上海市浦东新区2019年高三第一学期期末一模学科质量检测数学试题及答案word解析版

2019年上海市浦东新区高考数学一模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.1．（4分）已知全集U＝R，集合A＝（﹣∞，1]∪[2，+∞），则∁UA．2．（4分）抛物线y2＝4x的焦点坐标是．3．（4分）不等式＞0的解为．4．（4分）已知复数z满足（1+i）•z＝4i（i为虚数单位），则z的模为．5．（4分）若函数y＝f（x）的图象恒过点（0，1），则函数y＝f﹣1（x）+3的图象一定经过定点．6．（4分）已知数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn．若S9＝36，则a3+a4+a8＝．7．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边是a，b，c．若，b＝c，则A＝．8．（5分）已知圆锥的体积为，母线与底面所成角为，则该圆锥的表面积为．9．（5分）已知二项式的展开式中，前三项的二项式系数之和为37，则展开式中的第五项为．10．（5分）已知函数f（x）＝2x|x+a|﹣1有三个不同的零点，则实数a的取值范围为．11．（5分）已知数列{an}满足：nan+2＝1007（n﹣1）an+1+2018（n+1）an（n∈N*），且a1＝1，a2＝2，若，则A＝．12．（5分）已知函数，若对任意的x1∈[2，+∞），都存在唯一的x2∈（﹣∞，2），满足f（x1）＝f（x2），则实数a的取值范围为．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得5分，否则一律得零分.13．（5分）“”是“一元二次方程x2﹣x+a＝0有实数解”的（）A．充分非必要条件B．充分必要条件C．必要非充分条件D．非充分非必要条件14．（5分）下列命题正确的是（）A．如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行B．如果一条直线垂直于一个平面内的两条直线，那么这条直线垂直于这个平面C．如果一条直线平行于一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面D．如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行15．（5分）将4位志愿者分配到进博会的3个不同场馆服务，每个场馆至少1人，不同的分配方案有（）种．A．72B．36C．64D．8116．（5分）已知点A（1，﹣2），B（2，0），P为曲线上任意一点，则的取值范围为（）A．[1，7]B．[﹣1，7]C．D．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须写出必要的步骤．17．（14分）已知直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB＝AC＝AA1＝1，∠BAC＝90°．（1）求异面直线A1B与B1C1所成角；（2）求点B1到平面A1BC的距离．18．（14分）已知函数．（1）若角α的终边与单位圆交于点，求f（α）的值；（2）当时，求f（x）的单调递增区间和值域．19．（14分）某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”，规则如下：①3小时以内（含3小时）为健康时间，玩家在这段时间内获得的累积经验值E（单位：exp）与游玩时间t（小时）满足关系式：E＝t2+20t+16a；②3到5小时（含5小时）为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为0（即累积经验值不变）；③超过5小时为不健康时间，累积经验值开始损失，损失的经验值与不健康时间成正比例关系，比例系数为50．（1）当a＝1时，写出累积经验值E与游玩时间t的函数关系式E＝f（t），并求出游玩6小时的累积经验值；（2）该游戏厂商把累积经验值E与游玩时间t的比值称为“玩家愉悦指数”，记作H（t）；若a＞0，且该游戏厂商希望在健康时间内，这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于24，求实数a的取值范围．20．（16分）已知双曲线Γ：的左、右焦点分别是F1、F2，左、右两顶点分别是A1、A2，弦AB和CD所在直线分别平行于x轴与y轴，线段BA的延长线与线段CD相交于点P（如图）．（1）若是Γ的一条渐近线的一个方向向量，试求Γ的两渐近线的夹角θ；（2）若|PA|＝1，|PB|＝5，|PC|＝2，|PD|＝4，试求双曲线Γ的方程；（3）在（1）的条件下，且|A1A2|＝4，点C与双曲线的顶点不重合，直线CA1和直线CA2与直线l：x＝1分别相交于点M和N，试问：以线段MN为直径的圆是否恒经过定点？若是，请求出定点的坐标；若不是，试说明理由．21．（18分）已知平面直角坐标系xOy，在x轴的正半轴上，依次取点A1，A2，A3，…An（n∈N*），并在第一象限内的抛物线上依次取点B1，B2，B3，…，Bn（n∈N*），使得△Ak﹣1BkAk（k∈N*）都为等边三角形，其中A0为坐标原点，设第n个三角形的边长为f（n）．（1）求f（1），f（2），并猜想f（n）（不要求证明）；（2）令an＝9f（n）﹣8，记tm为数列{an}中落在区间（9m，92m）内的项的个数，设数列{tm}的前m项和为Sm，试问是否存在实数λ，使得2λ≤Sm对任意m∈N*恒成立？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，说明理由；（3）已知数列{bn}满足：，数列{cn}满足：，求证：．2019年上海市浦东新区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.1．（4分）已知全集U＝R，集合A＝（﹣∞，1]∪[2，+∞），则∁UA（1，2）．【考点】1F：补集及其运算．【专题】11：计算题；37：集合思想；49：综合法；5J：集合．【分析】进行补集的运算即可．【解答】解：∁UA＝（1，2）．故答案为：（1，2）．【点评】考查区间表示集合的概念，以及补集的运算．2．（4分）抛物线y2＝4x的焦点坐标是（1，0）．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据题意，由抛物线的标准方程分析可得抛物线的点在x轴正半轴上，且p＝2，由抛物线的焦点坐标公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，抛物线y2＝4x的开口向右，其焦点在x轴正半轴上，且p＝2，则抛物线的焦点坐标为（1，0），故答案为：（1，0）．【点评】本题考查抛物线的几何性质，注意分析抛物线的开口方向．3．（4分）不等式＞0的解为（4，+∞）．【考点】7E：其他不等式的解法；OM：二阶行列式的定义．【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；59：不等式的解法及应用．【分析】根据题意，由行列式的计算公式可得＝log2x﹣2，原不等式变形可得log2x﹣2＞0，解可得x的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，＝log2x﹣2，若＞0，即log2x﹣2＞0，解可得x＞4，即不等式的解集为（4，+∞）；故答案为：（4，+∞）．【点评】本题考查对数不等式的解法，涉及行列式的计算，属于基础题．4．（4分）已知复数z满足（1+i）•z＝4i（i为虚数单位），则z的模为2．【考点】A5：复数的运算；A8：复数的模．【专题】34：方程思想；4R：转化法；5N：数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则及其性质即可得出．【解答】解：复数z满足（1+i）•z＝4i（i为虚数单位），∴（1﹣i）（1+i）•z＝4i（1﹣i），则z＝2i+2．则|z|＝＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了复数的运算法则及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5．（4分）若函数y＝f（x）的图象恒过点（0，1），则函数y＝f﹣1（x）+3的图象一定经过定点（1，3）．【考点】4R：反函数．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．【分析】因为f（x）的图象恒过（0，1），所以y＝f﹣1（x）过（1，0），在上移3个单位得（1，3）【解答】解：因为f（x）的图象恒过（0，1），所以y＝f﹣1（x）过（1，0），所以y＝f﹣1（x）+3的图象一定经过定点（1，3）故答案为：（1，3）【点评】本题考查了反函数，属基础题．6．（4分）已知数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn．若S9＝36，则a3+a4+a8＝12．【考点】83：等差数列的性质；85：等差数列的前n项和．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；54：等差数列与等比数列．【分析】由（a1+a9）＝9a5＝36，得a5＝4，再由a3+a4+a8＝3a1+12d＝3a5，能求出结果．【解答】解：∵数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn．S9＝36，∴（a1+a9）＝9a5＝36，解得a5＝4，∴a3+a4+a8＝3a1+12d＝3a5＝12．故答案为：12．【点评】本题考查等差数列的三项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边是a，b，c．若，b＝c，则A＝．【考点】HR：余弦定理．【专题】35：转化思想；49：综合法；58：解三角形．【分析】在△ABC中，运用余弦定理：cosA＝，代入计算即可得到．【解答】解：∵cosA＝＝＝﹣，又∵A∈（0，π），∴A＝．故答案为：．【点评】本题考查余弦定理及运用，考查运算能力，属于基础题．8．（5分）已知圆锥的体积为，母线与底面所成角为，则该圆锥的表面积为3π．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．【分析】设圆锥底面半径AO＝OB＝r，则母线长l＝SA＝2r，高SO＝r，则V＝＝，求出r＝1，l＝SA＝2，该圆锥的表面积为S＝πrl+πr2，由此能求出结果．【解答】解：∵圆锥的体积为，母线与底面所成角为，∴如图，设圆锥底面半径AO＝OB＝r，则母线长l＝SA＝2r，高SO＝r，∴V＝＝，解得r＝1，∴l＝SA＝2，SO＝，∴该圆锥的表面积为S＝πrl+πr2＝2π+π＝3π．故答案为：3π．【点评】本题考查圆锥的表面积的求法，考查圆锥的性质、体积、表面积等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9．（5分）已知二项式的展开式中，前三项的二项式系数之和为37，则展开式中的第五项为x．【考点】DA：二项式定理．【专题】35：转化思想；49：综合法；5P：二项式定理．【分析】由题意利用二项式系数的性质求得n的值，再利用二项展开式的通项公式，求得展开式中的第五项．【解答】解：已知二项式的展开式中，前三项的二项式系数之和为++＝1+n+＝37，则n＝8，故展开式中的第五项为••x＝x，故答案为：x．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．10．（5分）已知函数f（x）＝2x|x+a|﹣1有三个不同的零点，则实数a的取值范围为（﹣∞，﹣）．【考点】52：函数零点的判定定理．【专题】33：函数思想；48：分析法；51：函数的性质及应用．【分析】由f（x）＝0，可得x＞0，可得a＝﹣x+或a＝﹣x﹣，由函数的单调性和基本不等式，即可得到所求范围．【解答】解：由f（x）＝0可得2x|x+a|﹣1＝0，即|x+a|＝有三个正根，可得a＝﹣x+或a＝﹣x﹣，由x＞0，y＝﹣x+递减，可得方程a＝﹣x+有一解；由y＝﹣x﹣≤﹣2＝﹣，（x＝时取得等号），可得a＜﹣时，a＝﹣x﹣有两个正根，综上可得a的范围是（﹣∞，﹣）．故答案为：（﹣∞，﹣）．【点评】本题考查函数的零点问题解法，注意运用分离参数法和函数的单调性、基本不等式，考查运算能力，属于中档题．11．（5分）已知数列{an}满足：nan+2＝1007（n﹣1）an+1+2018（n+1）an（n∈N*），且a1＝1，a2＝2，若，则A＝1009．【考点】8H：数列递推式．【专题】34：方程思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列．【分析】nan+2＝1007（n﹣1）an+1+2018（n+1）an，a1＝1，a2＝2，可得an＞0，n＞1时，＝1007+，根据已知，对于上式两边取极限可得：A＝1007+，即可解出．【解答】解：nan+2＝1007（n﹣1）an+1+