奥数全年级一百七十九专题题库学生版743排列的综合应用学生版

1.使学生正确理解排列的意义；2.了解排列、排列数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的排列；3.掌握排列的计算公式；4.会分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；通过本讲的学习，对排列的一些计数问题进行归纳总结，并掌握一些排列技巧，如捆绑法等．一、排列问题在实际生活中经常会遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法，就是排列问题．在排的过程中，不仅与参与排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关．一般地，从n个不同的元素中取出m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同．如果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列．排列的基本问题是计算排列的总个数．从n个不同的元素中取出m(mn)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同的元素的排列中取出m个元素的排列数，我们把它记做mnP．根据排列的定义，做一个m元素的排列由m个步骤完成：步骤1：从n个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有n种方法；步骤2：从剩下的(1n)个元素中任取一个元素排在第二位，有(1n)种方法；……步骤m：从剩下的[(1)]nm个元素中任取一个元素排在第m个位置，有11nmnm（）(种)方法；由乘法原理，从n个不同元素中取出m个元素的排列数是121nnnnm（）（）（），即12.1mnPnnnnm（）（）（），这里，mn，且等号右边从n开始，后面每个因数比前一个因数小1，共有m个因数相乘．二、排列数一般地，对于mn的情况，排列数公式变为12321nnPnnn（）（）．表示从n个不同元素中取n个元素排成一列所构成排列的排列数．这种n个排列全部取出的排列，叫做n个不同元素的全排列．式子右边是从n开始，后面每一个因数比前一个因数小1，一直乘到1的乘积，记为!n，读做n的阶乘，则nnP还可以写为：!nnPn，其中!12321nnnn（）（）　．【例1】甲、乙、丙、丁、戊、己六个人站队，要求：甲乙两人之间必须有两个人，问一共有多少种站法？【考点】排列之综合运用【难度】3星【题型】解答【解析】先考虑给甲乙两人定位，两个人可以站在队伍从左数的一、四个，二、五个或三、六个，甲乙两人要在内部全排列，剩下四个人再全排列，所以站法总数有：24243PP144（种）．教学目标例题精讲知识要点7-4-3.排列的综合应用【答案】144【巩固】甲、乙、丙、丁、戊、己六个人站队，要求：甲乙两人之间最多有两个人，问一共有多少种站法？【考点】排列之综合运用【难度】3星【题型】解答【解析】类似地利用刚才的方法，考虑给甲乙两人定位，两人之间有两个人、一个人、没有人时分别有3、4、5种位置选取方法，所以站法总数有：2424(3+4+5)PP576（种）．【答案】576【例2】甲、乙、丙、丁、戊、己六个人站队，要求：甲不能站在队伍左半边，乙不能站在队伍右半边，丙不能站在队伍两端，问一共有多少种站法？【考点】排列之综合运用【难度】3星【题型】解答【解析】先对丙定位，有4种站法，无论丙站在哪里，甲和乙一定有一个人有两种站法，一个人有三种站法，剩下三个人进行全排列，所以站法总数有：33432P144（种）．【答案】144【例3】甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛八个人站队，要求：甲不能站在队伍最靠左的三个位置，乙不能站在队伍最靠右的三个位置，丙不能站在队伍两端，问一共有多少种站法？【考点】排列之综合运用【难度】3星【题型】解答【解析】按甲在不在队伍最靠右的位置、乙在不在队伍最靠左的位置分四种情况讨论：如果甲在队伍最靠右的位置、乙在队伍最靠左的位置，那么丙还有6种站法，剩下的五个人进行全排列，站法总数有：556P720（种）如果甲在队伍最靠右的位置，而乙不在队伍最靠左的位置，那么乙还有4种站法，丙还有5种站法，剩下的五个人进行全排列，站法总数有：5545P2400（种）如果甲不在队伍最靠右的位置，而乙在队伍最靠左的位置，分析完全类似于上一种，因此同样有2400种站法如果甲不在队伍最靠右的位置，乙也不在队伍最靠左的位置，那么先对甲、乙整体定位，甲、乙的位置选取一共有44214（种）方法．丙还有4种站法，剩下的五个人进行全排列，站法总数有：55144P6720（种）所以总站法种数为72024002400672012240（种）【答案】12240【例4】4名男生，5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法：⑴甲不在中间也不在两端；⑵甲、乙两人必须排在两端；⑶男、女生分别排在一起；⑷男女相间．【考点】排列之综合运用【难度】3星【题型】解答【解析】⑴先排甲，9个位置除了中间和两端之外的6个位置都可以，有6种选择，剩下的8个人随意排，也就是8个元素全排列的问题，有888765432140320P(种)选择．由乘法原理，共有640320241920(种)排法．⑵甲、乙先排，有22212P(种)排法；剩下的7个人随意排，有7776543215040P(种)排法．由乘法原理，共有2504010080(种)排法．⑶分别把男生、女生看成一个整体进行排列，有22212P(种)不同排列方法，再分别对男生、女生内部进行排列，分别是4个元素与5个元素的全排列问题，分别有44432124P(种)和5554321120P(种)排法．由乘法原理，共有2241205760(种)排法．⑷先排4名男生，有44432124P(种)排法，再把5名女生排到5个空档中，有5554321120P(种)排法．由乘法原理，一共有241202880(种)排法．【答案】2880【例5】小新、阿呆等七个同学照像，分别求出在下列条件下有多少种站法？（1）七个人排成一排；（2）七个人排成一排，小新必须站在中间.（3）七个人排成一排，小新、阿呆必须有一人站在中间.（4）七个人排成一排，小新、阿呆必须都站在两边.（5）七个人排成一排，小新、阿呆都没有站在边上.（6）七个人战成两排，前排三人，后排四人.（7）七个人战成两排，前排三人，后排四人.小新、阿呆不在同一排．【考点】排列之综合运用【难度】3星【题型】解答【解析】（1）775040P（种）．（2）只需排其余6个人站剩下的6个位置．66720P（种）.（3）先确定中间的位置站谁，冉排剩下的6个位置．2×66P=1440(种)．（4）先排两边，再排剩下的5个位置，其中两边的小新和阿呆还可以互换位置．552240P(种)．（5）先排两边，从除小新、阿呆之外的5个人中选2人，再排剩下的5个人，25552400PP（种）.（6）七个人排成一排时，7个位置就是各不相同的．现在排成两排，不管前后排各有几个人，7个位置还是各不相同的，所以本题实质就是7个元素的全排列．775040P（种）.（7）可以分为两类情况：“小新在前，阿呆在后”和“小新在前，阿呆在后”，两种情况是对等的，所以只要求出其中一种的排法数，再乘以2即可．4×3×55P×2=2880(种)．排队问题，一般先考虑特殊情况再去全排列．【答案】（1）775040P（种）．（2）66720P（种）.（3）2×66P=1440(种)．（4）552240P(种)．（5）25552400PP（种）.（6）775040P（种）.（7）4×3×55P×2=2880(种)．【例6】一个正在行进的8人队列，每人身高各不相同，按从低到高的次序排列。现在他们要变成排的2列纵队，每列仍然是按从低到高的次序排列。同时要求并排的每两人中左边的人比右边的人要矮，那么，2列纵队有__________种不同排法。【考点】排列之综合运用【难度】3星【题型】填空【关键词】走美杯，初赛，六年级，第13题【解析】将这8人按身高从低到高依次编号为1，2，3，4，5，6，7，8.，现在相当于要求将这8个数填入下面的42的方格中，每个方格中填一个数，使得每一行的方格中的数依次增大，而每一列中下面的方格中的数比上面的方格中的数要大。81首先可以确定1和8只能分别在左上角和右下角的方格内，2只能在第一行第二列或第二行第一列的方格内，7只能在第一行第四列或第二行第三列的方格内。2和7的填法共有224种可能，对这4种情况分别进行讨论：⑴若2和7的位置如图①，则第一行第三列的方格不可以填6，但可以填3，4，5，这个方格填好后，第二行的三个空格只有唯一的填法。所以此时有3种填法；72817281①②⑵若2和7的位置如图②，现在需要从3，4，5，6四个数中选取2个填入第一行的两个空格，有246C种选法。所选出的2个数只有一种填法，且这两个数选出后，剩下的两个数填在第二行的两个空格，也只有一种填法，所以这种情况下有6种填法；⑶若2和7的位置如图③，则第二行第二列的方格内不能填3，可以填4，5，6，每一种填法就对应整个42方格的一种填法，所以此时有3种填法；72817281③④⑷若2和7的位置如图④，则此时3和6只能分别填在中间22方格的左上角和右下角，4和5填在剩下的2个方格，有2种填法。根据加法原理，共有363214种不同的填法。所以原题中二列纵队有14种不同的排法。【答案】14种【例7】已知在由甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行的手工制作比赛中，决出了第一至第五名的名次．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军．”对乙说：“你当然不会是最差的．”从这个回答分析，5人的名次排列共有多少种不同的情况？【考点】排列之综合运用【难度】3星【题型】解答【解析】这道题乍一看不太像是排列问题，这就需要灵活地对问题进行转化．仔细审题，已知“甲和乙都未拿到冠军”，而且“乙不是最差的”，也就等价于5人排成一排，甲、乙都不站在排头且乙不站在排尾的排法数，因为乙的限制最多，所以先排乙，有3种排法，再排甲，也有3种排法，剩下的人随意排，有333216P(种)排法．由乘法原理，一共有33654(种)不同的排法．【答案】54【例8】书架上有3本故事书，2本作文选和1本漫画书，全部竖起来排成一排．⑴如果同类的书不分开，一共有多少种排法？⑵如果同类的书可以分开，一共有多种排法？【考点】排列之综合运用【难度】3星【题型】解答【解析】⑴可以分三步来排：先排故事书，有333216P(种)排法；再排作文选，有22212P(种)排法；最后排漫画书有1种排法，而排故事书、作文选、漫画书的先后顺序也可以相互交换，排列的先后顺序有333216P(种)．故由乘法原理，一共有621672种排法．⑵可以看成3216(本)书随意排，一共有66654321720P(种)排法．若同类书不分开，共有72种排法；若同类书可以分开，共有720种排法．【答案】720【例9】一共有赤、橙、黄、绿、青、蓝、紫七种颜色的灯各一盏，按照下列条件把灯串成一串，有多少种不同的串法？⑴把7盏灯都串起来，其中紫灯不排在第一位，也不排在第七位．⑵串起其中4盏灯，紫灯不排在第一位，也不排在第四位．【考点】排列之综合运用【难度】2星【题型】解答【解析】⑴可以先考虑紫灯的位置，除去第一位和第七位外，有5种选择；然后把剩下的6盏灯随意排，是一个全排列问题，有66654321720P(种)排法．由乘法原理，一共有57203600(种)．⑵先安排第一盏和第四盏灯．第一盏灯不是紫灯，有6种选择；第四盏灯有5种选择；剩下的5盏灯中随意选出2盏排列，有255420P(种)选择．由乘法原理，有6520600(种)．【答案】600【例10