教师版一元二次方程2020惠城区九年级上册期末数学备考训练副本

2020惠城区九年级上册期末数学备考训练一元二次方程参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）1．一元二次方程x2﹣2x＝0的解是（）A．x1＝0，x2＝2B．x1＝1，x2＝2C．x1＝0，x2＝﹣2D．x1＝1，x2＝﹣2【分析】本题应对方程左边进行变形，提取公因式x，可得x（x﹣2）＝0，将原式化为两式相乘的形式，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”，即可求得方程的解．【解答】解：原方程变形为：x（x﹣2）＝0x1＝0，x2＝2．故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法．2．一个矩形的长比宽多3cm，面积是25cm2，求这个矩形的长和宽．设矩形的宽为xcm，则所列方程正确的是（）A．x2﹣3x+25＝0B．x2﹣3x﹣25＝0C．x2+3x﹣25＝0D．x2+3x﹣50＝0【分析】表示矩形的长，然后利用矩形的面积公式计算即可．【解答】解：设矩形的宽为xcm，则矩形的长为（x+3）cm，根据题意得：x（x+3）＝25，整理得：x2+3x﹣25＝0，故选：C．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是表示出矩形的长，难度不大．3．方程x2﹣2x＝0的解是（）A．x＝2B．x1＝，x2＝0C．x1＝2，x2＝0D．x＝0【分析】本题应对方程进行移项，等式右边化为0，即为x2﹣2x＝0，提取公因式x，将原式化为两式相乘的形式，x（x﹣2）＝0，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”来求解．【解答】解：原方程变形为：x2﹣2x＝0，x（x﹣2）＝0，x1＝0，x2＝2．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法，本题运用的是因式分解法．4．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0，如果a＞0，a+c＜b，那么方程ax2+bx+c＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．必有一个根为0【分析】根据根的判别式的值的大小与零的关系来判断．若△＞0则有两不相等的实数根；若△＜0，则无实数根；若△＝0，则有两相等的实数根．【解答】解：当c≤0时，a＞0则b2﹣4ac＞0一定成立；当c＞0时，a，b，c都是正数．设y＝ax2+bx+c，易知开口向上，∵a+c＜b，∴a﹣b+c＜0，∴当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，说明抛物线y＝ax2+bx+c与x轴有交点，∴△＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．【点评】总结：1、一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．2、本题还要求能对所给条件向所学知识进行转化，学会利用数形结合的思想解决问题．二．填空题（共2小题）5．若一元二次方程（k﹣1）x2+3x+k2﹣1＝0有一个解为x＝0，则k＝﹣1．【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x＝0代入已知方程，列出关于k的新方程，通过解新方程求得k的值；注意二次项系数不为零．【解答】解：∵一元二次方程（k﹣1）x2+3x+k2﹣1＝0的一个解为0，∴（k﹣1）×02+3×0+k2﹣1＝0且k﹣1≠0，解得k＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．同时考查了一元二次方程的定义．6．已知关于x的方程4x2﹣7x+m＝0的一个根是2，则m的值是﹣2．【分析】一元二次方程的根就是能够使方程左右两边相等的未知数的值；即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；将x＝2代入原方程即可求得m的值．【解答】解：把x＝2代入方程4x2﹣7x+m＝0，得16﹣14+m＝0；即m＝﹣2．【点评】本题考查的是一元二次方程的解的定义．三．解答题（共10小题）7．关于x的方程x2+（2k+1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根．（1）求实数k的取值范围；（2）若k为负整数，求此时方程的根．【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根知△＞0，据此列出关于k的不等式，解之可得；（2）由所得k的范围，结合k为负整数得出k的值，代入方程，再利用因式分解法求解可得．【解答】解：（1）由题意知，△＞0，则（2k+1）2﹣4×1×（k2﹣1）＞0，解得：k＞﹣；（2）∵k为负整数，∴k＝﹣1，则方程为x2﹣x＝0，解得：x1＝1，x2＝0．【点评】本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）根据方程的系数结合根的判别式，找出△＝4k+5＞0；（2）将k＝﹣1代入原方程，利用因式分解法解方程．8．用配方法解方程：x2﹣4x﹣1＝0．【分析】解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．【解答】解：配方，得：x2﹣4x+4﹣4﹣1＝0即（x﹣2）2＝5（3分）∴x﹣2＝（5分）∴，（7分）【点评】用配方法解一元二次方程的步骤：（1）形如x2+px+q＝0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．（2）形如ax2+bx+c＝0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q＝0，然后配方．9．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+1）x+1＝0．（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）若m为整数，当此方程的两个实数根都是整数时，求m的值．【分析】（1）表示出一元二次方程根的判别式，利用配方化成完全平方式，可判定其不小于0，可得出结论；（2）可先用求根公式表示出两根，再根据方程的根都是整数，可求得m的值．【解答】（1）证明：△＝[﹣（m+1）]2﹣4m＝（m﹣1）2．∵（m﹣1）2≥0，∴△≥0．∴该方程总有两个实数根；（2）解：x＝．∴x1＝1，x2＝．当m为整数1或﹣1时，x2为整数，即该方程的两个实数根都是整数，∴m的值为1或﹣1．【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的情况是解题的关键，即△＞0⇔方程有两个不相等的实数根，△＝0⇔方程有两个相等的实数根，△＜0⇔方程无实数根．10．已知二次函数y＝kx2﹣（k+3）x+3在x＝0和x＝4时的函数值相等．（1）求该二次函数的表达式；（2）画出该函数的图象，并结合图象直接写出当y＜0时，自变量x的取值范围；（3）已知关于x的一元二次方程k2x2﹣mx+m2﹣m＝0，当﹣1≤m≤3时，判断此方程根的情况．【分析】（1）利用x＝0和x＝4时的函数值相等得到16k﹣4（k+3）+3＝3，解得k＝1，于是得到二次函数解析式为y＝x2﹣4x+3；（2）先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），再确定抛物线与x轴的交点坐标为（1，0）、（3，0），然后利用描点法画出抛物线，通过图象得到当1＜x＜3时，y＜0；（3）k＝1时，方程化为x2﹣mx+m2﹣m＝0，再计算△＝﹣（m﹣2）2+4，讨论：当﹣1≤m＜0时，△＜0；当m＝0时，△＝0；当0＜m≤3时，△＞0，然后根据判别式的意义判断根的情况．【解答】解：（1）∵x＝0和x＝4时的函数值相等，∴16k﹣4（k+3）+3＝3，∴k＝1，∴二次函数解析式为y＝x2﹣4x+3；（2）y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，则抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），当y＝0时，x2﹣4x+3＝0，解得x1＝1，x2＝3，则抛物线与x轴的交点坐标为（1，0）、（3，0），如图，当1＜x＜3时，y＜0；（3）k＝1时，方程化为x2﹣mx+m2﹣m＝0，△＝（﹣m）2﹣4（m2﹣m）＝﹣m2+4m＝﹣（m﹣2）2+4，当﹣1≤m＜0时，△＜0；当m＝0时，△＝0；当0＜m≤3时，△＞0，∴当﹣1≤m＜0时，原方程没有实数根；当m＝0时，原方程有两个相等的实数根；当0＜m≤3时，原方程有两个不相等的实数根．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．11．某商场进价为每件40元的商品，按每件50元出售时，每天可卖出500件．如果这种商品每件涨价1元，那么平均每天少卖出10件．当要求售价不高于每件70元时，要想每天获得8000元的利润，那么该商品每件应涨价多少元？【分析】一个商品原利润为50﹣40＝10元，提价x元，现在利润为10+x元；根据题意，销售量为500﹣10x，由一个商品的利润×销售量＝总利润，列方程求解．【解答】解：设售价应提高x元，依题意得（10+x）（500﹣10x）＝8000，解这个方程，得x1＝10，x2＝30，∵售价不高于70元，所以x＝30不符合题意，答：该商品每件应涨价10元．【点评】考查了一元二次方程的应用，提价，实际上就是提高了盈利，而提高了盈利，会带来销售量的下降，列方程时，要注意“一升一降”．12．经过18个月的精心酝酿和290多万首都市民投票参与，2011年11月1日，“北京精神”表述语“爱国、创新、包容、厚德”正式向社会发布．为了更好地宣传“北京精神”，小明同学参加了由街道组织的百姓宣讲小分队，利用周末时间到周边社区发放宣传材料．第一周发放宣传材料300份，第三周发放宣传材料363份．求发放宣传材料份数的周平均增长率．【分析】等量关系为：第一周发放宣传材料份数×（1+增长率）2＝第三周发放宣传材料份数，把相关数值代入即可求解．【解答】解：设发放宣传材料份数的周平均增长率为x，由题意，有300（1+x）2＝363．…（3分）解得x1＝0.1，x2＝﹣2.1．…（4分）∵x＝﹣2.1＜0，不符合题意，舍去，∴x＝0.1＝10%．…（5分）答：这两次发放材料数的平均增长率为10%．【点评】本题考查一元二次方程的应用中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．13．某区为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2008年投入1000万元，2010年投入了1210万元，若教育经费每年增长的百分率相同，（1）求每年平均增长的百分率；（2）按此年平均增长率，预计2011年该区教育经费应投入多少万元？【分析】（1）等量关系为：2008年教育经费的投入×（1+增长率）2＝2010年教育经费的投入，把相关数值代入求解即可；（2）2011年该区教育经费＝2010年教育经费的投入×（1+增长率）．【解答】解：（1）设每年平均增长的百分率为x．1000（1+x）2＝1210，（1+x）2＝1.21，∵1+x＞0，∴1+x＝1.1，x＝10%．答：每年平均增长的百分率为10%；（2）2011年该区教育经费为1210×（1+10%）＝1331（万元）．答：预计2011年该区教育经费应投入1331万元．【点评】考查一元二次方程的应用；求平均变化率的方法为：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．14．用配方法解方程：x2﹣8x﹣1＝0．【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数，即可求解．【解答】解：原方程移项得，x2﹣8x＝1，⇒x2﹣8x+16＝1+16，（x﹣4）2＝17，⇒解得．【点评】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数