上海市金山区2017年高三第一学期期末一模学科质量检测数学试题及答案word解析版

2017年上海市金山区高考数学一模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）若集合M={x|x2﹣2x＜0}，N={x||x|＞1}，则M∩N=．2．（4分）若复数z满足2z+=3﹣2i，其中i为虚数单位，则z=．3．（4分）若sinα=﹣，且α为第四象限角，则tanα的值等于．4．（4分）函数的最小正周期T=．5．（4分）函数f（x）=2x+m的反函数为y=f﹣1（x），且y=f﹣1（x）的图象过点Q（5，2），那么m=．6．（4分）点（1，0）到双曲线的渐近线的距离是．7．（5分）若x，y满足，则2x+y的最大值为．8．（5分）从5名学生中任选3人分别担任语文、数学、英语课代表，其中学生甲不能担任数学课代表，共有种不同的选法（结果用数值表示）．9．（5分）方程x2+y2﹣4tx﹣2ty+3t2﹣4=0（t为参数）所表示的圆的圆心轨迹方程是（结果化为普通方程）10．（5分）若an是（2+x）n（n∈N*，n≥2，x∈R）展开式中x2项的二项式系数，则=．11．（5分）设数列{an}是集合{x|x=3s+3t，s＜t且s，t∈N}中所有的数从小到大排列成的数列，即a1=4，a2=10，a3=12，a4=28，a5=30，a6=36，…，将数列{an}中各项按照上小下大，左小右大的原则排成如图的等腰直角三角形数表，则a15的值为．12．（5分）曲线C是平面内到直线l1：x=﹣1和直线l2：y=1的距离之积等于常数k2（k＞0）的点的轨迹，下列四个结论：①曲线C过点（﹣1，1）；②曲线C关于点（﹣1，1）成中心对称；③若点P在曲线C上，点A、B分别在直线l1、l2上，则|PA|+|PB|不小于2k；④设P0为曲线C上任意一点，则点P0关于直线l1：x=﹣1，点（﹣1，1）及直线f（x）对称的点分别为P1、P2、P3，则四边形P0P1P2P3的面积为定值4k2；其中，所有正确结论的序号是．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）给定空间中的直线l与平面α，则“直线l与平面α垂直”是“直线l垂直于平面α上无数条直线”的（）条件．A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既不充分也不必要14．（5分）已知x、y∈R，且x＞y＞0，则（）A．B．C．log2x+log2y＞0D．sinx﹣siny＞015．（5分）某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（）A．8﹣B．8﹣C．8﹣2πD．16．（5分）已知函数f（x）=（a＞0，且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程|f（x）|=2﹣x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（）A．（0，]B．[，]C．[，]∪{}D．[，）∪{}三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PB、PD与平面ABCD所成的角依次是和，AP=2，E、F依次是PB、PC的中点；（1）求异面直线EC与PD所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）（2）求三棱锥P﹣AFD的体积．18．（14分）已知△ABC中，AC=1，，设∠BAC=x，记；（1）求函数f（x）的解析式及定义域；（2）试写出函数f（x）的单调递增区间，并求方程的解．19．（14分）已知椭圆C以原点为中心，左焦点F的坐标是（﹣1，0），长轴长是短轴长的倍，直线l与椭圆C交于点A与B，且A、B都在x轴上方，满足∠OFA+∠OFB=180°；（1）求椭圆C的标准方程；（2）对于动直线l，是否存在一个定点，无论∠OFA如何变化，直线l总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由．20．（16分）已知函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a＞0）在区间[2，3]上的最大值为4，最小值为1，记f（x）=g（|x|），x∈R；（1）求实数a、b的值；（2）若不等式对任意x∈R恒成立，求实数k的范围；（3）对于定义在[p，q]上的函数m（x），设x0=p，xn=q，用任意xi（i=1，2，…，n﹣1）将[p，q]划分成n个小区间，其中xi﹣1＜xi＜xi+1，若存在一个常数M＞0，使得不等式|m（x0）﹣m（x1）|+|m（x1）﹣m（x2）|+…+|m（xn﹣1）﹣m（xn）|≤M恒成立，则称函数m（x）为在[p，q]上的有界变差函数，试证明函数f（x）是在[1，3]上的有界变差函数，并求出M的最小值．21．（18分）数列{bn}的前n项和为Sn，且对任意正整数n，都有；（1）试证明数列{bn}是等差数列，并求其通项公式；（2）如果等比数列{an}共有2017项，其首项与公比均为2，在数列{an}的每相邻两项ai与ai+1之间插入i个（﹣1）ibi（i∈N*）后，得到一个新数列{cn}，求数列{cn}中所有项的和；（3）如果存在n∈N*，使不等式成立，若存在，求实数λ的范围，若不存在，请说明理由．2017年上海市金山区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）若集合M={x|x2﹣2x＜0}，N={x||x|＞1}，则M∩N=（1，2）．【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】解x2﹣2x＜0可得集合M={x|0＜x＜2}，解|x|＞1可得集合N，由交集的定义，分析可得答案．【解答】解：x2﹣2x＜0⇔0＜x＜2，则集合M={x|0＜x＜2}=（0，2）|x|＞1⇔x＜﹣1或x＞1，则集合N=（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），则M∩N=（1，2），故答案为：（1，2）【点评】本题考查集合交集的计算，关键是求出集合集合M、N，注意答案写成集合或区间的形式．2．（4分）若复数z满足2z+=3﹣2i，其中i为虚数单位，则z=1﹣2i．【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有【专题】11：计算题；36：整体思想；4O：定义法；5N：数系的扩充和复数．【分析】设复数z=a+bi，（a、b是实数），则=a﹣bi，代入已知等式，再根据复数相等的含义可得a、b的值，从而得到复数z的值．【解答】解：设z=a+bi，（a、b是实数），则=a﹣bi，∵2z+=3﹣2i，∴2a+2bi+a﹣bi=3﹣2i，∴3a=3，b=﹣2，解得a=1，b=﹣2，则z=1﹣2i故答案为：1﹣2i．【点评】本题给出一个复数乘以虚数单位后得到的复数，求这个复数的值，着重考查了复数的四则运算和复数相等的含义，属于基础题．3．（4分）若sinα=﹣，且α为第四象限角，则tanα的值等于．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系．菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；56：三角函数的求值．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα，进而可求tanα的值．【解答】解：∵sinα=﹣，且α为第四象限角，∴cosα===，∴tanα===．故答案为：．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，属于基础题．4．（4分）函数的最小正周期T=π．【考点】GP：两角和与差的三角函数；H1：三角函数的周期性；ON：二阶行列式与逆矩阵．菁优网版权所有【专题】57：三角函数的图像与性质．【分析】利用行列式的计算方法化简f（x）解析式，再利用二倍角的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，找出ω的值，即可求出最小正周期．【解答】解：f（x）=cos2x﹣sin2x=cos2x，∵ω=2，∴T=π．故答案为：π【点评】此题考查了二倍角的余弦函数公式，三角函数的周期性及其求法，以及二阶行列式与逆矩阵，化简函数解析式是解本题的关键．5．（4分）函数f（x）=2x+m的反函数为y=f﹣1（x），且y=f﹣1（x）的图象过点Q（5，2），那么m=1．【考点】4R：反函数．菁优网版权所有【专题】4O：定义法；51：函数的性质及应用．【分析】根据反函数的性质可知：原函数与反函数的图象关于y=x对称，利用对称关系可得答案．【解答】解：f（x）=2x+m的反函数y=f﹣1（x），∵函数y=f﹣1（x）的图象经过Q（5，2），原函数与反函数的图象关于y=x对称，∴f（x）=2x+m的图象经过Q′（2，5），即4+m=5，解得：m=1．故答案为：1．【点评】本题考查了原函数与反函数的图象的关系，它们的图象关于y=x对称，即坐标也对称．属于基础题．6．（4分）点（1，0）到双曲线的渐近线的距离是．【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式求解即可．【解答】解：双曲线的一条渐近线方程为：x+2y=0，点（1，0）到双曲线的渐近线的距离是：=．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，点到直线的距离公式的应用，是基础题．7．（5分）若x，y满足，则2x+y的最大值为4．【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；5T：不等式．【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．设z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（1，2），代入目标函数z=2x+y得z=1×2+2=4．即目标函数z=2x+y的最大值为4．故答案为：4．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．8．（5分）从5名学生中任选3人分别担任语文、数学、英语课代表，其中学生甲不能担任数学课代表，共有48种不同的选法（结果用数值表示）．【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有【专题】12：应用题；34：方程思想；4G：演绎法；5O：排列组合．【分析】根据分步计数原理，先安排数学课代表，再安排语文、英语课代表．【解答】解：先从除了甲之外的4人选1人为数学课代表，再从包含甲在内的4人中选2人为语文、英语课代表，根据分步计数原理可得，共有A41A42=48种，故学生甲不能担任数学课代表，共有48种不同的选法．故答案为48．【点评】本题考查了分步计数原理，关键是分步，属于基础题．9．（5分）方程x2+y2﹣4tx﹣2ty+3t2﹣4=0（t为参数）所表示的圆的圆心轨迹方程是x﹣2y=0（结果化为普通方程）【考点】J3：轨迹方程．菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；5B：直线与圆．【分析】把圆化为标准方程后得到：圆心坐标，令x=2t，y=t，消去t即可得到y与x的解析式．【解答】解：把圆的方程化为标准方程得（x﹣2t）2+（y﹣t）2=2t2+4，圆心（2t，t）则圆心坐标为，所以消去t可得x=2y，即x﹣2y=0．故答案为：x﹣2y=0【点评】此题考查学生会将圆的方程变为标准方程，会把直线的参数方程化为一般方程．10．（5分）若an是（2+x）n（n∈N*，n≥2，x∈R）展开式中x2项的二项式系数，则=2．【考点】8J：数列的极限；DA：二项式定理．菁优网版权所有【专题】11：计算题；33：函数思想；35：转化思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列；5P：二项式定理．【分析】（2+x）n（其中n=2，3，4，…）的展开式，Tr+1，令r=2，可得an，再利用求和公式化简，利用数列的极限即可得出．【解答】解：（2+x）n（其中n=2，3，4，…）的展开式，Tr+1=，令r=2，可得：T3=2n﹣2x2．∴an是二项式（2+x）n（其中n=2，3，4，…）的展开式中x的二项式系数，∴an==．则=2==2．故答案为：2．【点评】本题考查二项式定理的应用，数列求和，数列的极限的求法，考查计算能力．11．（5分）设数列{an}是集合{x|x=3s+3t，s