数列的概念与通项公式

第二章数列2.1数列的概念与简单表示法第一课时数列的概念与通项公式[目标导航]课标要求1.通过实例,了解数列的概念.2.掌握数列的两种分类,能对具体数列作出判断.3.理解数列通项公式的概念,能根据数列的前几项写出数列的通项公式.4.能根据数列的通项公式研究数列中有关项的问题.素养达成通过对数列的概念与通项公式的学习,培养学生的观察能力和抽象概括能力.新知导学课堂探究1.数列的概念(1)数列的定义按照一定排列着的一列数称为数列.(2)数列的项数列中的叫做这个数列的项,排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项).新知导学·素养养成顺序每一个数思考1:{an}与an表示的含义相同吗?答案:{an}与an表示不同的含义,{an}表示数列a1,a2,…,an,…,是数列的一种简记形式.而an只表示数列{an}的第n项,an与{an}是“个体”与“整体”的从属关系.2.数列的分类(1)按项的个数分类类别含义有穷数列项数的数列无穷数列项数的数列有限无限(2)按项的变化趋势分类类别含义递增数列从第2项起,每一项都它的前一项的数列递减数列从第2项起,每一项都它的前一项的数列常数列各项的数列摆动数列从第2项起,有些项它的前一项,有些项小于它的前一项的数列大于小于相等大于3.数列的通项公式如果数列{an}的第n项与之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.序号n思考2:数列的通项公式与函数关系式有什么关系?答案:数列的通项公式是一个函数解析式,它的定义域是N*(或它的有限子集{1,2,…,n}),是一个特殊的函数.名师点津与集合中元素的性质相比较,数列中的项的性质具有以下特点:(1)确定性:一个数是或不是某一数列中的项是确定的,集合中的元素也具有确定性;(2)可重复性:数列中的数可以重复出现,而集合中的元素不能重复出现(即互异性);(3)有序性:一个数列不仅与构成数列的“数”有关,而且与这些数的排列顺序有关,而集合中的元素没有顺序(即无序性);(4)数列中的每一项都是数,而集合中的元素还可以代表除数字外的其他事物.课堂探究·素养提升解:(1)错误.数列不能写成集合的形式.(2)错误.数列中的数是有顺序的,数相同但顺序不同的数列不相同.(3)错误.此数列虽然含有省略号,但项数有限,是有穷数列.(4)错误.此数列为摆动数列,不是常数列.题型一数列的概念与分类[例1]判断下列说法是否正确.(1)数列2,4,6,8可以表示为{2,4,6,8};(2)数列1,2,3,5与5,3,2,1是相同的数列;(3)1,2,22,23,…,263是递增数列,也是无穷数列;(4)-1,1,-1,1,…是常数列.方法技巧(1)有穷数列与无穷数列的判断判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列,只需看数列是有限项还是无限项.若数列含有限项,则是有穷数列,否则为无穷数列.(2)数列单调性的判断判断数列的单调性,则需要从第2项起,观察每一项与它的前一项的大小关系,若满足anan+1,则是递增数列;若满足anan+1,则是递减数列;若满足an=an+1,则是常数列;若an与an+1的大小不确定时,则是摆动数列.解析:有穷数列为②④;无穷数列为①③;递增数列为②;递减数列为④;摆动数列为①;常数列为③.即时训练1-1:给出以下数列:①1,-1,1,-1,…;②2,4,6,8,…,1000;③8,8,8,8,…;④0.8,0.82,0.83,0.84,…,0.810.其中,有穷数列为;无穷数列为;递增数列为;递减数列为;摆动数列为;常数列为.(填序号)答案:②④①③②④①③解:(1)①错误.{0,1,2,3,4}是集合,不是数列.②正确.如将所有自然数按从小到大的顺序排列.③错误.当x,y中至少有一个不代表数时,便不是数列,这是因为数列必须是由一列数按一定的顺序排列所组成.[备用例1](1)下列说法哪些是正确的?哪些是错误的?并说明理由.①{0,1,2,3,4}是有穷数列;②所有自然数能构成数列;③-3,-1,1,x,5,7,y,11是一个项数为8的数列.(2)下列数列哪些是有穷数列?哪些是无穷数列?哪些是递增、递减数列?哪些是摆动数列?哪些是常数列?①2010,2012,2014,2016,2018.②0,12,23,…,1nn,….③1,12,14,…,112n,…④-112,123,-134,145,….⑤1,0,-1,…,sinπ2n,….⑥9,9,9,9,9,9.解:(2)①是有穷递增数列.②是无穷递增数列.③是无穷递减数列.④是摆动数列,也是无穷数列.⑤是摆动数列,也是无穷数列.⑥是常数列,也是有穷数列.题型二根据数列的前几项写出通项公式[例2]写出下列数列的一个通项公式,使其前几项分别是下列各数.(1)12,2,92,8,252,…;(2)1,-3,5,-7,9,…;解:(1)数列的项,有的是分数,有的是整数,可将各项都统一成分数再观察:12,42,92,162,252,…,所以,它的一个通项公式为an=22n.(2)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9,…,是连续的正奇数;考虑(-1)n+1具有转换符号的作用,所以数列的一个通项公式为an=(-1)n+1(2n-1).(3)a,b,a,b,a,b,…;(4)9,99,999,9999,….解:(3)这是个摆动数列,可寻找其摆动平衡位置与摆动振幅,平衡位置:2ab,振幅:2ab,用(-1)n或(-1)n+1去调节,则an=2ab+(-1)n+12ab.(4)各项加1后,变为10,100,1000,10000,…,此数列的通项公式为10n,可得原数列的通项公式为an=10n-1.方法技巧(1)据所给数列的前几项求其通项公式时,需仔细观察分析,抓住以下几方面的特征:①分数中分子、分母的特征;②相邻项的变化特征;③拆项后的特征;④各项符号特征等,并对此进行归纳、联想.(2)观察、分析问题的特点是最重要的,观察要有目的,观察出项与序号之间的关系、规律,利用我们熟知的一些基本数列(如自然数列、奇偶数列等)转换而使问题得到解决,对于正负符号变化,可用(-1)n或(-1)n+1来调整.即时训练2-1:写出下面数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数:(1)1,3,5,7,…;(2)-23,-415,-635,-863,…;解:(1)这个数列的前4项1,3,5,7都是序号的2倍减去1,因此它的一个通项公式是an=2n-1.(2)分别观察这个数列前4项的分子和分母:分子为偶数列:2,4,6,8;分母为1×3,3×5,5×7,7×9;符号均为负.因此它的一个通项公式是an=-22121nnn.(3)2,5,10,17,…;(4)-12,13,-14,15,….解:(3)观察这个数列的前4项,若各项分别减1,则变为1,4,9,16,所以它的一个通项公式为an=n2+1.(4)数列前4项的分母分别为2,3,4,5,其分子为1,符号正负相间,所以它的一个通项公式为an=(-1)n11n.[备用例2](1)(2019·浙江宁波检测)若数列的前4项为1,0,1,0,则这个数列的通项公式不可能是()(A)an=12[1+(-1)n-1](B)an=12[1-cos(n·180°)](C)an=sin2(n·90°)(D)an=(n-1)(n-2)+12[1+(-1)n-1](1)解析:结合选项分别把n=1,2,3,4代入进行检验是否分别为1,0,1,0即可.故选D.(2)根据数列的前几项,写出下列数列的一个通项公式:①-1,7,-13,19,…;②0.8,0.88,0.888,…;③12,14,-58,1316,-2932,6164,…;④32,1,710,917,….(2)解:①符号问题可通过(-1)n或(-1)n+1表示,其各项的绝对值的排列规律为:后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6,故通项公式为an=(-1)n(6n-5).②将数列变形为89(1-0.1),89(1-0.01),89(1-0.001),…,所以an=89(1-110n).③各项的分母分别为21,22,23,24,…易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为-232,至此原数列已化为-11232,22232,-33232,44232,…,所以an=(-1)n·232nn.④将数列统一为32,55,710,917,…对于分子3,5,7,9,…,是序号的2倍加1,可得分子的通项公式为bn=2n+1,对于分母2,5,10,17,…联想到数列1,4,9,16,…,可得分母的通项公式为cn=n2+1,所以可得原数列的一个通项公式为an=2211nn.题型三数列通项公式的应用[例3]已知数列{2299291nnn}.(1)求这个数列的第10项;规范解答:设f(n)=2299291nnn=31323131nnnn=3231nn.…………………………5分(1)令n=10,得第10项a10=f(10)=2831.…………7分(2)98101是不是该数列中的项,为什么?(3)求证:数列中的各项都在区间(0,1)内.规范解答:(2)令3231nn=98101,得9n=300.此方程无正整数解,所以98101不是该数列中的项.…………9分(3)因为an=3231nn=31331nn=1-331n,又n∈N*,所以0331n1,所以0an1.即数列中的各项都在区间(0,1)内.…………12分解:令13an=3231nn23,所以3196,9662,nnnn所以7,68.3nn所以76n83.所以当且仅当n=2时,上式成立,故区间(13,23)上有数列中的项,且只有一项为a2=47.一题多变:保持本例已知条件不变,试判断在区间(13,23)内有无数列中的项?若有,有几项?方法技巧(1)数列的通项公式给出的是第n项an与它的位置序号n之间的关系,只要用序号代替公式中的n,就可以求出数列的相应项;反过来,判断一个数是不是该数列的某一项,只要看以n为未知数的方程有没有正整数解,若有就是,否则就不是.(2)解决是否存在型问题,可先假设存在,然后代入条件或参数的值或范围,若符合题意,则存在;若不符合题意,则不存在.[备用例3](1)已知数列的通项公式为an=243nn.①写出数列的第4项和第6项;②试问110和1627是不是它的项,如果是,是第几项?解:(1)①由题意易得a4=24434=17,a6=24636=227.②令243nn=110,则n2+3n-40=0,解得n=5或n=-8,由n∈N*,故n=-8舍去.所以110是数列的第5项.令243nn=1627,则4n2+12n-27=0,解得n=32或n=-92,由n∈N*,所以1627不是此数列中的项.(2)已知数列{an}的通项公式为an=pn+q(p,q∈R),且a1=-12,a2=-34.①求{an}的通项公式;②-255256是{an}中的第几项?解:(2)①因为an=pn+q,又a1=-12,a2=-34,所以21,23,4pqpq解得1,21,pq因此{an}的通项公式是an=(12)n-1.②令an=-255256,即(12)n-1=-255256,所以(12)n=1256,解得n=8.故-255256是{an}中的第8项.题型四易错辨析——由观察法写通项公式易错点[例4]数列25,215,235,275,…的一个通项公式为.错解:因为a1=25=21015,a2=215=21025,故猜想an=2105n.答案:an=2105n纠错:错误的根本原因是数列各项分母的变换规律判断出错.实际上,第3项分母35≠10×3-5.正解:通过观察与分析,可知a1=021025,a2=121025,a3=221025,a4=321025,故所求