数列的概念与通项公式-PPT

第32讲数列的概念与通项公式知识体系1.了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）.2.了解数列是自变量为正整数的一类函数.3.会用观察法、递推法等求数列的通项公式.1.以下关于数列的叙述：①数列是以正整数集为定义域的函数；②数列都有通项，且是惟一的；③数列只能用通项公式的方法来表示；④既不是递增也不是递减的数列,则为常数列;⑤数列1,1,2,3,5,8与数列8,5,3,2,1,1是同一数列;⑥对所有的n∈N*，都有an+3=an，则数列{an}是以3为周期的周期数列.其中正确的结论有()BA.0个B.1个C.3个D.5个本题是考查数列及相关概念的题，在解题过程中，每一个叙述都有可能判断错误，故需一一给予剖析：命题①，数列可以看作是一个定义域为正整数集N+（或它的有限子集{1，2，3，…，n})的函数；命题②，不是每一个数列都有通项，有的数列不存在通项；另外，有通项公式的数列，通项公式也不一定惟一；命题③，数列除了用通项公式表示外还可以用列表法和图象法表示；命题④，数列存在递增数列、递减数列、常数数列，还有摆动数列；命题⑤，数列是有序的；⑥正确.2.数列-1,7,-13,19，…的一个通项公式是an=.(-1)n(6n-5)符号问题可通过(-1)n或(-1)n+1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比它前面数的绝对值大6，故通项公式为an=(-1)n(6n-5).3.如果数列{an}的前n项的和Sn=n2，那么这个数列的通项公式是.an=2n-1a1=S1=1，所以a1=1，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n-1.经检验，a1符合上式，所以an=2n-1.4.在数列{an}中，若an+1=，a1=1，则a6=.21nnaa111因为an+1=a2==,a3==，a4==，a5==，a6==.21nnaa1121aa1313213151521517172171919219111大家学习辛苦了，还是要坚持继续保持安静5.已知数列{an}(n∈N*)满足an+1=an-t(an≥t)t+2-an(ant),且ta1t+1,其中t2，若an+k=an(k∈N*)，则实数k的最小值是.4因为ta1t+1，所以a2=a1-t1t，故a3=t+2-a2=2t+2-a1t,a4=a3-t=t+2-a1t，a5=t+2-a4=a1，所以最小正周期为4，故k的最小值为4.1.数列的概念(1)数列是按一定①排列的一列数，记作a1,a2,a3,…,an,…，简记{an}.(2)数列{an}的第n项an与项数n的关系若能用一个公式an=f(n)给出，则这个公式叫做这个数列的②.顺序通项公式(3)数列可以看做定义域为N*(或其子集）的函数，当自变量由小到大依次取值时，对应的一列函数值，它的图象是一群③.2.数列的表示方法数列的表示方法有：列举法、图示法、解析法（用通项公式表示）和递推法（用递推关系表示）.孤立的点3.数列分类(1)按照数列的项数分④、.(2)按照任何一项的绝对值是否超过某一正常数分:⑤、.(3)从函数单调性角度考虑分：递增数列、⑥、常数列、⑦.4.数列通项an与前n项和Sn的关系(1)Sn=a1+a2+a3+…+an；(2)an=⑧.有穷数列无穷数列有界数列无界数列递减数列摆动数列S1(n=1)Sn-Sn-1(n≥2)题型一观察法写数列的通项公式典例精讲典例精讲例1求下列数列的一个通项公式：(1)1,-1,1,-1,…;(2)3,5,9,17,33,…;(3),2,,8,,…;(4)1,0,-1,0,1,0,-1,0,….1292252(1)an=(-1)n+1或an=cos(n+1)π.(2)an=2n+1.(3)an=.(4)an=sin.22n2n点评点评已知数列的前n项，写出数列的通项公式，主要从以下几个方面来考虑：(1)符号用(-1)n与(-1)n+1(或(-1)n-1)来调节，这是因为n和n+1奇偶交错.(2)分式形式的数列，分子找通项，分母找通项，要充分借助分子、分母的关系.(3)对于比较复杂的通项公式，要借助等差数列、等比数列（后面将学到）和其他方法来解决.(4)此类问题虽无固定模式，但也有其规律可循，主要靠观察（观察规律）、比较（比较已知的数列）、归纳、转化（转化为等差或等比数列）等方法.题型二利用数列前n项和公式求通项例2已知数列{an}的前n项和为Sn，分别求其通项公式.(1)Sn=3n-2；(2)Sn=(an+2)2(an0).18(1)当n=1时，a1=S1=1;当n≥2时，an=Sn-Sn-1=3n-2-（3n-1-2）=2·3n-1.由于a1=1不适合上式，因此数列{an}的通项公式为1（n=1）2·3n-1（n∈N*，且n≥2）.an=(2)当n=1时，a1=S1=(a1+2)2，解得a1=2.当n≥2时,Sn=Sn-Sn-1=(an+2)2-(an-1+2)2,所以(an-2)2-(an-1+2)2=0，所以(an+an-1)(an-an-1-4)=0，又an0，所以an-an-1=4，可知{an}为等差数列，公差为4,所以an=a1+(n-1)d=2+(n-1)·4=4n-2,a1=2也适合上式，故an=4n-2.181818点评点评S1(n=1)Sn-Sn-1(n≥2)求数列的通项，特别要注意验证a1的值是否满足“n≥2”的通项公式；同时认清“an+1-an=d（常数）(n≥2)”与“an-an-1=d（d为常数，n≥2）”的细微差别.本例的关键是应用an=题型三利用递推公式求数列的通项例3根据下列条件,写出数列的通项公式：（1）a1=2，an+1=an+n；（2）a1=1，an-1=2n-1an.分析分析（1）将递推关系写成n-1个等式累加，即“累加法”.（2）将递推关系写成n-1个等式相乘，即“累积法”或用逐项迭代法.(1)(方法一)an+1=an+n，所以a2=a1+1，a3=a2+2，a4=a3+3，…,an=an-1+(n-1),所以a2+a3+…+an=(a1+a2+…+an-1)+[1+2+3+…+(n-1)]，所以an=+2=.(1)2nn242nn(方法二)因为an+1-an=n，所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+(a2-a1)+a1=(n-1)+(n-2)+…+1+2=+2=.(1)2nn242nn(2)(方法一)因为an=,所a2=,a3=,a4=,…,an=,相乘得a2·a3·…·an=··…·an==.(方法二)因为=，所以an=··…···a1=··…·××1=.112nna112a222a332a112nna112a222a112nna112(1)2na(1)22nn1nnaa112n1nnaa12nnaa32aa21aa112n212n212112(1)22nn点评点评已知数列的递推关系，求数列的通项公式的方法大致分为两类：一是根据前几项的特点归纳猜想出an的通项公式，然后用数学归纳法证明；二是将已知递推关系整理，变形为可用“累加法”“累乘法”或新的等差数列、等比数列等，再求其通项.方法提炼方法提炼数列通项公式的求法：①观察分析法；S1(n=1)Sn-Sn-1(n≥２);③转化成等差、等比数列；④迭加、累乘法（见第34讲）.②公式法:an=