圆锥曲线的切点弦与应用

圆锥曲线的切点弦探究题引：由点P(1，3)引圆922yx的两条切线，求即切点弦方程．一探：切点弦在圆中剖析1：由题意和图可得，过点P(1，3)引圆922yx的两条切线，其切线的斜率都存在，设过点P(1，3)引圆922yx的两条切线为13xky，利用rd，求出k，进而求出切点坐标，利用直线的点斜式即可．尽管运算较复杂，但却是解析几何中最基础、最重要的方法．解法1：如图75—1所示，设过P(1，3)引圆922yx的两条切线为：13xky03kykx．由题意易得rd3132kk0k，或43k．故设过点P(1，3)引圆922yx的两条切线为：1l：3y，2l：01543yx．设两个切点分别为A、B，则联立3y与922yx)30(，A．01543yx与922yxB（51259，）．故由两点式或点斜式易得两切点A、B所在的直线方程为093yx．剖析2：如图75—1所示，设两个切点分别为A、B，利用逆向思维及抽象思维，由点P(1，3)引圆922yx的两条切线，亦可看作分别过A、B作圆922yx的两条切线相交于P．解法2：设切点A(11yx，)，切点B(22yx，)，则过A，B的圆的切线方程为：3l：0911yyxx，4l：0922yyxx．又3l及4l都过P(1，3)，由此得到09311yx，09322yx．从具体到抽象，则过两个切点的直线方程为093yx．剖析3：因为过P(1，3)引922yx的两条切线切线分别为PA、PB，则有2PAO，2PBO．联想到初中的四点共圆，得到巧解．解法3：如图75—1所示，由图和题意及上面的剖析得到四点P、A、O、B共圆，且圆的直径为OP，以直径的OP为直径的圆的方程为：0322yxyx．那么过A，B的直线就是圆0322yxyx与圆922yx的公共弦，两圆方程相减即得所求，则过两个切点分别为A、B的直线方程为093yx．剖析4：由上述解法3得到启示，切点弦其实就是以P点为圆心，以PA为半径的圆与圆922yx的公共弦．解法4：由题意易得PO=10，在POARt中，PA=1，则以P点为圆心，以PA为半径的圆的方程为1)3()1(22yx，两圆方程相减即得所求，则过两个切点分别为A、B的直线方程为093yx．剖析5：利用初中的切割线性质及其三角形相似性质．解法5：设两个切点分别为A、B，连接AB与PO相交于Q，则有OQkOPk3010331ABk．由于直线OQ的方程为xy3，于是令)3(xxQ，，利用OBP∽OQBOBOQOPOB3)30()0()30()10(32222xx109x)1027109(，Q109311027xy093yx．这正是所要求的切点弦AB的直线方程．剖析6：利用定比分点公式得到一种很少人使用的好方法．解法6：如图75—1所示，连接AB，PO，设AB与PO相交于点C，则由平面几何中的射影定理等知识得到COPCPOCOPOPC22OAPA=91=91．由定比分点公式得到Cx=9111=109，Cy=9113=1027．上述解法5已得31ABk，由直线的点斜式得到109311027xy093yx．二探我们知道：切点弦所在直线就是二个切点的连线，而切点是直线与圆锥曲线相切得到的交点，因此我们先从圆锥曲线的切线入手来展开探究．结论1：点M（0x，0y）在圆222Ryx上，过点M作圆的切线方程为200Ryyxx．结论2：点M（0x，0y）在圆222Ryx外，过点M作圆的两条切线，切点分别为A，B，则切点弦AB的直线方程为200Ryyxx．结论2：（补充）点M（0x，0y）在圆222Ryx内，过点M作圆的弦AB（不过圆心），分别过BA、作圆的切线，则两条切线的交点P的轨迹方程为直线200Ryyxx．证明：由上述结论2可得过)(ppyxP，的圆的切点弦AB的直线方程为2RyyxxPP．又弦AB过点M（0x，0y），即200RyyxxPP，则两条切线的交点P的轨迹方程为直线200Ryyxx．上述结论能推广到圆心不在原点的情况吗？回答是肯定的！结论3：点M（0x，0y）在圆222)()(Rbyax上，过点M作圆的切线方程为200))(())((Rbybyaxax．结论4：点M（0x，0y）在圆222)()(Rbyax外，过点M作圆的两条切线，切点分别为A，B，则切点弦AB的直线方程为200))(())((Rbybyaxax．结论4：（补充）点M（0x，0y）在圆222)()(Rbyax内，过点M作圆的弦AB（不过圆心），分别过BA、作圆的切线，则两条切线的交点P的轨迹方程为直线：200))(())((Rbybyaxax．那么对于圆的一般方程呢？也会得到同样的结论吗？结论5：点M（0x，0y）在圆022FEyDxyx上，过点M作圆的切线方程为0220000FyyExxDyyxx．结论6：点M（0x，0y）在圆022FEyDxyx外，过点M作圆的两条切线，切点分别为A，B，则切点弦AB的直线方程为0220000FyyExxDyyxx．结论6：（补充）点M（0x，0y）在圆022FEyDxyx内，过点M作圆的弦AB（不过圆心），分别过BA、作圆的切线，则两条切线的交点P的轨迹方程为直线：0220000FyyExxDyyxx．运用类比推理，那么椭圆会有相似的结论吗？回答是肯定的！我们知道：椭圆方程可以通过变换得到圆的方程，于是得到结论7：点M（0x，0y）在椭圆12222byax（0ba）上，过点M作椭圆的切线方程为12020byyaxx．结论8：点M（0x，0y）在椭圆12222byax（0ba）外，过点M作椭圆的两条切线，切点分别为A，B，则切点弦AB的直线方程为12020byyaxx．结论8：（补充）点M（0x，0y）在椭圆12222byax（0ba）内，过点M作椭圆的弦AB（不过椭圆中心），分别过BA、作椭圆的切线，则两条切线的交点P的轨迹方程为直线：12020byyaxx．证明：由上述结论8可得过)(ppyxP，的椭圆的切点弦AB的直线方程为122byyaxxPP，又弦AB过点M（0x，0y），即12020byyaxxPP，则两条切线的交点P的轨迹方程为直线12020byyaxx．我们知道圆与椭圆均属于封闭曲线，那对于非封闭曲线，如双曲线是否也有同样的性质呢？回答也是肯定的！结论9：点M（0x，0y）在双曲线12222byax（0,0ba）上，过点M作双曲线的切线方程为12020byyaxx．结论10：点M（0x，0y）在双曲线12222byax（0,0ba）外，过点M作双曲线的两条切线，切点分别为A，B，则切点弦AB的直线方程为12020byyaxx．结论10：（补充）点M（0x，0y）在双曲线12222byax（0,0ba）内，过点M作双曲线的弦AB（不过双曲线中心），分别过BA、作双曲线的切线，则两条切线的交点P的轨迹方程为直线：12020byyaxx．我们知道圆、椭圆及双曲线均属于有心二次曲线，那对于无心二次曲线，如抛物线来说，上述性质能继续得到延伸吗？回答还是肯定的！结论11：点M（0x，0y）在抛物线pxy22（0p）上，过点M作抛物线的切线方程为)(00xxpyy．结论12：点M（0x，0y）在抛物线pxy22（0p）外，过点M作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，则切点弦AB的直线方程为)(00xxpyy．结论12：（补充）点M（0x，0y）在抛物线pxy22（0p）内，过点M作抛物线的弦AB，分别过BA、作抛物线的切线，则两条切线的交点P的轨迹方程为直线：)(00xxpyy．上述研究的都是圆锥曲线的标准形式，那么对于圆锥曲线的非标准形式是否也有类似的结论呢？结论13：点M（0x，0y）在椭圆12222bnyamx上，过点M作椭圆的切线方程为1))(())((2020bnynyamxmx．结论14：点M（0x，0y）在双曲线12222bnyamx上，过点M作双曲线的切线方程为12020bnynyamxmx．结论15：点M（0x，0y）在抛物线mxpny22上，过点M作抛物线的切线方程为mxxpnyny200．结论16：点M（0x，0y）在椭圆12222bnyamx外，过点M作椭圆的两条切线，切点分别为A，B，则切点弦AB的直线方程为1))(())((2020bnynyamxmx．结论17：点M（0x，0y）在双曲线12222bnyamx外，过点M作双曲线的两条切线，切点分别为A，B，则切点弦AB的直线方程为12020bnynyamxmx．结论18：点M（0x，0y）在抛物线mxpny22外，过点M作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，则切点弦AB的直线方程为mxxpnyny200．结论16：（补充）点M（0x，0y）在椭圆12222bnyamx内，过点M作椭圆的弦AB（不过椭圆中心），分别过BA、作椭圆的切线，则两条切线的交点P的轨迹方程为直线：1))(())((2020bnynyamxmx．结论17：（补充）点M（0x，0y）在双曲线12222bnyamx内，过点M作双曲线的弦AB（不过双曲线中心），分别过BA、作双曲线的切线，则两条切线的交点P的轨迹方程为直线：12020bnynyamxmx．结论18：（补充）点M（0x，0y）在抛物线mxpny22内，过点M作抛物线的弦AB，分别过BA、作抛物线的切线，则两条切线的交点P的轨迹方程为直线：mxxpnyny200．由上述结论8、10、12及结论16、17、18可得：结论19：过椭圆准线上一点M作椭圆的两条切线，切点分别为A，B，则切点弦AB的直线必过相应的焦点F，且MF垂直切点弦AB．结论20：过双曲线准线上一点M作双曲线的两条切线，切点分别为A，B，则切点弦AB的直线必过相应的焦点F，且MF垂直切点弦AB．结论21：过抛物线准线上一点M作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，则切点弦AB的直线必过焦点F，且MF垂直切点弦AB．以下证明结论19:证明如下：设椭圆方程为12222byax，Mtca，2，由结论8可得切点弦AB的直线方程为12btycx，显然过焦点)0(，cF．当然容易验证：1MFABkk．同理可证结论20、21．事实上，结论19、20、21的逆命题也是成立的．由此得到：结论22:AB为椭圆的焦点弦，则过A，B的切线的交点M必在相应的准线上．结论23:AB为双曲线的焦点弦，则过A，B的切线的交点M必在相应的准线上．结论24:AB为抛物线的焦点弦，则过A，B的切线的交点M必在准线上．以下证明结论22:证明如下：设M（0x，0y），由结论8可得切点弦AB的直线方程为12020byyaxx，因过焦点)0(，cF，则有120acx，即cax20，故点M必在相应的准线cax2上．同理可证结论23、24．结论25:点M是椭圆准线与长轴的交点，过点M作椭圆的两条切线，切点分别为A，B，则切点弦AB就是通径．结论26:点M是双曲线准线与实轴的交点，过点M作双曲线的两条切线