上海市黄浦区2017年高三第一学期期末一模学科质量检测数学试题及答案word解析版

2017年上海市黄浦区高考数学一模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1～6题每题满分54分，第7～12题每题满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.[1．（4分）若集合A={x||x﹣1|＜2，x∈R}，则A∩Z=．2．（4分）抛物线y2=2x的准线方程是．3．（4分）若复数z满足（i为虚数单位），则z=．4．（4分）已知sin（α+）=，α∈（﹣，0），则tanα=．5．（4分）以点（2，﹣1）为圆心，且与直线x+y=7相切的圆的方程是．6．（4分）若二项式的展开式共有6项，则此展开式中含x4的项的系数是．7．（5分）已知向量（x，y∈R），，若x2+y2=1，则的最大值为．8．（5分）已知函数y=f（x）是奇函数，且当x≥0时，f（x）=log2（x+1）．若函数y=g（x）是y=f（x）的反函数，则g（﹣3）=．9．（5分）在数列{an}中，若对一切n∈N*都有an=﹣3an+1，且=，则a1的值为．10．（5分）甲、乙两人从6门课程中各选修3门．则甲、乙所选的课程中至多有1门相同的选法共有．11．（5分）已知点O，A，B，F分别为椭圆的中心、左顶点、上顶点、右焦点，过点F作OB的平行线，它与椭圆C在第一象限部分交于点P，若，则实数λ的值为．12．（5分）已知（a为常数），，且当x1，x2∈[1，4]时，总有f（x1）≤g（x2），则实数a的取值范围是．二、选择题（本大题共有4题，满分20分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13．（5分）若x∈R，则“x＞1”是“”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件14．（5分）关于直线l，m及平面α，β，下列命题中正确的是（）A．若l∥α，α∩β=m，则l∥mB．若l∥α，m∥α，则l∥mC．若l⊥α，m∥α，则l⊥mD．若l∥α，m⊥l，则m⊥α15．（5分）在直角坐标平面内，点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（1，0），则满足tan∠PAB•tan∠PBA=m（m为非零常数）的点P的轨迹方程是（）A．B．C．D．16．（5分）若函数y=f（x）在区间I上是增函数，且函数在区间I上是减函数，则称函数f（x）是区间I上的“H函数”．对于命题：①函数是（0，1）上的“H函数”；②函数是（0，1）上的“H函数”．下列判断正确的是（）A．①和②均为真命题B．①为真命题，②为假命题C．①为假命题，②为真命题D．①和②均为假命题三、解答题（本大题共有5题，满分76分．）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（14分）在三棱锥P﹣ABC中，底面ABC是边长为6的正三角形，PA⊥底面ABC，且PB与底面ABC所成的角为．（1）求三棱锥P﹣ABC的体积；（2）若M是BC的中点，求异面直线PM与AB所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．18．（14分）已知双曲线C以F1（﹣2，0）、F2（2，0）为焦点，且过点P（7，12）．（1）求双曲线C与其渐近线的方程；（2）若斜率为1的直线l与双曲线C相交于A，B两点，且（O为坐标原点）．求直线l的方程．19．（14分）现有半径为R、圆心角（∠AOB）为90°的扇形材料，要裁剪出一个五边形工件OECDF，如图所示．其中E，F分别在OA，OB上，C，D在上，且OE=OF，EC=FD，∠ECD=∠CDF=90°．记∠COD=2θ，五边形OECDF的面积为S．（1）试求S关于θ的函数关系式；（2）求S的最大值．20．（16分）已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：在定义域内存在实数t，使得f（t+2）=f（t）+f（2）．（1）判断f（x）=3x+2是否属于集合M，并说明理由；（2）若属于集合M，求实数a的取值范围；（3）若f（x）=2x+bx2，求证：对任意实数b，都有f（x）∈M．21．（18分）已知数列{an}，{bn}满足bn=an+1﹣an（n=1，2，3，…）．（1）若bn=10﹣n，求a16﹣a5的值；（2）若且a1=1，则数列{a2n+1}中第几项最小？请说明理由；（3）若cn=an+2an+1（n=1，2，3，…），求证：“数列{an}为等差数列”的充分必要条件是“数列{cn}为等差数列且bn≤bn+1（n=1，2，3，…）”．2017年上海市黄浦区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1～6题每题满分54分，第7～12题每题满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.[1．（4分）若集合A={x||x﹣1|＜2，x∈R}，则A∩Z={0，1，2}．【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有【专题】37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】化简集合A，根据交集的定义写出A∩Z即可．【解答】解：集合A={x||x﹣1|＜2，x∈R}={x|﹣2＜x﹣1＜2，x∈R}={x|﹣1＜x＜3，x∈R}，则A∩Z={0，1，2}．故答案为{0，1，2}．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．2．（4分）抛物线y2=2x的准线方程是．【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有【专题】11：计算题．【分析】先根据抛物线方程求得p，进而根据抛物线的性质，求得答案．【解答】解：抛物线y2=2x，∴p=1，∴准线方程是x=﹣故答案为：x=﹣．【点评】本题主要考查了抛物线的性质．属基础题．3．（4分）若复数z满足（i为虚数单位），则z=1+2i．【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；4A：数学模型法；5N：数系的扩充和复数．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由，得z=1+2i．故答案为：1+2i．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．4．（4分）已知sin（α+）=，α∈（﹣，0），则tanα=﹣2．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；GO：运用诱导公式化简求值．菁优网版权所有【专题】11：计算题；56：三角函数的求值．【分析】由α∈（﹣，0）sin（α+）=，利用诱导公式可求得cosα，从而可求得sinα与tanα．【解答】解：∵sin（α+）=cosα，sin（α+）=，∴cosα=，又α∈（﹣，0），∴sinα=﹣，∴tanα==﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查运用诱导公式化简求值，考查同角三角函数间的基本关系，属于中档题．5．（4分）以点（2，﹣1）为圆心，且与直线x+y=7相切的圆的方程是（x﹣2）2+（y+1）2=18．【考点】J7：圆的切线方程．菁优网版权所有【专题】11：计算题；34：方程思想；4G：演绎法；5B：直线与圆．【分析】由点到直线的距离求出半径，从而得到圆的方程．【解答】解：将直线x+y=7化为x+y﹣7=0，圆的半径r==3，所以圆的方程为（x﹣2）2+（y+1）2=18．故答案为（x﹣2）2+（y+1）2=18．【点评】本题考查直线与圆相切的性质，圆的标准方程等知识的综合应用，属于基础题．6．（4分）若二项式的展开式共有6项，则此展开式中含x4的项的系数是10．【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有【专题】35：转化思想；49：综合法；5P：二项式定理．【分析】根据题意求得n=5，再在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于4，求得r的值，可得展开式中含x4的项的系数．【解答】解：∵二项式的展开式共有6项，故n=5，则此展开式的通项公式为Tr+1=•（﹣1）r•x10﹣3r，令10﹣3r=4，∴r=2，中含x4的项的系数=10，故答案为：10．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题．7．（5分）已知向量（x，y∈R），，若x2+y2=1，则的最大值为+1．【考点】91：向量的概念与向量的模．菁优网版权所有【专题】34：方程思想；35：转化思想；5A：平面向量及应用；5B：直线与圆．【分析】利用≤+r即可得出．【解答】解：设O（0，0），P（1，2）．=≤+r=+1=+1．∴的最大值为+1．故答案为：．【点评】本题考查了向量的模的计算公式、点与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8．（5分）已知函数y=f（x）是奇函数，且当x≥0时，f（x）=log2（x+1）．若函数y=g（x）是y=f（x）的反函数，则g（﹣3）=﹣7．【考点】4R：反函数．菁优网版权所有【专题】33：函数思想；4R：转化法．【分析】根据反函数与原函数的关系，可知反函数的定义域是原函数的值域，即可求解．【解答】解：∵反函数与原函数具有相同的奇偶性．∴g（﹣3）=﹣g（3），∵反函数的定义域是原函数的值域，∴log2（x+1）=3，解得：x=7，即g（3）=7，故得g（﹣3）=﹣7．故答案为：﹣7．【点评】本题考查了反函数与原函数的性质关系．属于基础题．9．（5分）在数列{an}中，若对一切n∈N*都有an=﹣3an+1，且=，则a1的值为﹣12．【考点】8J：数列的极限．菁优网版权所有【专题】3A：极限思想；54：等差数列与等比数列．【分析】由题意可得数列{an}为公比为﹣的等比数列，运用数列极限的运算，解方程即可得到所求．【解答】解：在数列{an}中，若对一切n∈N*都有an=﹣3an+1，可得数列{an}为公比为﹣的等比数列，=，可得====，可得a1=﹣12．故答案为：﹣12．【点评】本题考查等比数列的通项和求和公式，以及数列极限的运算，属于中档题．10．（5分）甲、乙两人从6门课程中各选修3门．则甲、乙所选的课程中至多有1门相同的选法共有200．【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有【专题】11：计算题．【分析】根据题意，甲、乙所选的课程中至多有1门相同，其包含两种情况：①甲乙所选的课程全不相同，②甲乙所选的课程有1门相同；分别计算每种情况下的选法数目，相加可得答案．【解答】解：根据题意，分两种情况讨论：①甲乙所选的课程全不相同，有C63×C33=20种情况，②甲乙所选的课程有1门相同，有C61×C52×C32=180种情况，则甲、乙所选的课程中至多有1门相同的选法共有180+20=200种情况；故答案为：200．【点评】本题考查排列组合的运用，涉及分类计数问题，注意“甲、乙所选的课程中至多有1门相同的选法”的理解．11．（5分）已知点O，A，B，F分别为椭圆的中心、左顶点、上顶点、右焦点，过点F作OB的平行线，它与椭圆C在第一象限部分交于点P，若，则实数λ的值为．【考点】KL：直线与椭圆的综合．菁优网版权所有【专题】15：综合题；35：转化思想；41：向量法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意画出图形，求出的坐标，代入，结合隐含条件求得实数λ的值．【解答】解：如图，A（﹣a，0），B（0，b），F（c，0），则P（c，），∴，，由，得，即b=c，∴a2=b2+c2=2b2，．则．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，训练了平面向量在求解圆锥曲线问题中的应用，是中档题．12．（5分）已知（a为常数），，且当x1，x2∈[1，4]时，总有f（x1）≤g（x2），则实数a的取值范围是．【考点】3R：函数恒成立问题．菁优网版权所有【专题】33：函数思想；4C：分类法；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】法1°：依题意可知，当x1，x2∈[1，4]时，f（x1）max≤g（x2）min，利用对勾函数的单调性质可求g（x2）min=g（1）=3；再对f（x）=2ax2+2x中的二次项系数a分a=0、a＞0、a＜0三类讨论，利用函数的单调性质可求得f（x）在区间[1，4]上的最大值，解f（x）max≤3即可求得实数a的取值范围．法2°：求得g（x2）min=g（1）=3，当x1，x2∈[1，4]时，总有f（x1）≤g（x2）⇔当x1∈[1