第八章季节性时间序列模型

第八章季节性时间序列模型第一节季节指数第二节综合分析第三节X11过程第四节随机季节差分【例】以北京市1995年——2000年月平均气温序列为例，介绍季节性时间序列模型的基本思想和具体操作步骤。时序图一、季节指数季节指数的概念所谓季节指数就是用简单平均法计算的周期内各时期季节性影响的相对数季节模型ijjijISxx返回本节首页下一页上一页季节指数的计算计算周期内各期平均数计算总平均数计算季节指数mknxxniikk,,2,1,1nmxxnimkik11mkxxSkk,,2,1,季节指数的理解季节指数反映了该季度与总平均值之间的一种比较稳定的关系如果这个比值大于1，就说明该季度的值常常会高于总平均值如果这个比值小于1，就说明该季度的值常常低于总平均值如果序列的季节指数都近似等于1，那就说明该序列没有明显的季节效应例1季节指数的计算季节指数图二、综合分析常用综合分析模型加法模型乘法模型混合模型ttttISTxttttISTx)())ttttttttITSxbITSxa返回本节首页下一页上一页例2对1993年——2000年中国社会消费品零售总额序列进行确定性时序分析月份199319941995199619971998199920001977.51192.21602.21909.12288.52549.52662.12774.72892.51162.71491.51911.22213.52306.42538.428053942.31167.51533.31860.12130.92279.72403.126274941.31170.41548.71854.82100.52252.72356.825725962.21213.71585.41898.32108.22265.22364263761005.71281.11639.719662164.723262428.826457963.81251.51623.61888.72102.52286.12380.325978959.812861637.11916.42104.42314.62410.9263691023.31396.217562083.52239.62443.12604.32854101051.11444.118182148.3234825362743.930291111021553.81935.22290.12454.92652.22781.53108121415.51932.22389.52848.62881.73131.43405.73680(1)绘制时序图(2)选择拟合模型长期递增趋势和以年为固定周期的季节波动同时作用于该序列，因而尝试使用混合模型（b）拟合该序列的发展)(ttttITSx(3)计算季节指数月份季节指数月份季节指数10.98270.92920.94380.94030.92091.00140.911101.05450.925111.10060.951121.335季节指数图季节调整后的序列图ttttITSxˆ(4)拟合长期趋势tTt93178.20522.1015ˆ(5)残差检验ttttITSxˆˆ(6)短期预测ˆˆˆ()ttltlxlST三、X-11过程简介X-11过程是美国国情调查局编制的时间序列季节调整过程。它的基本原理就是时间序列的确定性因素分解方法因素分解长期趋势起伏季节波动不规则波动交易日影响模型加法模型乘法模型返回本节首页下一页上一页方法特色普遍采用移动平均的方法用多次短期中心移动平均消除随机波动用周期移动平均消除趋势用交易周期移动平均消除交易日影响例2续对1993年——2000年中国社会消费品零售总额序列使用X-11过程进行季节调整选择模型（无交易日影响）ttttISTxX11过程获得的季节指数图季节调整后的序列图趋势拟合图随机波动序列图§第四节季节时间序列模型4.1季节时间序列的重要特征一、季节时间序列表示许多商业和经济时间序列都包含季节现象，例如，冰淇淋的销量的季度序列在夏季最高，序列在每年都会重复这一现象。相应的周期为4。类似地，在美国汽车的月度销售量和销售额数据在每年的7月和8月也趋于下降，因为每年这时汽车厂家将会推出新的产品；在西方，玩具的销售量在每年12月份会增加，主要是因为圣诞节的缘故；在中国，每年农历5月份糯米的销售量大大地增加，这是因为中国的端午节有吃粽子的习惯。以上三种情况的季节周期都是12个月。由上面的例子可以看到，很多的实际问题中，时间序列会显示出周期变化的规律，这种周期性是由于季节变化或其他物理因素所致，我们称这类序列为季节性序列。单变量的时间序列为了分析方便，可以编制成一个二维的表格，其中一维表示周期，另一维表示某个周期的一个观测值，如表8.1所示。表4.1单变量时间序列观测数据表例如，1993~2000年各月中国社会消费品零售总额序列，是一个月度资料，其周期S=12，起点为1993年1月，具体数据见附录。二、季节时间序列的重要特征季节性时间序列的重要特征表现为周期性。在一个序列中，如果经过S个时间间隔后观测点呈现出相似性，比如同处于波峰或波谷，我们就说该序列具有以S为周期的周期特性。具有周期特性的序列称为季节时间序列，S为周期的长度，不同的季节时间序列会表现出不同的周期，季度资料的一个周期表现为一年的四个季度，月度资料的周期表现为一年的12各月，周资料表现为一周的7天或5天。例如，图4.16的数据是1993年1月到2000年12月的中国社会消费品月销售总额。图4.161993年1月—2000年12月的中国社会消费品月销售总额当然影响一个季节性时间序列的因素除了季节因素外，还存在趋势变动和不规则变动等。我们研究季节性时间序列的目的就是分解影响经济指标变量的季节因素、趋势因素和不规则因素，据以了解它们对经济的影响。500100015002000250030003500400019931994199519961997199819992000SALES4.2季节时间序列模型一、随机季节模型季节性随机时间序列时间间隔为周期长度S的两个时间点上的随机变量有相对较强的相关性，或者说季节性时间序列表现出周期相关，比如对于月度数据，S=12，与有相关关系，于是我们可以利用这种周期相关性在与之间进行拟合。设一个季节性时间序列{}通过D阶的季节差分后为一平稳时间序列，即，则一阶自回归季节模型为或(8.5)其中，为白噪声序列。将代入式（8.5），得(8.6)tX12tX12tXtXtX(1)SDBtW(1)SDttWBX1ttStWW1(1)SttBWt(1)SDttWBX1(1)(1)SSDttBBX同样的思路，一个一阶移动平均季节模型为或(8.7)推广之，季节性的SARIMA为(8.8)其中，1tttsW1(1)(1)SDSttBXB()(1)()SSDSttUBBXVB212()1SSSkSkUBBBB…-212()1SSSmSmVBHBHBB…-H二、乘积季节模型式(8.8)的季节性SARIMA模型中，我们假定是白噪声序列，值得注意的是实际中不一定是白噪声序列。因为式(8.8)的模型中季节差分仅仅消除了时间序列的季节成分，自回归或移动平均仅仅消除了不同周期相同周期点之间具有的相关部分，时间序列还可能存在长期趋势，相同周期的不同周期点之间也有一定的相关性，所以，模型可能有一定的拟合不足，如果假设是ARIMA（p,d,q）模型，则式(8.8)可以改为(8.9)tatata()()()()SdDSSttBUBXBVB其中，称式(8.9)为乘积季节模型，记为。如果将模型的AR因子和MA因子分别展开，可以得到类似的模型，不同的是模型的系数在某些阶为零，故是疏系数模型或子集模型。212()1SSSkSkUBBBB…-212()1SSSmSmVBHBHBB…-H1()1ppBBB…1()1qqBBB…(1)ddB(1)DSDSBARIMA(k,D,m)(p,d,q)ARIMA(kS+p,mS+q)ARIMA(k,D,m)(p,d,q)三、常见的随机季节模型为了读者学习起来方便，这里列举几个常见的随机季节模型，并简介其生成的过程。在实际问题中，季节性时间序列所含有的成分不同，记忆性长度各异，因而模型形式也是多种多样的。这里以季节周期S=12为例，介绍几种常见的季节模型。模型一(8.10)模型(8.10)先对时间序列做双重差分，移动平均算子由和两个因子构成，该模型是交叉乘积模型。实际上该模型是由两个模型组合而成。由于序列存在季节趋势，故先对序列进行季节差分，差分后的序列是一阶季节移动平均模型，则(8.11)1212112(1)(1)(1)(1)ttBBXBB1(1)B1212(1)BtXARIMA(0,1,1)(0,1,1)1212(1)B121212(1)(1)ttBXBu但式(8.11)仅仅拟合了间隔时间为周期长度点之间的相关关系，序列还存在非季节趋势，相邻时间点上的变量还存在相关关系，所以模型显然拟合不足，不仅是非白噪声序列而且非平稳，如满足以下的模型(8.12)式(8.12)拟合了序列滞后期为一期的时间点之间的相关，为白噪声序列，将式(8.12)代入式(8.11)，则得到模型一。tutu1(1)(1)ttBuBta模型二(8.13)模型(8.13)也是由两个模型组合而成，一个是(8.14)它刻画了不同年份同月的资料之间的相关关系，但是又有欠拟合存在，因为不是白噪声序列。如果满足以下MA（1）的模型，则(8.15)将式(8.15)代入式(8.14)，得到模型二。1212112(1)(1)(1)ttBXBB121212(1)(1)ttBXBututu1(1)ttuB4.3季节性检验和季节模型的建立检验一个时间序列是否具有季节性是十分必要的，如果一个时间序列季节性显著，那么拟合适应的季节时间序列模型是合理的，否则会有欠拟合之嫌。如果不是一个具有显著季节性的时间序列，即使是一个月度数据资料，也不应该拟合季节性时间序列模型。下面我们讨论如何识别一个时间序列的季节性。一、季节性时间序列自相关函数和偏自相关函数的检验根据Box-Jenkins的建模方法，自相关函数和偏自相关函数的特征是识别非季节性时间序列的工具。从第七章第二节的讨论已经看到季节性时间序列模型实际上是一种特殊的ARIMA模型，不同的是它的系数是稀疏的，即部分系数为零，所以对于乘积季节模型的阶数识别，基本上可以采用Box-Jenkins的方法，考察序列样本自相关函数和偏自相关函数，从而对季节性进行检验。1.季节性MA模型的自相关函数假设某一季节性时间序列适应的模型为(8.16)(8.17)是白噪声序列。将式(8.17)代入(8.16)，可得整理后，有这实际上是一个疏系数的MA(S+1)模型，除滞后期为1，S和S+1时的滑动平均参数不为零以外，其余的均为零。根据前面第三章的讨论，不难求出其自相关函数。S(1)SttXBu1(1)ttuBtaS1(1)(1)SttXBB1111tttStsstsX可见当得到样本的自相关函数后，各滑动平均参数的矩法估计式也就不难得到了。更一般的情形，如果一个时间序列服从模型(8.18)其中，。整理后可以看出该时间序列模型是疏系数MA(ms+q)，可以求出其自相关函数，从而了解时间序列的统计特征。2s2()(1)ssmstsmstXBBBB…212()1qqBBBB