上海市青浦区2018年高三第一学期期末一模学科质量检测数学试题及答案word解析版

2018年上海市青浦区高考数学一模试卷一.填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分.1．（4分）设全集U=Z，集合M={1，2}，P={﹣2，﹣1，0，1，2}，则P∩∁UM．2．（4分）已知复数（i为虚数单位），则=．3．（4分）不等式2＞（）3（x﹣1）的解集为．4．（4分）函数f（x）=sinxcosx+cos2x的最大值为．5．（4分）在平面直角坐标系xOy中，以直线y=±2x为渐近线，且经过椭圆x2+=1右顶点的双曲线的方程是．6．（4分）将圆锥的侧面展开后得到一个半径为2的半圆，则此圆锥的体积为．7．（5分）设等差数列{an}的公差d不为0，a1=9d．若ak是a1与a2k的等比中项，则k=．8．（5分）已知（1+2x）6展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，则=．9．（5分）同时掷两枚质地均匀的骰子，则两个点数之积不小于4的概率为．10．（5分）已知函数f（x）=有三个不同的零点，则实数a的取值范围是．11．（5分）已知Sn为数列{an}的前n项和，a1=a2=1，平面内三个不共线的向量，，，满足=（an﹣1+an+1）+（1﹣an），n≥2，n∈N*，若A，B，C在同一直线上，则S2018=．12．（5分）已知函数f（x）=m（x﹣m）（x+m+2）和g（x）=3x﹣3同时满足以下两个条件：①对任意实数x都有f（x）＜0或g（x）＜0；②总存在x0∈（﹣∞，﹣2），使f（x0）g（x0）＜0成立．则m的取值范围是．二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13．（5分）“a＞b”是“（）2＞ab”成立的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件14．（5分）已知函数f（x）=2sin（x+），若对任意实数x，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2），则|x2﹣x1|的最小值是（）A．πB．2πC．2D．415．（5分）已知和是互相垂直的单位向量，向量满足：，，n∈N*，设θn为和的夹角，则（）A．θn随着n的增大而增大B．θn随着n的增大而减小C．随着n的增大，θn先增大后减小D．随着n的增大，θn先减小后增大16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知两圆C1：x2+y2=12和C2：x2+y2=14，又点A坐标为（3，﹣1），M、N是C1上的动点，Q为C2上的动点，则四边形AMQN能构成矩形的个数为（）A．0个B．2个C．4个D．无数个三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2AB=2，E是PB的中点．（1）求三棱锥P﹣ABC的体积；（2）求异面直线EC和AD所成的角（结果用反三角函数值表示）．18．（14分）已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）．过点（0，）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点．（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（2）求证：A为线段BM的中点．19．（14分）如图，某大型厂区有三个值班室A、B、C．值班室A在值班室B的正北方向2千米处，值班室C在值班室B的正东方向2千米处．（1）保安甲沿CA从值班室出发行至点P处，此时PC=1，求PB的距离；（2）保安甲沿CA从值班室C出发前往值班室A，保安乙沿AB从值班室A出发前往值班室B，甲乙同时出发，甲的速度为1千米/小时，乙的速度为2千米/小时，若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在厂区内的最大通话距离为3千米（含3千米），试问有多长时间两人不能通话？20．（16分）设集合A，B均为实数集R的子集，记A+B={a+b|a∈A，b∈B}．（1）已知A={0，1，2}，B={﹣1，3}，试用列举法表示A+B；（2）设a1=，当n∈N*且n≥2时，曲线+=的焦距为an，如果A={a1，a2，…，an}，B={﹣，﹣，﹣}，设A+B中的所有元素之和为Sn，求Sn的值；（3）在（2）的条件下，对于满足m+n=3k，且m≠n的任意正整数m，n，k，不等式Sm+Sn﹣λSk＞0恒成立，求实数λ的最大值．21．（18分）对于定义在[0，+∞）上的函数f（x），若函数y=f（x）﹣（ax+b）满足：①在区间[0，+∞）上单调递减，②存在常数p，使其值域为（0，p]，则称函数g（x）=ax+b是函数f（x）的“逼进函数”．（1）判断函数g（x）=2x+5是不是函数f（x）=，x∈[0，+∞）的“逼进函数”；（2）求证：函数g（x）=x不是函数f（x）=（）x，x∈[0，+∞）的“逼进函数”（3）若g（x）=ax是函数f（x）=x+，x∈[0，+∞）的“逼进函数”，求a的值．2018年上海市青浦区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分.1．（4分）设全集U=Z，集合M={1，2}，P={﹣2，﹣1，0，1，2}，则P∩∁UM{﹣2，﹣1，0}．【考点】1H：交、并、补集的混合运算．菁优网版权所有【分析】先由补集的含义求出CUM，再由交集的含义求解．【解答】解：∁UM═{x|x∈Z，且x≠1，2}，故P∩∁UM={﹣2，﹣1，0}故答案为：{﹣2，﹣1，0}【点评】本题考查集合的基本运算，属基本题．2．（4分）已知复数（i为虚数单位），则=．【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有【专题】11：计算题．【分析】根据两个复数代数形式的乘除法法则，化简复数z，从而求出，进而求得的值．【解答】解：复数==，∴=，∴=•==，故答案为．【点评】本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．3．（4分）不等式2＞（）3（x﹣1）的解集为（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）．【考点】7J：指、对数不等式的解法．菁优网版权所有【专题】33：函数思想；4R：转化法；59：不等式的解法及应用．【分析】根据指数函数的单调性把不等式化为关于x的一元二次不等式，求出解集即可．【解答】解：不等式2＞（）3（x﹣1）化为2＞23﹣3x，即x2﹣4x﹣3＞3﹣3x，∴x2﹣x﹣6＞0，解得x＜﹣2或x＞3，∴原不等式的解集为（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）．【点评】本题考查了指数函数的不等式应用问题，是基础题．4．（4分）函数f（x）=sinxcosx+cos2x的最大值为．【考点】HW：三角函数的最值．菁优网版权所有【专题】35：转化思想；48：分析法；56：三角函数的求值．【分析】运用二倍角的正弦公式和余弦公式、以及辅助角公式，结合正弦函数的值域，即可得到所求最大值．【解答】解：函数f（x）=sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x+=sin（2x+）+，当2x+=2kπ+，k∈Z，即x=kπ+，k∈Z，函数取得最大值1+=，故答案为：．【点评】本题考查二倍角公式和辅助角公式的运用，以及正弦函数的值域，考查运算能力，属于基础题．5．（4分）在平面直角坐标系xOy中，以直线y=±2x为渐近线，且经过椭圆x2+=1右顶点的双曲线的方程是x2﹣=1．【考点】K4：椭圆的性质；KC：双曲线的性质．菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设以直线y=±2x为渐近线的双曲线的方程为x2﹣=λ（λ≠0），再由双曲线经过抛物线y2=4x焦点F（1，0），能求出双曲线方程．【解答】解：设以直线y=±2x为渐近线的双曲线的方程为x2﹣=λ（λ≠0），∵双曲线椭圆x2+=1右顶点（1，0），∴1=λ，∴双曲线方程为：x2﹣=1．故答案为：x2﹣=1．【点评】本题考查双曲线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线简单性质的合理运用．6．（4分）将圆锥的侧面展开后得到一个半径为2的半圆，则此圆锥的体积为．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；44：数形结合法；5F：空间位置关系与距离．【分析】根据圆锥的侧面展开图的弧长为圆锥底面周长得出圆锥底面半径，从而得出圆锥的高，代入体积公式计算即可．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则2πr=2π，∴r=1．∴圆锥的高h=．∴圆锥的体积V==．故答案为：．【点评】本题考查了圆锥的结构特征，侧面展开图，属于基础题．7．（5分）设等差数列{an}的公差d不为0，a1=9d．若ak是a1与a2k的等比中项，则k=4．【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列．【分析】由ak是a1与a2k的等比中项，知ak2=a1a2k，由此可知k2﹣2k﹣8=0，从而得到k．【解答】解：因为ak是a1与a2k的等比中项，则ak2=a1a2k，[9d+（k﹣1）d]2=9d•[9d+（2k﹣1）d]，又d≠0，则k2﹣2k﹣8=0，k=4或k=﹣2（舍去）．故答案为：4．【点评】本题考查等差数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．8．（5分）已知（1+2x）6展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，则=12．【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有【专题】35：转化思想；4O：定义法；5P：二项式定理．【分析】根据二项式系数的性质求得a，利用展开式的通项公式求得系数的最大值b，再求的值．【解答】解：由题意可得a==20，再根据，解得，即≤r≤，∴r=4，此时b=×24=240；∴==12．故答案为：12．【点评】本题主要考查了二项式系数的性质以及通项公式的应用问题，属于中档题．9．（5分）同时掷两枚质地均匀的骰子，则两个点数之积不小于4的概率为．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5I：概率与统计．【分析】基本事件总数n=6×6=36，利用列举法求出两个点数之积小于4包含的基本事件（a，b）有5个，由此能求出两个点数之积不小于4的概率．【解答】解：同时掷两枚质地均匀的骰子，基本事件总数n=6×6=36，两个点数之积小于4包含的基本事件（a，b）有：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（3，1），共5个，∴两个点数之积不小于4的概率为p=1﹣=．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．10．（5分）已知函数f（x）=有三个不同的零点，则实数a的取值范围是[1，+∞）．【考点】53：函数的零点与方程根的关系．菁优网版权所有【专题】11：计算题；31：数形结合；34：方程思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．【分析】由题意可得需使对数函数部分与x轴有一个交点，抛物线部分与x轴有两个交点，由函数图象的平移和二次函数的顶点可得关于a的不等式，解之可得答案．【解答】解：由题意可知：函数图象的左半部分为单调递增对数函数的部分，函数图象的右半部分为开口向上的抛物线，对称轴为x=，最多两个零点，如上图，要满足题意，必须指数函数的部分向下平移到与x轴相交，由对数函数过点（1，0），故需左移至少1个单位，故a≥1，还需保证抛物线与x轴由两个交点，故最低点＜0，解得a＜0或a＞，综合可得：a≥1，故答案为：[1，+∞）．【点评】本题考查根的存在性及根的个数的判断，数形结合是解决问题的关键，属中档题．11．（5分）已知Sn为数列{an}的前n项和，a1=a2=1，平面内三个不共线的向