3.2.3空间角的计算、、

空间向量的引入为代数方法处理立体几何问题提供了一种重要的工具和方法，解题时，可用定量的计算代替定性的分析，从而避免了一些繁琐的推理论证。求空间角与距离是立体几何的一类重要的问题，也是高考的热点之一。我们主要研究怎么样用向量的办法解决空间角的问题。空间的角：空间的角常见的有：线线角、线面角、面面角。空间两条异面直线所成的角可转化为两条相交直线所成的锐角或直角。故我们研究线线角时，就主要求范围内的角；[0,]2斜线与平面所成的角是指斜线与它在面内的射影所成锐角，再结合与面垂直、平行或在面内这些特殊情况，线面角的范围也是；[0,]2两个平面所成的角是用二面角的平面角来度量。它的范围是。[0,]总之，空间的角最终都可以转化为两相交直线所成的角。因此我们可以考虑通过两个向量的夹角去求这些空间角。异面直线所成角的范围：0,2ABCD1D,与的关系？CDAB思考：,与的关系？DCAB结论：|cos,|ab||一、线线角：ab，ab，设直线的方向向量为，的方向向量为CAaBbDaabb所以与所成角的余弦值为A1AB1BC1C1D1Fxyz解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系,如图所示，设则：Cxyz11CC(1,0,0),(0,1,0),AB11111(,0,1),(,,1)222FD所以：11(,0,1),2AF111(,,1)22BD11cos,AFBD1111||||AFBDAFBD113041053421BD1AF3010例一：090,中，现将沿着RtABCBCAABC平面的法向量ABC1，BCCACC11求与所成的角的余弦值.BDAF111平移到位置，已知ABC1111取、的中ABAC111111取、的中点、，ABACDF练习：在长方体中，1111ABCDABCD58,ABAD=，14,AA1112,为上的一点,且MBCBM1点在线段上，NAD1.ADAN1.(1)求证：ADAMABCD1A1B1C1DMNxyz(0,0,0),A(5,2,4),AM1(0,8,4),AD10＝AMAD1.ADAM（2）求与平面所成的角.ADANM1(0,0,4),A(0,8,0),D(5,2,4)M简解：2nBA，直线与平面所成角的范围：[0,]2ABO,设平面的法向量为，则与的关系？nnBA思考：结论：sin|cos,|nAB二、线面角：nnBAAB2nBA，例二：在长方体中，1111ABCDABCD58,ABAD=，14,AA1112,为上的一点,且MBCBM1点在线段上，NAD1.ADAN1.(1)求证：ADAMABCD1A1B1C1DMNxyz(0,0,0),A(0,8,0),AD1(0,8,4),AD（2）求与平面所成的角.ADANM1(0,0,4),A(0,8,0),D1cos,ADAD255与平面所成角的正弦值是ADANM255简解：1111(1)由知，又，所以平面所以是平面的法向量。ADAMADANAMANAADAMNADAMN所以~~~~练习：1111ABCDABCD的棱长为1.111.BCABC求与面所成的角正方体ABCD1A1B1C1Dxyz(000)A，，，1(101)B，，，(110)C，，，设正方体棱长为1，1ABADAA，，为单以1(101)(110)ABAC，，，，，1(111)C，，，11(010)BC则，，，1()ABCnxyz设为，，平面的法向量100nABnAC则，0=10==-1xzxyn=(1-1-1)，，，，，，xyz所以取得故位正交基底，可得110103cos313nBC，1113所以与面所成的角的正弦值为。3BCABCl将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。如图，设二面角的大小为，其中l,,,ABlABCDlCDcoscos,ABCDABCDABCDDCBA三、面面角：①方向向量法：二面角的范围：[0,]例三：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。从A，B到直线（库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为和,CD的长为,AB的长为。求库底与水坝所成二面角的余弦值。labcd解：如图，.dABcCDbBDaAC，，，化为向量问题根据向量的加法法则有DBCDACAB222)(DBCDACABd2222()ACCDBDACCDACDBCDDBDBACbca2222DBCAbca2222于是，得22222dcbaDBCA设向量与的夹角为，就是库底与水坝所成的二面角。CADB因此.cos22222dcbaabABCD所以.2cos2222abdcba所以库底与水坝所成二面角的余弦值为.22222abdcball三、面面角：二面角的范围：[0,]②法向量法1n1n2n2n12nn，12nn，12nn，12nn，cos12cos,nncos12cos,nn注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角,1,1,,2.AABCDSAABBCADSCDSBA0如所示，ABCD是一直角梯形，ABC=90S平面求面与面所成二面例：角的余弦值四ABCDSxzyA-xyz解：建立空直角坐系如所示,A(0,0,0),C(-1,1,0),1,0),2D(0,(0,0,1)S11(0,,0)2SBAnAD易知面的法向量11(1,,0),(0,,1)22CDSD2(,,),SCDnxyz的法向量22,,nCDnSD由得：设平面0202yxyz22yxyz2(1,2,1)n任取1212126cos,3||||nnnnnn63即所求二面角得余弦值是方向朝面外，方向朝面内，属于“一进一出”的情况，二面角等于法向量夹角1n2n小结：1.异面直线所成角：cos|cos,|ab2.直线与平面所成角：sincos,nAB||ABCD1DABOnabanlcoscos,ABCDABCDABCDDCBA3.二面角：ll1n1n2n2n一进一出，二面角等于法向量的夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角。cos12cos,nncos12cos,nn2、如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是n1=（1，0，1），n2=（0，1，1），那么这条斜线与平面所成的角是______.1、已知=(2,2,1),=(4,5,3),则平面ABC的一个法向量是______.ABAC3.三棱锥P-ABCPA⊥ABC,PA=AB=AC,E为PC中点,,则PA与BE所成角的余弦值为_________.4.直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A=2,AB=AC=1,则AC1与截面BB1CC1所成角的余弦值为_________.090BAC090BAC2、如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是=（1，0，1），=（0，1，1），那么这条斜线与平面所成的角是______.3、已知两平面的法向量分别m=(0,1,0),n=(0,1,1)，则两平面所成的钝二面角为______.练习:1、已知=(2,2,1),=(4,5,3),则平面ABC的一个法向量是______.ABAC6001350ab4.三棱锥P-ABCPA⊥ABC,PA=AB=AC,,E为PC中点,则PA与BE所成角的余弦值为_________.5.直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A=2,AB=AC=1,则AC1与截面BB1CC1所成角的余弦值为_________.6.正方体中ABCD-A1B1C1D1中E为A1D1的中点,则二面角E-BC-A的大小是________090BAC090BAC66310100457.正三棱柱中，D是AC的中点，当时，求二面角的余弦值。111CBAABC11BCABCBCD1CADBC1B1A18.已知正方体的边长为2，O为AC和BD的交点，M为的中点（1）求证：直线面MAC;（2）求二面角的余弦值.1111DCBAABCD1DDOB1CMAB1B1A1C1D1DCBAOM)0,21,23(aaA)0,,0(aB)0,41,43(aaD),0,0(1bC),,0(1baB解法一：如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz。设底面三角形的边长为a，侧棱长为b,则C(0,0,0)故),21,23(1baaAB),,0(1baBC11,ABBC2211102ABBCab22ba则可设=1，，则B(0,1,0)a22b)0,41,43(D)22,0,0(1CyxzCADBC1B1A1FE作于E,于F，则〈〉即为二面角的大小1BCCE1BCDFFDEC,CBCD1在中，即E分有向线段的比为BCCRt121222211abBCCCEBECBC12112(0,,)33E12(0,,)33EC由于且，所以ACBDABCCC面1DCBD1在中，同理可求BDCRt1)42,21,0(F)42,41,43(FD∴cos〈〉=FDEC,22463341FDECFDEC∴即二面角的余弦值为CBCD122yxzCADBC1B1A1FE解法二：同法一，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz在坐标平面yoz中1CCB设面的一个法向量为BDC1),,(zyxm同法一，可求B(0,1,0))0,41,43(D)22,0,0(1C)0,43,43(DB)22,41,43(1DC∴可取＝(1,0,0)为面的法向量BCC1∴nyxzCADBC1B1A1由得mDBmDC,113120,442CDmxyz04343yxmDB解得zyx263所以，可取)6,3,3(m二面角的大小等于〈〉CBCD1nm,∴∴cos〈〉=nm,22233nmnm即二面角的余弦值为CBCD122方向朝面外，方向朝面内，属于“一进一出”的情况，二面角等于法向量夹角nm8.①证明：以为正交基底，建立空间直角坐标系如图。则可得1DADCDD、、1(200)(020)(001)(222)(110)ACMBO，，，，，，，，，，，，，，。1(201)(021)(112)MAMCBO所以，，，，，，，，1120200220BOMABOMC，11BOMABOMC所以，11BOMABOMCMAMCC即，。又1BOMAC所以平面8.已知正方体的边长为2，O为AC和BD的交点，M为的中点（1）求证：直线面MAC;（2）求二面角的余弦值.1111DCBAABCD1DDOB11BMACB1A1C1D1DCBAOMxyz②1BOMAC由知平面①B1A1C1D1DCBAOMxyz1BOMAC所以是平面的一个法向量1(200)(001)(222)AMB由，，，，，，，，得1()BMAnxyz设平面的一个法向量为，，1(201)(221)MAMB，，，，，10020021-2220nMAnMBxzzxyxyz所以，即取=得=，=1(122)BMAn所以平面的一个法向量为，，1(112)BO且，，11246cos669BOn，166BMAC所以二面角的余弦值为。习题课例1如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥