奥数全年级一百七十九专题题库学生版781几何计数一学生版

1.掌握计数常用方法；2.熟记一些计数公式及其推导方法；3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数．本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗透分类计数和用容斥原理的计数思想．一、几何计数在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n条直线最多将平面分成21223(2)2nnn……个部分；n个圆最多分平面的部分数为n(n-1)+2；n个三角形将平面最多分成3n(n-1)+2部分；n个四边形将平面最多分成4n(n-1)+2部分……在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解．排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关．二、几何计数分类数线段：如果一条线段上有n+1个点(包括两个端点)（或含有n个“基本线段”），那么这n+1个点把这条线段一共分成的线段总数为n+(n-1)+…+2+1条数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边．数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE上有15条线段，每条线段的两端点与点A相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形．数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n条线段，纵边上共有m条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn个．模块一、简单的几何计数【例1】七个同样的圆如右图放置，它有_______条对称轴．教学目标例题精讲知识要点7-8-1几何计数（一）【考点】简单的几何计数【难度】1星【题型】填空【关键词】迎春杯，六年级，初赛，试题【解析】如图：6条．【答案】6条【例2】下面的表情图片中：，没有对称轴的个数为（）（A）3(B)4(C)5(D)6【考点】简单的几何计数【难度】2星【题型】选择【关键词】华杯赛，初赛，第1题【解析】通过观察可知，第1，2，5这三张图片是有对称轴的，其他的5张图片都没有对称轴，所以没有对称轴的个数为5，正确答案是C。【答案】C【巩固】中心对称图形是：绕某一点旋转180°后能和原来的图形重合的图形，轴对称图形是：沿着一条直线对折后两部分完全重合的图形，图的4个图形中，既是中心对称图形又是的轴对称图形的有个。【考点】简单的几何计数【难度】2星【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，一试，第7题【解析】共有3个，除第二个外其余都是。【答案】3个【例3】两条直线相交所成的锐角或直角称为两条直线的“夹角”。现平面上有若干条直线，它们两两相交，并且“夹角”只能是30°，60°或90°。问：至多有多少条直线？【考点】简单的几何计数【难度】1星【题型】填空【关键词】华杯赛，初赛，试题，第12题【解析】至多有6条直线，如图：【答案】6条【例4】下图是王超同学为环境保护专栏设计的一个报头，用到基本的几何图形：线段、三角形、四边形、圆、弧线，其中用得最多的一种图形是________。【考点】简单的几何计数【难度】2星【题型】填空【关键词】希望杯，四年级，二试，第9题【【解解析析】】观察图形发现是：线段最多【答案】线段最多【例5】下面的55和64图中共有____个正方形．【考点】简单的几何计数【难度】2星【题型】解答【解析】在55的图中，边长为1的正方形25个；边长为2的正方形24个；边长为3的正方形23个；边长为4的正方形22个；边长为5的正方形有21，总共有222225432155(个)正方形．在64的图中边长为1的正方形64个；边长为2的正方形53个；边长为3的正方形42个；边长为4的正方形31个；总共有6453423142(个)．【答案】42个【巩固】请看下图，共有多少个正方形？【考点】简单的几何计数【难度】2星【题型】填空【关键词】【解析】假设最小的正方形边长为1，则面积为1的正方形有9个；面积为4的正方形有4个；面积为16的正方形有1个．因此共有9+4+1=14个．【答案】14个【巩固】如下图是一个围棋盘，它由横竖各19条线组成．问：围棋盘上有多少个右图中的小正方形一样的正方形？【考点】简单的几何计数【难度】3星【题型】填空【关键词】华杯赛，初赛，试题，第15题【解析】我们先在右图小正方形中找一个代表点，例如右下角的点E作为代表点．然后将小正方形按题意放在围棋盘上，仔细观察点E应在什么地方．通过观察，不难发现：（1）点E只能在棋盘右下角的正方形ABCD（包括边界）的格子点上．（2）反过来，右下角正方形ABCD中的每一个格子点都可以作为小正方形的点E，也只能作为一个小正方形的点E．这样一来，就将“小正方形的个数”化为“正方形ABCD中的格子点个数”了．很容易看出正方形ABCD中的格子点为10×10＝100个．答：共有100个。【答案】100个【例6】下图中共有____个正方形．【考点】简单的几何计数【难度】2星【题型】解答【解析】每个44正方形中有：边长为1的正方形有24个；边长为2的正方形有23个；边长为3的正方形有22个；边长为4的正方形有21个；总共有2222432130(个)正方形．现有5个44的正方形，它们重叠部分是4个22的正方形．因此，图中正方形的个数是30554130．【答案】130【例7】图中有______个正方形．【考点】简单的几何计数【难度】2星【题型】解答【解析】55的正方形1个；44的正方形4个；33的正方形5个；22的正方形4个；11的正方形13个．共27个．【答案】27【巩固】数一数：图中共有________个正方形。【考点】简单的几何计数【难度】3星【题型】填空【关键词】希望杯，四年级，二试，第10题【解析】按面积从小到大4+17+9+4+1=35个【答案】35个【巩固】图中共有个正方形。【考点】简单的几何计数【难度】3星【题型】填空【关键词】走美杯，4年级，决赛，第7题【解析】设最小正方形的边长为1，那么边长为1的正方形有2个，边长为2的正方形有6个，边长为4的正方形有5个，边长为8的正方形有2个，边长为12的正方形有1个，边长为16的正方形有1个，所以总共有26521117（个）。【答案】17个【例8】下图中共有___________个正方形。【考点】简单的几何计数【难度】3星【题型】填空【关键词】迎春杯，中年级，初试，4题【【解解析析】】分类计算边长为1的正方形有12个；长为2的正方形有1个；边长为3的正方形有4个；边长为4的有1个；边长为1个对角线的有1个；边长为2个对角线的有1个；所以一共有：121411120（个）【答案】20个【巩固】图1中共有个正方形。【考点】简单的几何计数【难度】3星【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，一试，第12题【解析】5+4+1+5+4+1=20【答案】20个【例9】图中共有多少个长方形？【考点】简单的几何计数【难度】2星【题型】解答【【解解析析】】利用长方形的计数公式：横边上共有n条线段，纵边上共有m条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn个．所以有(4+3+2+1)×（4+3+2+1）=100．【答案】100【例10】数一数，下边图形中有个平行四边形．【考点】简单的几何计数【难度】1星【题型】填空【关键词】迎春杯，四年级，初试，4题【【解解析析】】本题是一道几何计数问题,应不漏不重地按规律去数,每相邻两个三角形可组成一个平行四边形,共计6个.【答案】6个【例11】图5中有个平行四边形。【考点】简单的几何计数【难度】2星【题型】填空【关键词】希望杯，4年级，1试【解析】12+8+3=23【答案】23【例12】如右图中共有7层小三角形，求白色小三角形的个数与黑色小三角形的个数之比。7654321【考点】简单的几何计数【难度】2星【题型】填空【关键词】华杯赛，初赛，试题，第10题【解析】白色小三角形个数＝1＋2＋…＋6＝1662（）＝21，黑色小三角形个数＝1十2＋…＋7＝1772（）＝28，所以它们的比＝2128＝34，白色与黑色小三角形个数之比是34.【答案】34【例13】如图，由小正方形构成的长方形网格中共有线段______条。【考点】简单的几何计数【难度】2【题型】填空【关键词】希望杯，六年级，一试，第8题【解析】横的有5×(1+2+3+4+5)=75条，竖的有6×(1+2+3+4)=60条，一共135条【答案】135条【例14】图中线段的条数比三角形的个数多。【考点】简单的几何计数【难度】2星【题型】填空【关键词】学而思杯，2年级，第6题【解析】通过比较发现，线段的条数比三角形的个数多的正好是6条斜边。【答案】6【例15】右图中共有个三角形。【考点】简单的几何计数【难度】2星【题型】填空【关键词】华杯赛，五年级，决赛，第6题【解析】由1个，2个，3个，4个，6个，8个小三角形组成的三角形分别有：8，7，4，3，1，1个，也即一共有8+7+4+3+2=24个。【答案】24【例16】如图AB，CD，EF，MN互相平行，则图中梯形个数与三角形个数的差是多少?FEDCBA【考点】简单的几何计数【难度】3星【题型】解答【解析】图中共有三角形（1+2+3+4）×4=40个．梯形（1+2+3+4）×（2+4）=60；所以梯形比三角形多60-40=20个．【答案】20个【例17】右边三个图中，都有一些三角形，在图A中，有____个；在图B中，有______个；中图C中，有______个。CBA【考点】简单的几何计数【难度】2星【题型】填空【关键词】希望杯，4年级，1试【解析】图A5个;图B8个;图C5个【例18】请看下图，共有多少个三角形？【考点】简单的几何计数【难度】2星【题型】填空【解析】独立的三角形有7个，由4个三角形组成的三角形有1个，加上最大的三角形，因此共有7+1+1=9个三角形．【答案】9【例19】右图中共有个三角形．【考点】简单的几何计数【难度】2星【题型】填空【关键词】迎春杯，三年级，初赛，2题【【解解析析】】分类枚举得到：边长是1个单位长度的有12个三角形；边长是2个单位长度的有6个三角形边长是3个单位长度的有2个三角形共有126220（个）【答案】20个【例20】右图中三角形共有个．【考点】简单的几何计数【难度】4星【题型】填空【关键词】迎春杯，五年级，初赛，4题【【解解析析】】不可分割的三角形有7个．由2个不可分割的三角形构成的三角形有6个．由3个不可分割的三角形构成的三角形有4个．由5个不可分割的三角形构成的三角形有2个．由7个不可分割的三角形构成的三角形有1个．一共有三角形7642120个．【答案】20个【巩固】数一数图中有_______个三角形．【考点】简单的几何计数【难度】4星【题型】填空【关键词】走美杯，3年级，初赛，第14题【【解解析析】】分类枚举，只由一个三角形构成的有6个，由两个小三角形组合而成的三角形有3个。由三个小三角形组合而成的三角形有3个，所以一共有63+3=12（个）。【答案】12个【巩固】数一数，图中有_________________个三角形。【考点】简单的几何计数【难度】4星【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，二试，第9题【解析】10个【答案】10个【例21】图中共有个三角形。【考点】简单的几何计数【难度】4星【题型】填空【关键词】希望杯，4年级，1试【解析】从图形所包含的小块数的个数来数，包含一块的三角形有10个，包含两块的三角形有10个，包含三块的三角形有10个，包含五块三角形有5个，所以共有35个。【答案】35个【例22】在图中，一共有10个三角形，40条线段．【考点】简单的几何计数【