奥数全年级一百七十九专题题库学生版131定义新运算学生版

定义新运算这类题目是在考验我们的适应能力，我们大家都习惯四则运算，定义新运算就打破了运算规则，要求我们要严格按照题目的规定做题．新定义的运算符号，常见的如△、◎、※等等，这些特殊的运算符号，表示特定的意义，是人为设定的．解答这类题目的关键是理解新定义，严格按照新定义的式子代入数值，把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算。一定义新运算基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等.如：2＋3＝52×3＝6都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同.二定义新运算分类1.直接运算型2.反解未知数型3.观察规律型4.其他类型综合模块一、直接运算型【例1】若*AB表示3ABAB，求5*7的值。【【巩巩固固】】定义新运算为a△b＝（a＋1）÷b，求的值。6△（3△4）例题精讲知识点拨教学目标定义新运算【【巩巩固固】】设a△2baab，那么，5△6______，(5△2)△3_____.【【巩巩固固】】P、Q表示数，*PQ表示2PQ，求3*(6*8)【【巩巩固固】】已知a,b是任意自然数,我们规定:a⊕b=a+b-1,2abab,那么4(68)(35).【【巩巩固固】】MN表示()2,(20082010)2009MN____【【巩巩固固】】规定运算“☆”为：若ab，则a☆b=a＋b；若a=b，则a☆b=a－b＋1；若ab，则a☆b=a×b。那么，（2☆3）＋（4☆4）＋（7☆5）=。【例2】“△”是一种新运算，规定：a△b＝a×c＋b×d(其中c，d为常数)，如5△7＝5×c＋7×d。如果1△2＝5，2△3＝8，那么6△1OOO的计算结果是________。【【巩巩固固】】对于非零自然数a和b，规定符号的含义是：ab＝2mabab（m是一个确定的整数）。如果14＝23，那么34等于________。【例3】对于任意的整数x与y定义新运算“△”：6=2xyxyxy,求2△9。【【巩巩固固】】“*”表示一种运算符号，它的含义是：111xyxyxyA，已知11221212113A，求19981999。【例4】[A]表示自然数A的约数的个数.例如4有1,2,4三个约数,可以表示成[4]=3.计算:([18][22])[7]=.【【巩巩固固】】x为正数,x表示不超过x的质数的个数,如5.1=3,即不超过5.1的质数有2,3,5共3个.那么19+93+4×1×8的值是.【【巩巩固固】】定义运算“△”如下:对于两个自然数a和b,它们的最大公约数与最小公倍数的和记为a△b.例如:4△6=(4,6)+[4,6]=2+12=14.根据上面定义的运算,18△12=.【例5】我们规定：符号表示选择两数中较大数的运算，例如：53=35=5，符号△表示选择两数中较小数的运算，例如：5△3=3△5=3，计算：1523(0.6)(0.625)23353411(0.3)(2.25)996的结果是多少？【【巩巩固固】】规定：符号“&”为选择两数中较大数的运算，“◎”为选择两数中较小数的运算。计算下式：[（7◎3）&5]×[5◎（3&7）]【【巩巩固固】】我们规定：A○B表示A、B中较大的数，A△B表示A、B中较小的数。则108651120=△△○13+15△【例6】如果规定a※b=13×a-b÷8，那么17※24的最后结果是______。【【巩巩固固】】若用G（a）表示自然数a的约数的个数，如：自然数6的约数有1、2、3、6，共4个，记作G（6）=4，则G(36)+G(42)=。【【巩巩固固】】如果&10abab,那么2&5。【例7】“华”、“杯”、“赛”三个字的四角号码分别是“2440”、“4199”和“3088”，将“华杯赛”的编码取为244041993088，如果这个编码从左起的奇数位的数码不变，偶数位的数码改变为关于9的补码，例如：0变9，1变8等，那么“华杯赛”新的编码是________.【例8】羊和狼在一起时，狼要吃掉羊.所以关于羊及狼，我们规定一种运算，用符号△表示：羊△羊=羊；羊△狼=狼；狼△羊=狼；狼△狼=狼，以上运算的意思是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但是狼与羊在一起便只剩下狼了。小朋友总是希望羊能战胜狼.所以我们规定另一种运算，用符号☆表示：羊☆羊=羊；羊☆狼=羊；狼☆羊=羊；狼☆狼=狼，这个运算的意思是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但由于羊能战胜狼，当狼与羊在一起时，它便被羊赶走而只剩下羊了。对羊或狼，可以用上面规定的运算作混合运算，混合运算的法规是从左到右，括号内先算.运算的结果或是羊，或是狼．求下式的结果：羊△(狼☆羊)☆羊△(狼△狼)【例9】一般我们都认为手枪指向谁，谁好像是有危险的，下面的规则同学们能看懂吗规定：警察小偷警察，警察小偷小偷．那么：（猎人小兔）（山羊白菜）．模块二、反解未知数型【例10】如果a△b表示(2)ab,例如3△4(32)44,那么,当a△5=30时,a=.【【巩巩固固】】规定新运算※:a※b=3a-2b.若x※(4※1)=7,则x=.【【巩巩固固】】如果a⊙b表示32ab,例如4⊙5=3×4-2×5=2,那么,当x⊙5比5⊙x大5时,x=【【巩巩固固】】对于数a、b、c、d，规定，a、b、c、d＝2ab－c＋d，已知1、3、5、x＝7，求x的值。【例11】定义新运算为1aabb，⑴求2(34)的值；⑵若41.35x则x的值为多少？【【巩巩固固】】对于任意的两个自然数a和b，规定新运算：(1)(2)(1)abaaaab，其中a、b表示自然数.如果(3)23660x，那么x等于几？【例12】定义ab为a与b之间（包含a、b）所有与a奇偶性相同的自然数的平均数，例如：714=(7+9+11+13)4=10，1810=(18+16+14+12+10)5=14．在算术(1999)=80的方格中填入恰当的自然数后可使等式成立，那么所填的数是多少？【【巩巩固固】】如有a#b新运算，a#b表示a、b中较大的数除以较小数后的余数.例如；2#7=1，8#3=2，9#16=7，21#2=1.如（21#（21#x））=5，则x可以是________（x小于50）【例13】已知x、y满足[]2009xy，{}20.09yy；其中[]x表示不大于x的最大整数，{}x表示x的小数部分，即{}[]xxx，那么x。【例14】规定：A○B表示A、B中较大的数，A△B表示A、B中较小的数．若（A○5＋B△3）×（B○5+A△3）＝96，且A、B均为大于0的自然数，A×B的所有取值为．（8级）模块三、观察规律型【例15】如果1※2＝1＋112※3＝2＋22＋2223※4＝3＋33＋333＋333＋3333计算（3※2）×5。【【巩巩固固】】规定:6※2=6+66=722※3=2+22+222=246,1※4=1+11+111+1111=1234.7※5=【例16】有一个数学运算符号，使下列算式成立：248，5313，3511，9725，求73?【【巩巩固固】】规定a△b(2)(1)aaab,计算：（2△1）（11△10）______.【例17】一个数n的数字中为奇数的那些数字的和记为Sn，为偶数的那些数字的和记为En，例如134134S，1344E．12(100)SSS；(1)(2)100EEE＝．模块四、综合型题目【例18】已知：10△3=14，8△7=2，43△141，根据这几个算式找规律，如果85△x=1，那么x=.【例19】如果a、b、c是3个整数，则它们满足加法交换律和结合律，即⑴abba；⑵()()abcabc。现在规定一种运算*，它对于整数a、b、c、d满足：(,)*(,)(,)abcdacbdacbd。例：(4,3)*(7,5)(4735,4735)(43,13)请你举例说明，*运算是否满足交换律、结合律。【例20】用a表示a的小数部分，a表示不超过a的最大整数。例如：0.30.3,0.30;4.50.5,4.54记2()21xfxx，请计算11,;1,133ffff的值。【例21】在计算机中，对于图中的数据(或运算)的读法规则是：先读第一分支圆圈中的，再读与它相连的第二分支左边的圆圈中的，最后读与它相连的第二分支右边的圆圈中的，也就是说，对于每一个圆圈中的数据(或运算)都是按中→左→右的顺序。如：图A表示：2+3，B表示2+3×2－1。图C中表示的式子的运算结果是_______。【例22】64222222表示成646f;24333333表示成2435g.试求下列的值:(1)128f(2)(16)()fg(3)()(27)6fg;(4)如果x,y分别表示若干个2的数的乘积,试证明:()()()fxyfxfy.【例23】对于任意有理数x,y,定义一种运算“※”，规定:x※y=axbycxy,其中的,,abc表示已知数,等式右边是通常的加、减、乘运算.又知道1※2=3,2※3=4,x※m=x(m≠0),则m的数值是_________。【【巩巩固固】】x、y表示两个数，规定新运算“*”及“△”如下：x*y=mx+ny，x△y=kxy，其中m、n、k均为自然数，已知1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）*3的值.【例24】对于任意的两个自然数a和b，规定新运算：ab(1)(2)(1)aaaab，其中a、b表示自然数.⑴求1100的值；⑵已知x1075，求x为多少？⑶如果（x3）2121，那么x等于几？【【巩巩固固】】两个不等的自然数a和b,较大的数除以较小的数,余数记为a☉b,比如5☉2=1,7☉25=4,6☉8=2.（8级）(1)求1991☉2000,(5☉19)☉19,(19☉5)☉5;(2)已知11☉x=2,而x小于20,求x;(3)已知(19☉x)☉19=5,而x小于50,求x.【例25】设a,b是两个非零的数,定义a※babba.(1)计算(2※3)※4与2※(3※4).(2)如果已知a是一个自然数,且a※3=2,试求出a的值.【【巩巩固固】】定义运算“⊙”如下:对于两个自然数a和b,它们的最大公约数与最小公倍数的差记为a⊙b.比如:10和14,最小公倍数为70,最大公约数为2,则10⊙14=70-2=68.(1)求12⊙21,5⊙15;(2)说明,如果c整除a和b,则c也整除a⊙b;如果c整除a和a⊙b,则c也整除b;(3)已知6⊙x=27,求x的值.【【巩巩固固】】“⊙”表示一种新的运算符号，已知：2⊙3234；7⊙278：3⊙534567，……按此规则，如果n⊙868，那么，n____.【例26】喜羊羊喜欢