；（e）将路径1转化为主应力空间中的路径，利用以主应力表达的应力-应变关系计算该路径末端的应变，与（b）中以和得到的解答进行详细比较；（f）列出所有上述所给路径中在主应力空间中为直线路径的路径；（g）在正应力空间中画出路径（2）。解：（a）)32(2323223322ijjkikijijijijijJssaJsaJJJJJ在简单拉伸下时：33221111272,31,32,JJs代入得：1659551062243101000124362aaij路径3末端的)400(41.1901631222J，)3000(1.983386)92(31223J由10,201211ss得：路径3末端的轴向伸长和剪切应变为31231110336.422,1012.43（b）同理得路径1末端：)100(1025.475431222J，0)92(31223J由10,01211ss得：路径1末端的正应变和剪切应变分量为3121210352.22，其余分量为0。路径2末端：)400(41.1901631222J，)3000(1.983386)92(31223J由10,201211ss得：路径2端的正应变和剪切应变分量为3121233332231110336.422,1074.22,1038.20,1012.43zyx其余分量为0。（e）由222,122xyyxyx得在主应力空间21,，路径1是从（0,0）到（68.95,-68.95）（（10,-10））。以主应力表达的应力-应变关系为：)32(2322322JsaJsaJiii代入)100(1025.4754])()()[(612132322212J，)100(1025.4754)()()(3213pppJ，psii得在这条路径的末端：323110176.1,10176.1。（f）路径1，3和4在主应力空间中为直线路径。4.10对于例4.12中描述的各向同性非线性弹性材料，某点处的应变状态ij为00001004004070104ij（a）确定相应的应力状态ij；（b）计算相应于给定应变状态的W和值。解：（a）根据例4.12提供的材料，计算初始体积和剪切模量2626000/1040.1715.0213/1054.36213mkNmkNEK2626000/1089.1515.012/1054.3612mkNmmkNEG应变状态oct和oct的值为：443211067.5610100703131oct442/122222/1222222102.1061040670001001007032632zxyzxyxzzyyxoct割线模量为：26048.46/0/1097.215.05.285.01040.17mkNdbaKKcsoct26431.56/0/10006.319.0102.1062281.01089.15mkNtnqmGGoctrsoct根据ijsijeGs2，应力分量ij为：ijkksijsijijijKeGps2又ijkkijije3/，有ijkkssijsijGKG322代入合适的ssKG、和应变分量值可得2/16422000765422404802404858506mkNij（b）根据W的计算公式octcoctoctoctroctdbcabbcbacKtnqrmqqrqmrGWoctoct22/0232/021lnlnln92131lnlnln23代入44102.106,1067.56octoct以及各材料常数，得到36/1003.1mmNW又因为36444/1037.110100765422104024048107058506mmNijij由ijijW有：363636/1034.0/1003.1/1037.1mmNmmNmmNWijij第六章6.2某材料简单拉伸时在σ0点屈服，利用下述屈服准则计算纯剪屈服应力σps及按比例加载时σ1=p，σ2=2p，σ3=3p时的屈服值。（a）Tresca准则；（b）vonMises准则。解：（a）由Tresca准则得，已知单轴拉伸屈服应力σ0，则有σps=σ0/2当σ1=p，σ2=2p，σ3=3p时，max（1/2│σ1－σ2│，1/2│σ2－σ3│，1/2│σ3－σ1│）=1/2│σ3－σ1│=p=k∴σs=p（b）由vonMises准则得，σps=σ0/√3当σ1=p，σ2=2p，σ3=3p时，(σ1－σ2)2+(σ2－σ3)2+(σ3－σ1)2=6p2=6k2→k=p∴σs=p6.5利用Rankine准则确定比例加载路径ppppxyzzyyxx,2,2,2,,,时的屈服值p。解：根据主应力值的公式：22142121xyxyx22242121xyxyx得：pppppppppppp2222214222122213422212221根据Rankine准则：tf321,,max，又p23，所以，tfp31，则，屈服值tfp31。6.6设材料满足m=3的Mohr-Coulomb准则，确定3.0/3cf两种情况下在纯剪试验中的屈服应力ps。解：材料满足m=3的Mohr-Coulomb准则，则3sin1sin1tcffm，cf313，则：6,21sin，当3.0/3cf，所以，cf3.03，cf33.11根据Mohr-Coulomb准则：tansin221cos21313131c可得：6tan6sin23.063.13.033.1216cos3.033.121ccccccffffcff得：cfc335.0所以，当3.0/3cf情况下在纯剪试验中的屈服应力cpsf335.0。同理，当3.0/3cf时，同样可以求得在纯剪试验中的屈服应力cpsf34.0。6.14试验给出精度为±6.895MPa的屈服应力的结果为MPa275.3101（单独作用），MPa275.3102（单独作用），MPa27.179（单独作用），MPa96.330212，关于由此材料的各向同性及其对静水压力的敏感情况你可得什么结论？答：根据上述材料的试验所得的应力情况得：由于当21,单独作用时所得的屈服应力值相同，所以该材料为各向同性材料，且不受静水压力影响。因此，计算出其中一个应力点后，可根据与静水压力无关的条件得出同样出现屈服的两个点；然后由于材料各向同性，易得21,应力空间中的五个应力点也是屈服点；再由于加载方向不重要可得21,应力空间中另外六个屈服点。6.15（金晶）已知1268.95,275.8MPaMPa，假定材料为各向同性并与静水压力无关，拉压性质相同。（a）确定12,空间中所有其他双轴应力状态；（b）估计屈服应力：（I）轴向拉伸，（II）简单剪切并根据其外凸性给出估计值的可能误差极限（c）根据：（I）vonMises准则；（II）Tresca准则；（III）3262323(,)2.250,FJJJJk确定（b）中的屈服应力；（d）一根长钢圆管，直径为254mm，壁厚为3.175mm，作用有内压3.448MPa，管端封闭，求出使该管屈服所需的扭矩T。（I）vonMises准则；(II)Tresca准则；(III)3262323(,)2.250,FJJJJk解：（c）根据vonMises准则2222122331()()()6k1268.95,275.8MPaMPa22212212222()(68.95275.8)275.868.956143.53kkMPa根据Tresca准则122331111max(||,||,||)222k1268.95,275.8MPaMPa1221111max(||,||,||)222max(103.425,137.9,34.475)137.9kMPa