奥数全年级一百七十九专题题库教师版433任意四边形梯形与相似模型一教师版

板块一任意四边形模型任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：ODCBAs4s3s2s1①1243::SSSS或者1324SSSS②1243::AOOCSSSS蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．【例1】图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷．那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？76EDCBA76【考点】任意四边形模型【难度】2星【题型】解答【解析】在ABE，CDE中有AEBCED，所以ABE，CDE的面积比为()AEEB:()CEDE．同理有ADE，BCE的面积比为():()AEDEBEEC．所以有ABES×CDES=ADES×BCES，也就是说在所有凸四边形中，连接顶点得到2条对角线，有图形分成上、下、左、右4个部分，有：上、下部分的面积之积等于左右部分的面积之积．即6ABES=7ADES，所以有ABE与ADE的面积比为7:6，ABES=7392167公顷，ADES=6391867公顷．显然，最大的三角形的面积为21公顷．【答案】21【例2】如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成四个部分，△AOB面积为1平方千米，△BOC面积为2平方千米，△COD的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？OCDBA【考点】任意四边形模型【难度】2星【题型】解答【关键词】小数报例题精讲任意四边形、梯形与相似模型【解析】根据蝴蝶定理求得3121.5AODS△平方千米，公园四边形ABCD的面积是1231.57.5平方千米，所以人工湖的面积是7.56.920.58平方千米【答案】0.58【例3】一个矩形分成4个不同的三角形（如右图），绿色三角形面积占矩形面积的15％，黄色三角形的面积是21平方厘米．问：矩形的面积是多少平方厘米？黄绿15%【考点】任意四边形模型【难度】3星【题型】解答【关键词】华杯赛，初赛，第7题【解析】黄色三角形与绿色三角形面积之和是矩形面积的50％，而绿色三角形面积占矩形面积的15％，所以黄色三角形面积占矩形面积的50％－15％＝35％已知黄色三角形面积是21平方厘米，所以矩形面积等于21÷35％＝60(平方厘米)【答案】60【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC的面积；⑵:AGGC？321GDCBA【考点】任意四边形模型【难度】2星【题型】解答【解析】⑴根据蝴蝶定理，123BGCS，那么6BGCS；⑵根据蝴蝶定理，:12:361:3AGGC．【答案】1:3【例4】四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O(如图所示)．如果三角形ABD的面积等于三角形BCD的面积的13，且2AO，3DO，那么CO的长度是DO的长度的_________倍．OADCBGHBCDAO【考点】任意四边形模型【难度】3星【题型】填空【解析】在本题中，四边形ABCD为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形．看到题目中给出条件:1:3ABDBCDSS，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法．又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH垂直BD于H，CG垂直BD于G，面积比转化为高之比．再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果．请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题．解法一：∵::1:3ABDBDCAOOCSS，∴236OC，∴:6:32:1OCOD．解法二：作AHBD于H，CGBD于G．∵13ABDBCDSS，∴13AHCG，∴13AODDOCSS，∴13AOCO，∴236OC，∴:6:32:1OCOD．【答案】2倍【例5】如图，平行四边形ABCD的对角线交于O点，CEF△、OEF△、ODF△、BOE△的面积依次是2、4、4和6．求：⑴求OCF△的面积；⑵求GCE△的面积．OGFEDCBA【考点】任意四边形模型【难度】3星【题型】解答【解析】⑴根据题意可知，BCD△的面积为244616，那么BCO△和CDO的面积都是1628，所以OCF△的面积为844；⑵由于BCO△的面积为8，BOE△的面积为6，所以OCE△的面积为862，根据蝴蝶定理，::2:41:2COECOFEGFGSS，所以::1:2GCEGCFSSEGFG，那么11221233GCECEFSS．【答案】23【例6】如图相邻两个格点间的距离是1，则图中阴影三角形的面积为．DCBAOADCB【考点】任意四边形模型【难度】4星【题型】填空【关键词】清华附中，入学测试题【解析】连接AD、CD、BC．则可根据格点面积公式，可以得到ABC的面积为：41122，ACD的面积为：3313.52，ABD的面积为：42132．所以::2:3.54:7ABCACDBOODSS，所以44123471111ABOABDSS．【答案】1211【巩固】如图，每个小方格的边长都是1，求三角形ABC的面积．ABCDE【考点】任意四边形模型【难度】4星【题型】解答【解析】因为:2:5BDCE，且BD∥CE，所以:2:5DAAC，525ABCS510277DBCS．【答案】107【例7】如图，边长为1的正方形ABCD中，2BEEC，CFFD，求三角形AEG的面积．ABCDEFGABCDEFG【考点】任意四边形模型【难度】4星【题型】解答【关键词】人大附中考题【解析】连接EF．因为2BEEC，CFFD，所以1111()23212DEFABCDABCDSSS．因为12AEDABCDSS，根据蝴蝶定理，11::6:1212AGGF，所以6613677414AGDGDFADFABCDABCDSSSSS．所以132221477AGEAEDAGDABCDABCDABCDSSSSSS，即三角形AEG的面积是27．【答案】27【例8】如图，长方形ABCD中，:2:3BEEC，:1:2DFFC，三角形DFG的面积为2平方厘米，求长方形ABCD的面积．ABCDEFGABCDEFG【考点】任意四边形模型【难度】4星【题型】解答【解析】连接AE，FE．因为:2:3BEEC，:1:2DFFC，所以3111()53210DEFABCDABCDSSS长方形长方形．因为12AEDABCDSS长方形，11::5:1210AGGF，所以510AGDGDFSS平方厘米，所以12AFDS平方厘米．因为16AFDABCDSS长方形，所以长方形ABCD的面积是72平方厘米．【答案】72【例9】如图，已知正方形ABCD的边长为10厘米，E为AD中点，F为CE中点，G为BF中点，求三角形BDG的面积．ABCDEFGOABCDEFG【考点】任意四边形模型【难度】4星【题型】解答【解析】设BD与CE的交点为O，连接BE、DF．由蝴蝶定理可知::BEDBCDEOOCSS，而14BEDABCDSS，12BCDABCDSS，所以::1:2BEDBCDEOOCSS，故13EOEC．由于F为CE中点，所以12EFEC，故:2:3EOEF，:1:2FOEO．由蝴蝶定理可知::1:2BFDBEDSSFOEO，所以1128BFDBEDABCDSSS，那么11110106.2521616BGDBFDABCDSSS（平方厘米）．【答案】6.25【例10】如图，在ABC中，已知M、N分别在边AC、BC上，BM与AN相交于O,若AOM、ABO和BON的面积分别是3、2、1，则MNC的面积是．OMNCBA【考点】任意四边形模型【难度】4星【题型】填空【解析】这道题给出的条件较少，需要运用共边定理和蝴蝶定理来求解．根据蝴蝶定理得31322AOMBONMONAOBSSSS设MONSx，根据共边定理我们可以得ANMABMMNCMBCSSSS，33322312xx，解得22.5x．【答案】22.5【例11】正六边形123456AAAAAA的面积是2009平方厘米，123456BBBBBB分别是正六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是平方厘米．B6B5B4B3B2B1A6A5A4A3A2A1OB6B5B4B3B2B1A6A5A4A3A2A1【考点】任意四边形模型【难度】4星【题型】填空【关键词】迎春杯，6年级。初赛【解析】如图，设62BA与13BA的交点为O，则图中空白部分由6个与23AOA一样大小的三角形组成，只要求出了23AOA的面积，就可以求出空白部分面积，进而求出阴影部分面积．连接63AA、61BB、63BA．设116ABB的面积为”1“，则126BAB面积为”1“，126AAB面积为”2“，那么636AAB面积为126AAB的2倍，为”4“，梯形1236AAAA的面积为224212，263ABA的面积为”6“，123BAA的面积为2．根据蝴蝶定理，12632613:1:6BABAABBOAOSS，故23616AOAS123127BAAS，所以23123612::12:1:77AOAAAAASS梯形，即23AOA的面积为梯形1236AAAA面积的17，故为六边形123456AAAAAA面积的114，那么空白部分的面积为正六边形面积的136147，所以阴影部分面积为32009111487(平方厘米)．【答案】1148【例12】如图，ABCD是一个四边形，M、N分别是AB、CD的中点．如果△ASM、△MTB与△DSN的面积分别是6、7和8，且图中所有三角形的面积均为整数，则四边形ABCD的面积为．NMSTDCBAADNCTSMB【考点】任意四边形模型【难度】5星【题型】填空【关键词】迎春杯，高年级组，决赛，12题【解析】连接MN、AC、BD．由于M是AB的中点，所以AMN与BMN的面积相等，而MTB比ASM的面积大1，所以MSN比MTN的面积大1；又由于N是CD的中点，所以DMN的面积与CMN的面积相等，那么CTN的面积比DSN的面积大1，所以CTN的面积为9．假设MTN的面积为a，则MSN的面积为1a．根据几何五大模型中的蝴蝶定理，可知ASD的面积为481a，BTC的面积为63a．要使这两个三角形的面积为整数，a可以为1，3或7．由于ADM的面积为ABD面积的一半，BCN的面积为BCD面积的一半，所以ADM与BCN的面积之和为四边形ABCD面积的一半，所以ADM与BCN的面积之和等于四边形BMDN的面积，即：4863697181aaaa，得4863211aaa．将1a、3、7分别代入检验，只有7a时等式成立，所以MTN的面积为7，MSN、ASD、BTC的面积分别为8、6、9．四边形ABCD的面积为6789260．小结：本题中“且图中所有三角形的面积均为整数”这个条件是多余的．【答案】60【例13】已知ABCD是平行四边形，:3:2BCCE，三角形ODE的面积为6平方厘米。则阴影部分的面积是平方厘米。OEDCBA【考点】任意四边形模型【难度】4星【题型】填空【关