奥数全年级一百七十九专题题库学生版772容斥原理之重叠问题二学生版

1.了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2.掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．一、两量重叠问题在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：ABABAB(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：AB，即阴影面积．图示如下:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：AB，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合AB、的并集AB的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合AB、的元素个数，然后加起来，即先求AB(意思是把AB、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去CAB(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题A类、B类与C类元素个数的总和A类元素的个数B类元素个数C类元素个数既是A类又是B类的元素个数既是B类又是C类的元素个数既是A类又是C类的元素个数同时是A类、B类、C类的元素个数．用符号表示为：ABCABCABBCACABC．图示如下：教学目标知识要点7-7-2.容斥原理之重叠问题（二）1．先包含——AB重叠部分AB计算了2次，多加了1次；2．再排除——ABAB把多加了1次的重叠部分AB减去．图中小圆表示A的元素的个数，中圆表示B的元素的个数，大圆表示C的元素的个数．1．先包含：ABC重叠部分AB、BC、CA重叠了2次，多加了1次．2．再排除：ABCABBCAC重叠部分ABC重叠了3次，但是在进行ABCABBCAC计算时都被减掉了．3．再包含：ABCABBCACABC．在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．模块一、三量重叠问题【例1】一栋居民楼里的住户每户都订了2份不同的报纸。如果该居民楼的住户只订了甲、乙、丙三种报纸，其中甲报30份，乙报34份，丙报40份，那么既订乙报又订丙报的有___________户。【考点】三量重叠问题【难度】3星【题型】填空【关键词】希望杯，4年级，1试【解析】总共有（30＋34＋40）2＝52户居民，订丙和乙的有52－30＝22户。【答案】22户【例2】某班学生手中分别拿红、黄、蓝三种颜色的小旗，已知手中有红旗的共有34人，手中有黄旗的共有26人，手中有蓝旗的共有18人．其中手中有红、黄、蓝三种小旗的有6人．而手中只有红、黄两种小旗的有9人，手中只有黄、蓝两种小旗的有4人，手中只有红、蓝两种小旗的有3人，那么这个班共有多少人？【考点】三量重叠问题【难度】3星【题型】解答CBA【解析】如图，用A圆表示手中有红旗的，B圆表示手中有黄旗的，C圆表示手中有蓝旗的．如果用手中有红旗的、有黄旗的与有蓝旗的相加，发现手中只有红、黄两种小旗的各重复计算了一次，应减去，手中有三种颜色小旗的重复计算了二次，也应减去，那么，全班人数为：342618943（）（）6250(人)．【答案】50人【巩固】某班有42人，其中26人爱打篮球，17人爱打排球，19人爱踢足球，9人既爱打篮球又爱踢足球，4人既爱打排球又爱踢足球，没有一个人三种球都爱好，也没有一个人三种球都不爱好．问：既爱打篮球又爱打排球的有几人？【考点】三量重叠问题【难度】3星【题型】解答【解析】由于全班42人没有一个人三种球都不爱好，所以全班至少爱好一种球的有42人．根据包含排除法，4226171994（）（既爱打篮球又爱打排球的人数0），得到既爱打篮球又爱打排球的人数为：49427(人)．【答案】7人【例3】四年级一班有46名学生参加3项课外活动．其中有24人参加了数学小组，20人参加了语文小组，参加文艺小组的人数是既参加数学小组也参加文艺小组人数的3．5倍，又是3项活动都参加人数的7倍，既参加文艺小组也参加语文小组的人数相当于3项都参加的人数的2倍，既参加数学小组又参加语文小组的有10人．求参加文艺小组的人数．【考点】三量重叠问题【难度】3星【题型】解答【解析】设参加数学小组的学生组成集合A，参加语文小组的学生组成集合B，参加文艺小组的学生组成集合G．三者都参加的学生有z人．有ABC=46，A=24，B=20，C=3.5，AC=7ABC，BC=2ABC，AB=10．因为ABCABCABACBCABC，所以46=24+20+7x-10-2x-2x+x，解得x=3，即三者的都参加的有3人．那么参加文艺小组的有37=21人．例题精讲【答案】21人【巩固】五年级三班学生参加课外兴趣小组，每人至少参加一项．其中有25人参加自然兴趣小组，35人参加美术兴趣小组，27人参加语文兴趣小组，参加语文同时又参加美术兴趣小组的有12人，参加自然同时又参加美术兴趣小组的有8人，参加自然同时又参加语文兴趣小组的有9人，语文、美术、自然3科兴趣小组都参加的有4人．求这个班的学生人数．【考点】三量重叠问题【难度】3星【题型】解答C语文B美术A自然【解析】设参加自然兴趣小组的人组成集合A，参加美术兴趣小组的人组成集合日，参加语文兴趣小组的人组成集合C．A=25，B=35，C=27，BC=12，AB=8，AC=9，ABC=4.ABC=ABCABACBCABC.所以，这个班中至少参加一项活动的人有25+35+27-12-8-9+4=62，而这个班每人至少参加一项．即这个班有62人．【答案】62人【巩固】光明小学组织棋类比赛，分成围棋、中国象棋和国际象棋三个组进行，参加围棋比赛的有42人，参加中国象棋比赛的有55人，参加国际象棋比赛的有33人，同时参加了围棋和中国象棋比赛的有18人，同时参加了围棋和国际象棋比赛的有10人，同时参加了中国象棋和国际象棋比赛的有9人，其中三种棋赛都参加的有5人，问参加棋类比赛的共有多少人？【考点】三量重叠问题【难度】3星【题型】解答【解析】根据包含排除法，先把参加围棋比赛的42人，参加中国象棋比赛的55人与参加国际象棋比赛的33人加起来，共是425533130人．把重复加一遍同时参加围棋和中国象棋的18人，同时参加围棋和国际象棋的10人与同时参加中国象棋和国际象棋的9人减去，但是，同时参加了三种棋赛的5人被加了3次，又被减了3次，其实并未计算在内，应当补上，实际上参加棋类比赛的共有：13018109598（）(人)．或者根据学过的公式：ABCABCABBCACABC，参加棋类比赛的总人数为：42553318109598(人)．【答案】98人【例4】新年联欢会上，共有90人参加了跳舞、合唱、演奏三种节目的演出．如果只参加跳舞的人数三倍于只参加合唱的人数；同时参加三种节目的人比只参加合唱的人少7人；只参加演奏的比同时参加演奏、跳舞但没有参加合唱的人多4人；50人没有参加演奏；10人同时参加了跳舞和合唱但没有参加演奏；40人参加了合唱；那么，同时参加了演奏、合唱但没有参加跳舞的有________人．【考点】三量重叠问题【难度】3星【题型】填空【关键词】西城实验【【解解析析】】设只参加合唱的有x人，那么只参加跳舞的人数为3x，由50人没有参加演奏、10人同时参加了跳舞和合唱但没有参加演奏，得到只参加合唱的和只参加跳舞的人数和为501040人，即340xx，得10x，所以只参加合唱的有10人，那么只参加跳舞的人数为30人，又由“同时参加三种节目的人比只参加合唱的人少7人”，得到同时参加三项的有3人，所以参加了合唱的人中“同时参加了演奏、合唱但没有参加跳舞的”有：401010317人．【答案】17人【巩固】六年级100名同学，每人至少爱好体育、文艺和科学三项中的一项．其中，爱好体育的55人，爱好文艺的56人，爱好科学的51人，三项都爱好的15人，只爱好体育和科学的4人，只爱好体育和文艺的17人．问：有多少人只爱好科学和文艺两项？只爱好体育的有多少人？【考点】三量重叠问题【难度】3星【题型】解答【解析】只是A类和B类的元素个数，有别于容斥原理Ⅱ中的既是A类又是B类的元数个数．依题意，画图如下．设只爱好科学和文艺两项的有x人．由容斥原理，列方程得55565117154151515100x（）（）（）即555651174152100x111100x11x只爱好体育的有：551715419(人)．【答案】11人只爱好科学和文艺，19人只爱好体育。【例5】在某个风和日丽的日子，10个同学相约去野餐，每个人都带了吃的，其中6个人带了汉堡，6个人带了鸡腿，4个人带了芝士蛋糕，有3个人既带了汉堡又带了鸡腿，1个人既带了鸡腿又带了芝士蛋糕．2个人既带了汉堡又带了芝土蛋糕．问：⑴三种都带了的有几人？⑵只带了一种的有几个？【考点】三量重叠问题【难度】4星【题型】解答BAC【解析】如图，用A圆表示带汉堡的人，B圆表示带鸡腿的人，C圆表示带芝士蛋糕的人．⑴根据包含排除法，总人数（带汉堡的人数带鸡腿的人数带芝士蛋糕的人数）（带汉堡、鸡腿的人数带汉堡、芝士蛋糕的人数带鸡腿、芝士蛋糕的人数）三种都带了的人数，即10664321（）（）三种都带了的人数，得三种都带了的人数为：10100(人)．⑵求只带一种的人数，只需从10人中减去带了两种的人数，即103214（）(人)．只带了一种的有4人．【答案】（1）0人，（2）4人【巩固】盛夏的一天，有10个同学去冷饮店，向服务员交了一份需要冷饮的统计表：要可乐、雪碧、橙汁的各有5人；可乐、雪碧都要的有3人；可乐、橙汁都要的有2人；雪碧、橙汁都要的有2人；三样都要的只有1人，证明其中一定有1人这三种饮料都没有要．【考点】三量重叠问题【难度】4星【题型】解答【解析】略【答案】根据根据包含排除法，至少要了一种饮料的人数(要可乐的人数要雪碧的人数要橙汁的人数)(要可乐、雪碧的人数要可乐、橙汁的人数要雪碧、橙汁的人数)三种都要的人数，即至少要了一种饮料的人数为：55532219（）（）(人)．1091(人)，所以其中有1人这三种饮料都没有要．【例6】全班有25个学生，其中17人会骑自行车，13人会游泳，8人会滑冰，这三个运动项目没有人全会，至少会这三项运动之一的学生数学成绩都及格了，但又都不是优秀．若全班有6个人数学不及格，那么，⑴数学成绩优秀的有几个学生？⑵有几个人既会游泳，又会滑冰？【考点】三量重叠问题【难度】4星【题型】解答【解析】⑴有6个数学不及格，那么及格的有：25619(人)，即最多不会超过19人会这三项运动之一．而又因为没人全会这三项运动，那么，最少也会有：17138219（）(人)至少会这三项运动之一．于是，至少会三项运动之一的只能是19人，而这19人又不是优秀，说明全班25人中除了19人外，剩下的6名不及格，所以没有数学成绩优秀的．⑵上面分析可知，及格的19人中，每人都会两项运动：会骑车的一定有一部分会游泳，一部分会滑冰；会游泳的人中若不会骑车就一定会滑冰，而会滑冰的人中若不会骑车就一定会游泳，但既会游泳又会滑冰的人一定不会骑自行车．所以，全班有19172(人)既会游泳又会滑冰．【答案】（1）0人，（2）2人【巩固】五年级一班共有36人，每人参加一个兴趣小组，共有A、B、C、D、E五个小组，若参加A组的有15人，参加B组的人数仅次于A组，参加C组、D组的人数相同，参加E组的人数最少，只有4人．那么，参加B组的有_______人．【考点】三量重叠问题【难度】4星【题型】填空【解析】参加B，C，D三组的总人数是3615417(人)，