奥数全年级一百七十九专题题库学生版733加乘原理之数字问题二学生版

1.复习乘法原理和加法原理；2.培养学生综合运用加法原理和乘法原理的能力．3.让学生懂得并运用加法、乘法原理来解决问题，掌握常见的计数方法，会使用这些方法解决问题．在分类讨论中结合分步分析，在分步分析中结合分类讨论；教师应该明确并强调哪些是分类，哪些是分步．并了解与加、乘原理相关的常见题型：数论类问题、染色问题、图形组合．一、加乘原理概念生活中常有这样的情况：在做一件事时，有几类不同的方法，在具体做的时候，只要采用其中某一类中的一种方法就可以完成，并且这几类方法是互不影响的．那么考虑完成这件事所有可能的做法，就要用到加法原理来解决．还有这样的一种情况：就是在做一件事时，要分几步才能完成，而在完成每一步时，又有几种不同的方法．要知道完成这件事情共有多少种方法，就要用到乘法原理来解决．二、加乘原理应用应用加法原理和乘法原理时要注意下面几点：⑴加法原理是把完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，所以完成任务的不同方法数等于各类方法数之和．⑵乘法原理是把一件事分几步完成，这几步缺一不可，所以完成任务的不同方法数等于各步方法数的乘积．⑶在很多题目中，加法原理和乘法原理都不是单独出现的，这就需要我们能够熟练的运用好这两大原理，综合分析，正确作出分类和分步．加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问题可以使用加法原理解决．我们可以简记为：“加法分类，类类独立”．乘法原理运用的范围：这件事要分几个彼此互不影响．．．．的独立步骤．．．．来完成，这几步是完成这件任务缺一不．．．可．的．，这样的问题可以使用乘法原理解决．我们可以简记为：“乘法分步，步步相关”．【例1】用数字1，2组成一个八位数，其中至少连续四位都是1的有多少个？【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】解答【解析】将4个1看成一个整体，其余4个数有5种情况：4个2、3个2、2个2、1个2和没有2；①4个2时，4个1可以有5种插法；②3个2时，3个2和1个1共有4种排法，每一种排法有4种插法，共有4416种；③2个2时，2个2和2个1共有6种排法，每一种排法有3种插法，共有6318种；④1个2时，1个2和3个1共有4种排法，每一种排法有2种插法，共有428种；⑤没有2时，只有1种；所以，总共有：516188148个．答：至少连续四位都是1的有48个．教学目标例题精讲知识要点7-3-3.加乘原理之数字问题（二）【答案】48【例2】七位数的各位数字之和为60，这样的七位数一共有多少个？【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】解答【解析】七位数数字之和最多可以为9763．63603．七位数的可能数字组合为：①9，9，9，9，9，9，6．第一种情况只需要确定6的位置即可．所以有6种情况．②9，9，9，9，9，8，7．第二种情况只需要确定8和7的位置，数字即确定．8有7个位置，7有6个位置．所以第二种情况可以组成的7位数有7642个．③9，9，9，9，8，8，8，第三种情况，3个8的位置确定即7位数也确定．三个8的位置放置共有765210种．三个相同的8放置会产生3216种重复的放置方式．所以3个8和4个9组成的不同的七位数共有210635种．所以数字和为60的七位数共有3542784．【答案】84【例3】从自然数1~40中任意选取两个数，使得所选取的两个数的和能被4整除，有多少种取法？【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】解答【解析】2个数的和能被4整除，可以根据被4除的余数分为两类：第一类：余数分别为0，0．1~40中能被4整除的数共有40410（个），10个中选2个，有109245（种）取法；第二类：余数分别为1，3．1~40中被4除余1，余3的数也分别都有10个，有1010100（种）取法；第三类：余数分别为2，2．同第一类，有45种取法．根据加法原理，共有4510045190（种）取法．【答案】190【例4】从1，3，5，7中任取3个数字组成没有重复数字的三位数，这些三位数中能被3整除的有个。【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】填空【关键词】希望杯，四年级，二试，第9题【解析】一个数能被3整除，它的各位数之和就能够被3整除。从1，3，5，7中任选3个数可以是1，3，5；1，3，7；1，5，7；3，5，7。和能被3整除的有：1，3，5和3，5，7，共能组成3！×2＝12个数。【答案】12个数【例5】从1,2,3,4,5,6中选取若干个数，使得它们的和是3的倍数，但不是5的倍数．那么共有种不同的选取方法．【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】填空【关键词】迎春杯，五年级，初赛，5题【【解解析析】】从16这些数中选取的数的和小于21，满足条件的和数有3、6、9、12、18、21分别有2、4、5、5、2、1种选取方法，共24552119种选取方法．【答案】19种【例1】在1至300的全部自然数中，是3的倍数或5的倍数的数共有()个。A、139B、140C、141D、142【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】选择【关键词】华杯赛，五年级，初赛【解析】3的倍有100个，5的倍数有60个，既是3又是5的倍数有20个，则是3或者5的倍数的数共有100+60-20=140个。【答案】B【例6】在1～10这10个自然数中，每次取出两个不同的数，使它们的和是3的倍数，共有种不同的取法。【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】填空【关键词】走美杯，3年级，决赛，第11题，5年级，第7题【解析】两个数的和是3的倍数有两种情况，或者两个数都是3的倍数，或有1个除以3余1，另一个除以3余2。1～10中能被3整除的有3个数，取两个有3种取法；除以3余1的有4个数，除以3余2的有3个数，各取1个有12种取法。所以共有取法3+12=15(种)。【答案】15种【巩固】从1到20中，最多能取______个数，使任意两个数不是3倍关系。【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】填空【关键词】学而思杯，4年级，第13题【解析】1和3共存，2和6不能共存，3和9不能共存，4和12不能共存，5和15不能共存，6和18不能共存。要破坏这些组合，至少要去掉4个数，例如3,4,5,6【答案】16个【巩固】从1~25个自然数这25个自然数中，每次取出两个不同的数，使它们的和是4的倍数，共有中不同的取法。【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】填空【关键词】走美杯，6年级，决赛，第8题【解析】1到25中，除以4，余数是1的数有7个，余数是2的数有6个，余数是3的数有6个，余数是0的数有6个，所以共有67652272（种）。【答案】72种【例7】在1~100的自然数中取出两个不同的数相加，其和是3的倍数的共有多少种不同的取法？【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】解答【解析】将1～100按照除以3的余数分为3类：第一类，余数为1的有1，4，7，…100，一共有34个；第二类，余数为2的一共有33个；第三类，可以被3整除的一共有33个．取出两个不同的数其和是3的倍数只有两种情况：第一种，从第一、二类中各取一个数，有34331122种取法；第二种，从第三类中取两个数，有33322528种取法．根据加法原理，不同取法共有：11225281650种．【答案】1650【巩固】在1~10这10个自然数中，每次取出两个不同的数，使它们的和是3的倍数，共有多少种不同的取法？【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】解答【解析】两个数的和是3的倍数有两种情况，或者两个数都是3的倍数，或有1个除以3余1，另一个除以3余2．1～10中能被3整除的有3个数，取两个有3种取法；除以3余1的有4个数，除以3余2的有3个数，各取1个有3412种取法．根据加法原理，共有取法：31215种．【答案】15【巩固】在1~10这10个自然数中，每次取出三个不同的数，使它们的和是3的倍数有多少种不同的取法？【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】解答【解析】三个不同的数和为3的倍数有四种情况：三个数同余1，三个数同余2，三个数都被3整除，余1余2余0的数各有1个，四类情况分别有4种、1种、1种、43336种，所以一共有4113642种．【答案】42【巩固】从7，8，9，，76，77这71个数中，选取两个不同的数，使其和为3的倍数的选法总数是多少?【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】解答【解析】两个数和为3的倍数情况有两种：两个被3整除的数和是3的倍数，一个被3除余1的数和一个被3除余2的数相加也能被3整除.这71个数中被3整除，被3除余1，被3除余2的数分别有23、24、24个，选取两个数只要是符合之前所说的两种情况就可以了，选取两个被3整除的数的方法有232221253（）种，从被3除余1和被3除余2的数中各取1个的方法共有2424576种，所以一共有253576829种选取方法．【答案】829【例8】从这些数中选取两个数，使其和被3除余1的选取方法有多少种？被3除余2的选取方法有多少种？【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】解答【解析】两个数的和被3除余1的情况有两种：两个被3除余2的数相加，和一个被3整除的数和一个被3除余1的数相加，所以选取方法有2423212423828（）种．同样的也可以求出被3除余2的选取方法有2423212423828（）种.【答案】828【例9】1到60这60个自然数中，选取两个数，使它们的乘积是被5除余2的偶数，问，一共有多少种选法？【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】解答【解析】两个数的乘积被5除余2有两类情况，一类是两个数被5除分别余1和2，另一类是两个数被5除分别余3和4，只要两个乘数中有一个是偶数就能使乘积也为偶数.1到60这60个自然数中，被5除余1、2、3、4的偶数各有6个，被5除余1、2、3、4的奇数也各有6个，所以符合条件的选取方式一共有666666666666216（）（）种．【答案】216【例10】一个自然数，如果它顺着看和倒过来看都是一样的，那么称这个数为“回文数”．例如1331，7，202都是回文数，而220则不是回文数．问：从一位到六位的回文数一共有多少个?其中的第1996个数是多少?【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】解答【解析】我们将回文数分为一位、二位、三位、…、六位来逐组计算．所有的一位数均是“回文数”，即有9个；在二位数中，必须为aa形式的，即有9个(因为首位不能为0，下同)；在三位数中，必须为aba(a、b可相同，在本题中，不同的字母代表的数可以相同)形式的，即有9×10=90个；在四位数中，必须为abba形式的，即有9×10个；在五位数中，必须为abcba形式的，即有9×10×10=900个；在六位数中，必须为abccba形式的，即有9×10×10=900个．所以共有9+9+90+90+900+900=1998个，最大的为999999，其次为998899，再次为997799．而第1996个数为倒数第3个数，即为997799．所以，从一位到六位的回文数一共有1998个，其中的第1996个数是997799．【答案】997799【例11】如图，将1，2，3，4，5分别填入图中15的格子中，要求填在黑格里的数比它旁边的两个数都大．共有种不同的填法．【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】解答【关键词】走美杯，6年级，决赛，第5题【解析】因为要求“填在黑格里的数比它旁边的两个数都大”，所以填入黑格中的数不能够太小，否则就不满足条件．通过枚举法可知填入黑格里的数只有两类：第一类，填在黑格里的数是5和4；第二类，填在黑格里的数是5和3．接下来就根据这两类进行计数：第一类，填在黑格里的数是5和4时，分为以下几步：第一步