上海市杨浦区2017年高三第一学期期末一模学科质量检测数学试题及答案word解析版

2017年上海市杨浦区高考数学一模试卷一、填空题（本大题满分54分）共12小题，1-6题每题4分，7-12题每题5分1．（4分）若“a＞b”，则“a3＞b3”是命题（填：真、假）2．（4分）已知A=（﹣∞，0]，B=（a，+∞），若A∪B=R，则a的取值范围是．3．（4分）z+2=9+4i（i为虚数单位），则|z|=．4．（4分）若△ABC中，a+b=4，∠C=30°，则△ABC面积的最大值是．5．（4分）若函数f（x）=log2的反函数的图象经过点（﹣2，3），则a=．6．（4分）过半径为2的球O表面上一点A作球O的截面，若OA与该截面所成的角是60°，则该截面的面积是．7．（5分）抛掷一枚均匀的骰子（刻有1，2，3，4，5，6）三次，得到的数字依次记作a，b，c，则a+bi（i为虚数单位）是方程x2﹣2x+c=0的根的概率是．8．（5分）设常数a＞0，（x+）9展开式中x6的系数为4，则（a+a2+…+an）=．9．（5分）已知直线l经过点且方向向量为（2，﹣1），则原点O到直线l的距离为．10．（5分）若双曲线的一条渐近线为x+2y=0，且双曲线与抛物线y=x2的准线仅有一个公共点，则此双曲线的标准方程为．11．（5分）平面直角坐标系中，给出点A（1，0），B（4，0），若直线x+my﹣1=0存在点P，使得|PA|=2|PB|，则实数m的取值范围是．12．（5分）函数y=f（x）是最小正周期为4的偶函数，且在x∈[﹣2，0]时，f（x）=2x+1，若存在x1，x2，…xn满足0≤x1＜x2＜…＜xn，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x1）|+…+|f（xn﹣1﹣f（xn））|=2016，则n+xn的最小值为．二、选择题（本大题共4题，满分20分）13．（5分）若与﹣都是非零向量，则“•=•”是“⊥（﹣）”的（）A．充分但非必要条件B．必要但非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件14．（5分）行列式中，元素7的代数余子式的值为（）A．﹣15B．﹣3C．3D．1215．（5分）一个公司有8名员工，其中6名员工的月工资分别为5200，5300，5500，6100，6500，6600，另两名员工数据不清楚，那么8位员工月工资的中位数不可能是（）A．5800B．6000C．6200D．640016．（5分）若直线+=1通过点P（cosθ，sinθ），则下列不等式正确的是（）A．a2+b2≤1B．a2+b2≥1C．+≤1D．+≥1三、解答题（满分76分）共5题17．（14分）某柱体实心铜制零件的截面边长是长度为55毫米线段AB和88毫米的线段AC以及圆心为P，半径为PB的一段圆弧BC构成，其中∠BAC=60°．（1）求半径PB的长度；（2）现知该零件的厚度为3毫米，试求该零件的重量（每1个立方厘米铜重8.9克，按四舍五入精确到0.1克）．V柱=S底•h．18．（14分）如图所示，l1，l2是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段，点A，B在直线l1上，且位于M点的两侧，C在l2上，AM=BM=NM=CN（1）求证：异面直线AC与BN垂直；（2）若四面体ABCN的体积VABCN=9，求异面直线l1，l2之间的距离．19．（14分）如图所示，椭圆C：+y2=1，左右焦点分别记作F1，F2，过F1，F2分别作直线l1，l2交椭圆AB，CD，且l1∥l2．（1）当直线l1的斜率k1与直线BC的斜率k2都存在时，求证：k1•k2为定值；（2）求四边形ABCD面积的最大值．20．（14分）数列{an}，定义{△an}为数列{an}的一阶差分数列，其中△an=an+1﹣an（n∈N*）（1）若an=n2﹣n，试判断{△an}是否是等差数列，并说明理由；（2）若a1=1，△an﹣an=2n，求数列{an}的通项公式；（3）对（b）中的数列{an}，是否存在等差数列{bn}，使得b1C+b2C+…+bnC=an，对一切n∈N*都成立，若存在，求出数列{bn}的通项公式，若不存在，请说明理由．21．（20分）对于函数f（x）（x∈D），若存在正常数T，使得对任意的x∈D，都有f（x+T）≥f（x）成立，我们称函数f（x）为“T同比不减函数”．（1）求证：对任意正常数T，f（x）=x2都不是“T同比不减函数”；（2）若函数f（x）=kx+sinx是“同比不减函数”，求k的取值范围；（3）是否存在正常数T，使得函数f（x）=x+|x﹣1|﹣|x+1|为“T同比不减函数”；若存在，求T的取值范围；若不存在，请说明理由．2017年上海市杨浦区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分54分）共12小题，1-6题每题4分，7-12题每题5分1．（4分）若“a＞b”，则“a3＞b3”是真命题（填：真、假）【考点】2K：命题的真假判断与应用；71：不等关系与不等式．菁优网版权所有【专题】33：函数思想；48：分析法；5L：简易逻辑．【分析】利用函数f（x）=x3在R是单调增函数判定．【解答】解：函数f（x）=x3在R是单调增函数，∴当a＞b，一定有a3＞b3，故是真命题答案为：真．【点评】本题考查了命题的真假判定，涉及到不等式的性质，属于基础题．2．（4分）已知A=（﹣∞，0]，B=（a，+∞），若A∪B=R，则a的取值范围是a≤0．．【考点】1D：并集及其运算．菁优网版权所有【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】利用集合的性质直接求解，解题时要注意的是a=0是成立的【解答】解：若A∪B=R，A=（﹣∞，0]，B=（a，+∞），必有a≤0；故答案为：a≤0．【点评】本题考查集合的包含关系的判断，解题的关键是分析出集合A、B的关系．3．（4分）z+2=9+4i（i为虚数单位），则|z|=5．【考点】A8：复数的模．菁优网版权所有【专题】34：方程思想；35：转化思想；5N：数系的扩充和复数．【分析】设z=x+yi（x，y∈R），代入z+2=9+4i，化为：3x﹣yi=9+4i，利用复数相等即可得出．【解答】解：设z=x+yi（x，y∈R），∵z+2=9+4i，∴x+yi+2（x﹣yi）=9+4i，化为：3x﹣yi=9+4i，∴3x=9，﹣y=4，解得x=3，y=﹣4．∴|z|==5．故答案为：5．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．（4分）若△ABC中，a+b=4，∠C=30°，则△ABC面积的最大值是1．【考点】HP：正弦定理．菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形；59：不等式的解法及应用．【分析】由条件可得△ABC的面积S=ab•sinC，再利用正弦函数的值域、基本不等式求得S的最大值．【解答】解：在△ABC中，∵C=30°，a+b=4，∴△ABC的面积S=ab•sinC=ab•sin30°=ab≤×（）2=×4=1，当且仅当a=b=2时取等号，故答案为：1．【点评】本题主要考查三角形的面积，基本不等式的应用，属于基础题．5．（4分）若函数f（x）=log2的反函数的图象经过点（﹣2，3），则a=2．【考点】4R：反函数．菁优网版权所有【专题】15：综合题；34：方程思想；4G：演绎法；51：函数的性质及应用．【分析】由函数f（x）=log2的反函数的图象经过点（﹣2，3），得函数f（x）=log2的图象经过点（3，﹣2），代入计算可得结论．【解答】解：∵函数f（x）=log2的反函数的图象经过点（﹣2，3），∴函数f（x）=log2的图象经过点（3，﹣2），∴﹣2=log2，∴a=2，故答案为2．【点评】本题考查了反函数，考查学生的计算能力，属于基础题．6．（4分）过半径为2的球O表面上一点A作球O的截面，若OA与该截面所成的角是60°，则该截面的面积是π．【考点】MI：直线与平面所成的角；ND：球的性质．菁优网版权所有【专题】11：计算题．【分析】充分利用球的半径OA、球心与截面圆心的连线、OA在截面圆上的射影构成的直角三角形解决即可．【解答】解：设截面的圆心为Q，由题意得：∠OAQ=60°，QA=1，∴S=π•12=π．答案：π．【点评】本题主要考查了球的性质、直线与平面所成的角，还考查了空间想象力．7．（5分）抛掷一枚均匀的骰子（刻有1，2，3，4，5，6）三次，得到的数字依次记作a，b，c，则a+bi（i为虚数单位）是方程x2﹣2x+c=0的根的概率是．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有【专题】11：计算题；37：集合思想；4R：转化法；5I：概率与统计．【分析】基本事件总数n=6×6×6=216，由a+bi（i为虚数单位）是方程x2﹣2x+c=0的根，得a=1，c=b2+1，由此能求出a+bi（i为虚数单位）是方程x2﹣2x+c=0的根的概率．【解答】解：抛掷一枚均匀的骰子（刻有1，2，3，4，5，6）三次，得到的数字依次记作a，b，c，基本事件总数n=6×6×6=216，∵a+bi（i为虚数单位）是方程x2﹣2x+c=0的根，∴（a+bi）2﹣2（a+bi）+c=0，即，∴a=1，c=b2+1，∴a+bi（i为虚数单位）是方程x2﹣2x+c=0的根包含的基本事件为：（1，1，2），（1，2，5），∴a+bi（i为虚数单位）是方程x2﹣2x+c=0的根的概率是p=．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．8．（5分）设常数a＞0，（x+）9展开式中x6的系数为4，则（a+a2+…+an）=．【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5P：二项式定理．【分析】由=，根据x6的系数为4，求出r=2，从而=4，解得a=，由此能求出（a+a2+…+an）的值．【解答】解：∵常数a＞0，（x+）9展开式中x6的系数为4，∴=，当时，r=2，∴=4，解得a=，∴a+a2+…+an===（1﹣），∴（a+a2+…+an）==．故答案为：．【点评】本题考查数列的前n项和极限的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二项式定理、极限性质的合理运用．9．（5分）已知直线l经过点且方向向量为（2，﹣1），则原点O到直线l的距离为1．【考点】IT：点到直线的距离公式．菁优网版权所有【专题】11：计算题．【分析】通过方向向量求出直线的斜率，利用点斜式写出直线方程，通过点到直线的距离求解即可．【解答】解：直线的方向向量为（2，﹣1），所以直线的斜率为：﹣，直线方程为：x+2y+=0，由点到直线的距离可知：=1；故答案为：1．【点评】本题是基础题，考查直线的方程的求法，得到直线的距离的求法，考查计算能力．10．（5分）若双曲线的一条渐近线为x+2y=0，且双曲线与抛物线y=x2的准线仅有一个公共点，则此双曲线的标准方程为．【考点】K8：抛物线的性质；KM：直线与双曲线的综合；KN：直线与抛物线的综合．菁优网版权所有【专题】11：计算题；33：函数思想；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出抛物线的准线方程，得到双曲线的实半轴的长，利用双曲线的渐近线方程，求解即可．【解答】解：抛物线y=x2的准线：y=﹣，双曲线与抛物线y=x2的准线仅有一个公共点，可得双曲线实半轴长为a=，焦点在y轴上．双曲线的一条渐近线为x+2y=0，∴=，可得b=，则此双曲线的标准方程为：．故答案为：．【点评】本题考查抛物线以及双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查转化思想以及计算能力．11．（5分）平面直角坐标系中，给出点A（1，0），B（4，0），若直线x+my﹣1=0存在点P，使得|PA|=2|PB|，则实数m的取值范围是m≥或m≤﹣．【考点】IR：两点间的距离公式．菁优网版权所有【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；5B：直线与圆．【分析】根据题意，设出点P（1﹣my，y），代入|PA|=2|PB|，化简得（4﹣m2）y2﹣8